Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Так как здесь имеются предельные условия. то мы подчиним найденное выше решение е '""'Х(х)=е """" !А соз Лх+Вз!п Лх) 640 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ !я!а а им, в свою очередь,— бесчисленное множество частных решения уравнения (б) Л ла., В е " я!п)лх (л=!, 2, 3, ...), удовлетворяющих предельным условиям. Для того чтобы удовлетворвть начальным условиям, ищем л в виде — А~аач и(х, !)= ~Ч~~В„е " я!ЯЛ„х, (39) л ! и при ! = 0 получаем и ]! а = г (х) = ~ В„ я!п Л„х = ~Ч ', В„Х,(х), (40) л=! л=! где мы обозначилв Хл(х)=я!пЛлх. )Локажем, что функции Хл(х) ортогональны.
Напишем для двух из нил соответствуюшие дифференциальные уравнения (8) Х" (х)+ 24 Х (х)= О, Х„"(х)+ Л,'Х,(х)=0. Умножая первое почленно на Хл(х), второе на Хм(х), вычитаем почленно полученные уравнения и интегрируем по промежутку (О, !)! $(Х" (х)Хл(х) — Х" (х)Х (х)]!(х+(Л' — Л„')$Х (х)Хл(х)у(х=о. а о Интегрируя в первом интеграле по частям, получим Хул (1) Хл Д Хл ЯХул (1) + Хл (0) Ллу (0) Хул (0) Хл (0) + + (Лул — Лй) $ Хм (х) Хл (х) а!х = О. (41) 0 Но Хм(х) и Хл(х) удовлетворяют предельным условиям (30) и (31), т.
е. Х„(О) = Ха(О) = О, Х„'(!) = — 3Х„(!), Х„' (у) = — )!Х„(!). В силу этих равенств внеинтегральный член формулы (41) обрагдается в нуль, и, принимая во внимание, что Л~ — ЛлУ ~ 0 при рааличных лг и л, мы получаем Х (х)Хл(х)у(х=О ври павел. 641 % аа. уРАВнение теплОПРОВОднОсти аей Установив ортогональность, мы обычным приемом убеждаемся в том, что в разложении (40) коэффициенты В„должны определяться формулой с с Вл = $ у (х) Хл (х) асх/$ Х-'„(х) ссх. а о Это решает задачу разложения функцяи у(х) по функциям Х„(х) и вместе с тем дает решение поставленной выше задачи в виде ряда (39). В томе 1Н мы покажем, что система функций Х„(х), которые получаются, как выше, в результате применения метода Фурье к основным задачам математической физика, есть замкнутая система, н что при некоторых предположениях относительно у(х) эта функция разлагается в основном промежутке в равномерно сходящийся ряд по функциям Х„(х).
Отметим, что если бы вместо предельных условий (30) и (31) мы взяли предельные условия п=0 при х = 0 пл и при х=с', то получили бы Х„(х)=в!и — х, и пришли к обычному ряду Фурье по синусам. При исследовании распространения тепла в кольце мы, вместо предельных условий, должны поставить условие периодичности температуры. Считая радиус кольца равным единице, так что длина всего кольца есть 2и, и обозначая через х длину кольца, отсчитываемую от некоторой точки, мы приходим к решению вида п(х, !)= — '+ ~~(а„сових+(с„а!Епх)е л ! где л — + ~~~~~ (й С 3 Х+ исса!ППХ) л ! — ряд Фурье начального распределения температуры У(х) в кольце.
Достаточные условия для того, чтобы полученный здесь для и (х, !) ряд действительно решал рассматриваемую задачу, будут даны в томе 1Ч. 21т. Дополнительные замечания. Возьмем обобщенное уравнение меллопролодноесии до, део — = а' — — ео, де дх' (42) которое получается, если учесть лучсиспусклиие со всей поверхности стержня в окружающее пространство, температура которого принимается равной вулси. Легко проверпсь, что сравнение 142) простой подстановкой о — е-сси приводится к уравнению (5) ллл и.
642 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ Итз Неоднородное уравнение ди, д'и — =а' — + г'(х, т) дг дх' (43) 218. Случай сферы. Рассмотрил! параллельно волновое уравнение и уравнение тенлопроаодиости в случае сферы д'а — „= ааЬи, (46) ды — = асдо, дт (47) в случае неограяиченного стержня при нулевой начальной температуре, т. е. при условии и=О для !=0, имеет решение вида !! — х!т п(х, т)=~ ~ г"(В т) е чали — ! д(дт. 2а у'я(С вЂ” т) Ъ вЂ” со Оно может быть получено нли тем же методом, который мы применяем в (187) к неоднородному волновому уравнению, или суперпозицией основного сингулярного решения (13), в котором мы заменяем хна(г — т) и после умножения на го(1, т) интегрируем по 1 от — со до +со и по т от т=О до с=т.
