Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 115
Текст из файла (страница 115)
дл носительно М стремится к (Гл(М). Выше было доказано, что 12,(М) З1Н % 1З. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА равномерно стремится к $'(М). Принимая во внимзиие теорему из 11, 144], мы видим, что В'(М) есть частная производная от (г(М) по х, т, е., в силу (62), д д ~~( ),)1)~( )д () ~61 1О1 Непрерывность 11'(М) вытекает из непрерывности частных производных (59) и равномерного стремления их к пределу %'(М), и теорема доказана полностью. Производные по у и г исследуются точно так же. Отметил1, что при доказательстве теоремы мы использовали лишь ограниченность р(М) и ее интегрируемость. 211. Уравнение Пуассона.
Для построения производных второго порядкз от функции лг(М) мы должны усилить нзши предположения относительно 9(Л1). ТЕОрЕМа 2. ЕСЛи НЕПрврЫВНая фуНКцпя (л(1ЛГ) иМЕЕт НЕПрЕ- рывные производные первого порядка внутри (Р), то Ъ'(М) имеет непрерывные производные второго порядка внутри (Р) и удовлетворяет внутри Р уравнению (63) Ь 'лг(М) = — 4ир (М). Фиксируем внутри (Р) какую-либо точку М,(х„у„г,). Пусть (а,) — шар . с центром М, и радиусом е, лежащий внутри (Р), и (Р,)— часть (Р), лежащая вне (а,). Разобьем потенциал (66) на два слагаемых 'у'(М)= ~ ~ ~(л(111) — аЪ+ 1дд + ~ ~ ~ ~(~) — „' ~ = (~)+ (~), (64) 1д и, в силу теоремы 1, д ~ ~~Р( )дх( ) + 1од +д ~ ~~ )дх(г) дх + дх 1д Мы имеем дх. (г) де (г) (г= У (Š— х)" +('Ц вЂ” У)'+(С вЂ” г)' ), 622 ГЛ.
Уп. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ пм и, следовательно, можем написать )дх(г) дг [~ ( ) г)+ д1 ! Подставляя это выражение вместо подынтегральной функции в интеграле по а, фора!улы (66) и применяя формулу Остроградского, получим дх ) ),) г( )д ~ ) + !Вз! + ~ ~ ~ д1 г г(п ~ ~ (г(гч) соз (и, х) — сИ (66) м ! !Ю ! где (о,) есть поверхность шара; (а,) и и — направление внешней нормали к (8,) в точке !У'. Первое слагаелше правой части есть собственный интеграл для точек М, лежащих внутри (я,), и он имеет внутри (а,) производные всех порядков.
То же можно утверждать относительно третьего слагаемого, которое является интегралом по поверхности шара (я,). Второе слагаемое есть объемный интеграл по (я,) с непредн (А!) рывной плотностью и, в силу теоремы 1, он имеет непред1 рывные производные первого порядка во всем пространстве. Таким дг'(М) образом можно утверждать, что имеет непрерывные произдх водные первого порядка внутри (а,). Принимая во внимание произвольность выбора точки М, внутри (Р), можем утверждать, что —- д1г(М) дх имеет непрерывные производные первого порядка везде внутри (Р).
Применяя те же рассуждения к д1г(М) д1г(М) ду дг и —, можем утверждать, что )г(М) имеет внутри (Р) непрерывные производные второго порядка. Остается доказать формулу (63) для любой точки М, внутри (Р). Вернемся к формулам (64) и (66). Потенциал (г!(М) объемных масс по области (Р,), как мы знаем, есть гармоническая функция внутри(а,), ибо (я,) лежит вне(Р!), т, е. Ь)г!(М)=0 внутри (а,), и тем самым Ь(г(М)=Ь(га(М) внутри (а,).
