Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 112
Текст из файла (страница 112)
е. при г=0. Отсюда следует, что все постоянные Оо и .0о необходимо положить равными нулю. Обозначая произвольные постоянные А„С„через А„, „ф— через В„и А,С,— через — ', мы мо. жем написать решения в виде (Г„(г, 8) =(А„соз л8+ В„а1п л8) г (и = 1, 2, ...), (го(г, 8)= —. В силу линейности и однородности уравнения Лапласа сумма этих решений будет также решением, т.
е. мы получаем решение В формулах (19) и (19,) — А, В, С, В и 8 — постоянные, к определению которых мы сейчас и переходим. Заметим, что прибавление к углу 8 величины 2я равносильно обходу вокруг начала координат. При этом однозначная функция (Г(г, 8) должна вернуться к исходному значению, т. е. в формуле (19) первый множитель, зависящий от 8, должен быть периодической функцией от 8 с периодом 2к. Отсюда следует, что постоянная 8 может принимать только целые значения 8 = .+- 1, -+. 2, +- 3 ,, -1- и Но если подставить в формулу (19) 8 =и или 8= — л, то ввиду произвольности коэффициента В результат получится по существу один и тот же, и поэтому мы можем ограничиться только целыми положительными значениями постоянной Го (характеристические числа задачи), т.
е. 8 = и (и = 1, 2, 3, ...). Периодичность решения (19,) требует, чтобы постоянная В была равна нулю. Таким образом мы приходим к следующим решениям 605 а ш. уРАВнение ллплАсА вида У(г, 9) = — '+ ~ (А„соз лО+ В„з)п пО)ге. (20) е ! Определим теперь произвольные постоянные А„и В„по ззданному предельному условию (»(», 9) ),=Р(9), (21) где» (9) — заданная в промежутке ( — п -,9(я) непрерывная функция, причем»( — к)=Г(я). Это условие дает У(9) = — '+ ~~1 (А„соз лО+ В„з!и ЛО) й".
и=\ Отсюда видно, что А„)с" и В„Я" суть коэффициенты Фурье функции»(9) в промежутке длины 2к, например в промежутке ( — к, к). Вычисляя их по известным формулам +% +е Ач= — ч ~ Р(1) соа п( й1, Вп = — е ~У(1)з!ПЛ1М (23) и подставляя найденные отсюда значения в формулу (20), получим искомое решение задачи Дирихле. Сравнивая ряд Фурье (22) с формулой (20), дающей решение задачи, можем формулировать полученный результат следующим образом: чтобы получал!ь решение задачи Дирихле для лруга, надо написать ряд Фурье для предельных значений» (О) и умное!сить Iг!" (п+ 1)-й член этого ряда на мнозситель! — ) . Вместо бесконечного ряда (20) решение можно представить в виде определенного интеграла.
Подставляем в формулу (20) выражения коэффициентов (23): Ц(г, В)= — ~ у(1)й(+ 1 — ~ у(1) соз л(1 — 9) ( д ) ас — а е ! -е у(г, 9)= — ~ /(1)[1+ 2 ~~Р ( — ) соя п(1 — 9)~М. Я л 1 Формула (14) из 11, 1741 дает непосредственно 1+ 2 Ъ г" соя л!В= „2 1 (0(г(1). (24) ! ! 606 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1вм Заменяя г на — н р на (à — О), получим окончательно следую- Г шее выражение для П(г, О): +к 1 Р Р' — г' (7(г, 8)= — ~8 у(Г) ~а ~~~~~ П ~, Ю.
(25) Заметим, что если бы обозначали обе части уравнения (18,) не через ( — 8'), а через (+йа), то в выражении (19) вместо (А сов 89+ -~-Вв)п80) мы получили бы (Ае"а+Ве «'), а эта последняя функция не является периодической ни при каком вещественном 8. При выводе формулы (25) мы предполагали, что решение задачи Дирихле, т.
е. искомая функция СГ(г, О), существует. Кроме того, л1ы пользовались рааложением Г (8) в ряд Фурье (22), что не обязательно имеет место, и в это разложение непосредственно подставляли г =Я. Все это заставляет нас проверить формулу (25), т. е. мы должны показать, что интеграл, стоящий в правой части формулы (25), дает гармоническую функцию внутри круга г()т и что 7(0) суть предельные значения этой функции на окружности этого кругз.
Отметим, что интеграл формулы (25) называется обычно интегралом Пуассона. 266. Интеграл Пуассона. Для простоты письмз мы будем считать в этом номере радиус круга)7 равным единице, так что формулу (25) перепишем в виде +а (Г(г, 0)= —, ~ 7(1) 1 2 т 0 «1. (26) Интеграл дает функцию от г и О, так как второй множитель 1 — г' 1 — 2г соа (à — З) + г' (27) его подынтегральной функции кроме переменной интегрирования содержит параметры г и 9. При этом функция (27), а потому и (2Г>), имеют период 2я по отношению к переменной О. Из очевидного неравенства 1 — 2г соз (1 — 8) + г'.= 1 — 2г+ г' = (1 — г)' следует, что выражение (27) и его производные любого порядка суть непрерывные функции г и О прн 0(г(1. Отсюда следует, что интеграл (25) можно дифференцировать по г и О под знаком интеграла [83), и это дифференцирование будет касаться только множителя (27).