Физический сл!ысл этих операций очевиден. Решение уравнения (43) получается путем суперпознции источников, которые размещены по всему стержню с интенсивностью гг(1, т), причем такой источник начинает действовать с момента времени ч. Производится суперпозиция таких источников н по времени. Применение метода Фурье в двумерном и трехмерном случае проводится совершенно так же, как и для волнового уравнения, но только множитель, зависящий от времени, в рассматриваемом случае есть показательная функция. Так, например, для уравнения в случае прямоугольной пластинки мы имеем решение в виде и = е " ! (г'(х, у), (43) причем мы поставили в показателе а' с тем, чтобм пользоваться формулами из (190).
Пусть имеется предельное условие й = 0 на (С) и начальное условие и = Тг(х, у) при т = О. Решение представляется рядом (ч т авх осу и= а е л!п — а!ив — га ,т=! где в,, определяется формулой (113) из (190) и а,,— первой из формул (114). В случае круглой пластинки (ср. 191) та же подстановка (45) приводит к следующему решению: со л СО 3 и = ~ч '„агаве '" с!в па/л(А!Мг)+ ~ч ', Рм „е ыж з!п лб!в(дол!г), л о л=! т 1 ы=! пРичем авьл и раж опРеделяются по тем же формулам, что н а „и р „из (!! !О (191), ам „вЂ” по формуле (128). 643 з ю. квдвнвнив твплопроводности юз1 ди ~ и! =т,(г), — ! =та(г); 1т о ' дт и о п1т-о = Ф (г). (48) (49) Предельные условия мы возьмел1 вида ди — =0 при г=Р, дг до — +Аз=О при г=Р, дг (51) где Р— радитс сферы и И) О.
В силу центральной симметрии решения также не будут зависеть от полярных углов и будут, таким образом, функцияаш только от г и и Полагая и = (А соа ~с+ В мп ~т) У(г), (52) э = Ае тн(г), (53) получим для (/(г) и )г(г) одно и то же уравнение бра+Аз%'=О, где А'= — Выражая оператор Лапласа в сферических координатах и принимая а" во внимание, что В' зависит только от г, получим уравнение 1 д т т((Р т даф' 2 д(Р— — 1 ге — ) + Аа ЯГ = О, т. е. — + — — + Аа тг' = О. гт дг( дг ) ' ' ' дг" г дг Вместо 07 введем новую искомую функцию Р(г) = гК'(г). Подставляя РУ(г)= — в уравнение для ОУ, получим для Р(г) уравнение: Р (г) Р'(г)+АтР(г)=0, откуда Р(г)=С,соайг+Саз!пйг, и, следовательно, ОУ (г) = С, — + С, —, соа Аг мп йг г ' г Приничзя во внимание, что решение должно оставзться конечным з центре сферы, т.
е. прн г =О, мы должны считать С, =О, и, подставляя в (52) и (ов), получасы решения вида и = (А соз не + В ап и() а!и Аг г о=Ае т а1п Аг г (54) (55) Постоянная А и, тем самым, ы = ай определяются из предельных условий (50) и (51). зпт Аг Второе из них в применении к — дает следующее уравнение для й; г АР с та АР = 1 — АР.
(56) При А = 0 приходим к уравнению, получаемому из предельного условия (50): тд АР = АР. (57) считая, что начальные данные зависят только от расстоятп1я г точки до центра сферы 644 тл. чн. хелииения мАтемАтическОи физики (з!з Полагая АР=о, мы видны, что уравнения (56) и (57) совершенно аналогичны уравнению (36). Пусть: Ьо Ь„... — положительные корни уравнения (56). Принимая во внимание (55), получаем для о (г, т)! а!и Ь„Г о(г, С)= г л„е (58) л ! Начальное условие (49) дает гф (г) = '5', ал з(п Ьлг. (59) и ! Совершенно так же, как и в (216), функции апйлг ортогональны на промежутке (О, Р) и, следовательно, коэффициенты разложения (59) определяются формулами А' и .=~ !Г> а~а Г') мь ~. Переходя к уравнению для и, мы по-прежнему обозначим через Ьл(н= = 1, 2, ...) положительные корни уравненяя (57).
Здесь мы должны еще учесть н корень Д=О, который соответствует частоте ач равной нулю. Прн этом вместо (А соева+Выпит) мы должны написать А+Вт, уравнение для Р(г) будет Р (г)=0, и 97(г)=Р(г):г есть постоянная, так что соответствующее решение уравнения (46) будет л,+Ьат. Оно удовлетворяет, очевидно, при любых значениях постоянных а, и Ь„предельному условию (50). Окончательно для и получим ее и(г, т)= а, +Ьет+ 1) (о„соей„с+Ь з(пдлс) а1п Ь„г л=! дифференцируя по т и полагая т = О, получим разложение функций, входящих в начальные условия (48) еа СО г Р, (г) = а г+ ~~~~~ а„а(п Д„г, гча (г) = Ь г+ лУ' Ь„Ь„а!п Ь„г, л 1 л ! Принимая во внимание уравнение (57), нетрудно проверить, что а!и Ь„г ортогональны не только между собой, но и с функцией г на промежутке (О, Р), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