Таким образом для составления Ь(г(М) достаточно продифференцировать по х под знаком интеграла (пользуемся теоремой !) те члены в (66); в которых интегрирование совершается по (г,) и (8,), составить аналогичные выражения для производных второго порядка по у н г и сло кить все трн производные. Прн этом надо помнить, что под знаком интеграла только 1 множитель — зависит от (х, у, г).
Составив таким образом Ь(г(М) г внутри (а,), мы возьмем его значение в центре М, сферы (а,). Обозначая через Ь(г(М,) зто значение и через г, расстояние от Ма до 623 а !9. уРАВнение ПАППАСА переменной точки интегрирования, мы получим ~ ~ дн(А7) Š— ха+ дн(АГ) Ч вЂ” уа !'а ! + а ~ СЬ вЂ” ~ ~ р, (д!) ~:а~' соа (и, х) + !Уа! + — а СО5 (П, 1!)+ а СОВ (П, 2) ~ГГЮ. (67) Š— х, внимание, что ~ '~ ( 1: ди (А!) Е ла ! ! ~ ~ ~ дв !а ! !аа ! Вводя сферические координаты с началом в М, и заменяя г7о = =г,";а!п8г(6!тЕ!Ыга, мы убедимся в том, что выражение, стоящее в правой части, равно гп 4иа, откуда и следует, что тройной интеграл стремится к нулю при а -ь О. Займемся теперь поверхностным интегралом формулы (67).
Мы имеем, принимая во внимание, что внешняя нормаль п направлена по радиусу сферы: ,~а СОЕ (П, Х)+ Ч ,~а СОВ (П, У) + †, ' СОВ (П, 2) = г3 а ! СО5 (П' Х)+ СОВ (П, У)+ СОЯ (П' 2)1 а Га а и следовательно, поверхностный интеграл может быть ааписан в виде или, применяя теорему о среднем, — ~ ~ р(Лг)г(8= 4к1А(Лг,), !ха! где 7А1, — некоторая точка па (8,). При а- О гочка М, стремится Эта формула справедлива при любом выборе радиуса а, лишь бы шар (а,) лежал внутри А), и величина д)г(д4а) ие зависит, очевидно, от выбора а.
Будем стремить а к нулю. )Аокажем, что при этом тройной интеграл будет стремиться к нулю. )Аостаточно рассмотреть интеграл от одного из слагаемых. Пусть гл — наибольшее абсолютдн (Аг) ное значение непрерывной функции , в некотором фиксирован. дЕ ном достаточно малом шаре ч,. При а(аа мы имеем, принимая во 'а 624 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1Ялл к точке М„и р(Лг,)-ь (л(Мл), и в пределе поверхностный интеграл формулы (67) дает 4кр(М,), что и приводит к формуле (63). Эта формула называется обычно форлгулой Пуассона или уравненаелг Пуассона.
Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если р(х, у, г) непрерывна в области (Р) вплоть до поверхности 8 и имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри (Р),то фор. мула (55) дает решение уравнения (54). Заметим, что если р(тл)) опреде. лена во всем пространстве и достаточно быстро убывает при беспредельном удалении точки Дг, то за (Р) мы можем взять все пространство. Совершенно аналогичные теоремы могут быть доказаны и для интеграла по плоской области )г(М)= 1 1 р(Лг)1е —,1 йо 1Е1 или 1 ~в~ Если р(тлг) непрерывна в (В) вплоть до контура этой области, то )г(М) сама непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на всей плоскости, причем эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.
Если, кроме того, (л(1Ч) имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри (В), то (г(М) имеет непрерывные частные производные второго порядка внутри (В) и в каждой точке внутри (В) удовлетвориет уравнению Пуассона Ы'(М) = — 2яр. (М). Составим наряду с интегралом (55) интеграл 0л(М) = — — „~ ~ ~ Ч(АГ) 0(М; тт') ап, 1 Г л <Ь1 где 0(М; Ал) — функция Грпна области Р с полюсом ул'. В интеграле (55,) интегрирование совершается по точке тт'.
Прпппллая во внимание формулу (48), можем написать 151 151 где О, (М; Ал) — гармоническая функция М везде внутри (Р) и имеющая пре- 1 дельные значения — на (3), где Р— расстояние от переменной точки на (8) до Р точки Ф. Второй интеграл справа есть функция точки М, входящей под знак интеграла в виде параметра, и поскольку 0,(М; 1У) — гармоническая функция везде внутри (О), то и второй интеграл справа есть гармоническая функция М внутри (О). Оператор Лапласа от первого слагаемого справа по доказанному равен т(М), и таким образом функция 0,(М), опрсдсленнаа форллулой (55,), удовлетворяет уравнению (54).
Далее, прпппиая во внима- вий В !З.УРАННЕНИЕ ЛАПЛАСА ние, что О(М; А!) имеет на(5) нулевые предельные энзчения, мы видим на основании (55,), что (7,(М) удовлетворяет на (6) предельному условию Ц (М) ]л — — О. итак, 91ормула (55,) опрсделяе1п рсшекив уравнения (54), удоалс1лло. ряющсс написанному прсдсльнол1у условию.
Предельные значения решения (55), которые получаются, как значения интеграла, стоящего в правой части, когда точка (х, у, а) находится на (3), зависят от 7(х, у, л). Заметим, что йрозеденное выше исследование функции (55,) не является вполяе строгим. Оно требует дополнительного исследования зависимости О (М; А1) от точки Аг, доказательства возможности дифференцирования под знаком интеграла и предельного перехода под знаком интеграла, когда М стремится к точке поверхности (Я) (см. том !'У*). 21Х Формула Кирхгофа. Формула (18) дает для гармонической внутри поверхности (5) функции значение во всякой внутренней точке в зиле ннтсграла по поверхности (3). Можно получить аналогичну1о формулу и лля функции (г(х, у, л, т) = )](А(; Г), удовлетворяющей волновому уравйенн1о да)г дга — = а'Ь!г.
(68! Положим, что функция )г(М! Г) непрерывна со своими производнымн ло второго порялка в области (0), ограниченной поверхностью (3), при всех г )О. Пусть М, — некоторая фиксированная точка внутри (О). Обозначим через г — расстояние г = М,М от М, до переменной точки М. Применим общую формулу (9) к функции (7(х,у, *, т) = !'( (х, у, л, С вЂ” — ), г! (69) или, короче, (70) если а(г)есть некоторая функция от!, тообозначим силтволом [и] ту функцию, г ! Гт которая получится из и(Г) заменой В на С вЂ” —, т. е. [и]=а(С вЂ” — ). а)' Обычно называют [м] лапаздыаающим значением функции ы(т).
Смысл этого станет понятным, если считать, что а есть скорость распространения некоторого процесса. При таком обозначении мы можем формулу (69) или (70) записать в виде: (7= [)г]. При дифференцировании функции (69) по координатам надо принимать во внимание, что [!г] зависит от координат кзк непосрвдственно, так и через посредство г, которое входит в четвертый аргумент. Таким образом мы будем иметь (71) Точно так же, пользуясь выражением оператора Лапласа в полярных координатах с центром М, [131]: дЧ/+ 2 д~/ 1 д [, дС/! 1 д'(7 дг' г дг г" з!пВ дз ( дв )+т'а!и'В дрл и принимая во внимание, что 1 Г д'У1 Но, в силу (б8), мы имеем (АУ) = — 1( — ~, и следовательно а' Г дй ~' 1 Нетрудно показать, что г а ( аг ( дса ~ « 'Е дтдг 3 г' ) дг )) (72) есть расходимость некоторого вектора: — — =д!71 — 1 д !8(ад(!К+ Иl 2 дУ1 Действительно, мы имеем формулу (112ф д(т(УА)=Уд!т А+ цтадУ А, 2 Г д!'1 1 В данном случае у= — ~ — 1, и А=и(ад(1ег) есть вектор длины— = а!дг) направленный по радиусу-вектору йз М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