Но,пользуясь выражением оператора Лапласа в полярных координатах 1131), нетрудно проверить, что функция (27) удовлетворяет уравнению Лапласа. Отсюда непосредственно следует, что формула (26) определяет функцию С/(г, 0), гармоническую при г(1. Остается показать, что 607 $!а, уРАВнение лАплАсл ее предельные значения на окружности круга г=1 равны г(0), что и составляет главную часть доказательства. Заметим прежде всего„ что если в формуле (26) положить Г'(1)= 1, то и гармоническая функция Ц(г,0) будет тождественно равна единице, т. е. надо ожидать, что справедлива формула + ~~ 2я ! 1 — 2г соя(т — 9)+г" — и (28) 1Аокажем эту формулу.
Согласно (24) причем ряд, стоящий справа, сходится равномерно относительно 1, так как члены этого ряда по абсолютной величине не превышают 2г". Интегрируя ряд почленно по 1, и получим (28). Функция 7(!), определенная на окружности г=1, имеет период 2я, т. е. т ( — я)=т (я). Л1ы продолжаем ее вне промежутка ( — я,я) по закону периодичности, что дает нам непрерывную в промежутке — со(1(+со функцию т (1) с периодом 2я. Введем вместо 1 новую переменную интегрирования 1 — О=!О, т.
е. 1=0+8 и !(1=!ЛО. Принимая во внимание периодичность у(1) и соа(г — 0), мы можем оставить прежний промежуток интегрирования ( — я, я) (154] и написать +к (7(г, 8) = 2„~ у (Р+ 9) ! 2, „', + г, !(0 Пусть точка (г, 9) стремится к точке (1, О,) на окружности. Нам надо доказать, что при этом 1! и(г, 9)=У(9,). Нам надо доказать, что интеграл, стоящий справа, стремится к нулю при г -ь 1 и 9 — ь О„т.
е. будет сколь угодно малым по абсол!отной величине, если г достаточно близко к единице и 9 к О,. При любом заданном положительном а существует такое т1) О, что В интеграле (28) совершим такую же замену переменных, умножим обе части на г(8,) и вычтем полученное равенство почленно из (29): +й (7(г, О) — 7(0,)= 2 ~ [у(9+8) — 7(0,)11 — 2 со + "!!У' (80) 608 ГЛ.
Чн. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ !ЭЮ при условиях (<у~~е! и )6 — 9е( ~е! ~У(у+8) — г(3е)!С 2 . (31) В интеграле (30) разобьем весь промежуток интегрирования на три части ( — ° — 4) ( — Ъ'Ч) И ). (32) Оценим абсолютное значение интеграла по второму промежутку: +ч 1 е'. 1 Гьч-й — еРъ р<, ее. Принимая во внимание, что дробь, стоящая под знаком интеграла, положительна, заменяя стоящую там разность ее абсолютным знзченнем и применяя (31), получим +ч е 1 !' 1 — ге 2 2ч,) 1 — 2г сое т+ г' или, расширяя промежуток интегрирования +е е 1 ( 1 — г' 2 2я,) 1 — 2г сое т+ г' и, следовательно, в силу (28), й( 2 63 — 3!~Ч). (33) 1 — 2г соз Ф+ г' ) 4г з!и'+, Абсолютное значение разности (У(у+6) — /(Ое)1 не превышает некоторого определенного положительного числа М, раз у(!) — непрерывная периодическая функция. Таким образом для интеграла по первому из промежутков (32) получаем оценку ~!е~( (! — ге) (и — Ч)* ачг е1ц"— 2 Рассмотрим теперь интеграл по первому из промежутков (32), В атом промежутке совр(созе! и, следовательно, 1 — 2г соа у+ г' ~ 1 — 2г соз е!+ г' =(! — г)'+ 2г(1 — сов Т1) 609 5 !З.
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ~~!' пл. (36) л ! Если этот ряд сходится и имеет сумму а, то теоремы Абеля из теории степенных рядов [1, 148] показывают, что при 0 ~ г ( ! сходится ряд м (г) = ~> илга (37) и, ввиду его равномерной сходимости в промежутке 0 < г ( ! [1, 149], мы имеем 1!ш м(г)=ж (38) г ! — 0 Но может случиться, что ряд (36) расходится, а ряд (37) при О~г(! сходится и м(г) имеет предел при г-«! — О, т. е. имеет место (38), В этом случае а называется обобщенной суммой расходя- и такую же оценку получим н для интеграла по третьему из промежутков (32).
При г -« ! правая часть написанного неравенства стремится к нулю и, следовательно, сумма интегралов по первому и третьему из промежутков (32) будет при всех г, достаточно близ. л ких к единице, по абсолютному знзчению меньше — ° Принимая во 2 внимание (ЗЗ) и произвольную малость л, ыы можем утверждать, что правая часть равенства (30) действительно стремится к нулю при г- !ив-Е,.
Отметим связь интеграла (26) с рядом Фурье функции г"(О). Этот ряд Фурье имеет вид (22), причем мы полагаем сейчас Я = 1: — '+ ~(Ал соз лй+ Вл а!плй), (34) л=! где коэффициенты определя!отся по формулам (23) при Я=1. Если, например, у'(8) удовлетворяет условиям 1(ирихле [165], то ряд (34) сходится при всяком 8. Но в общем случае непрерывной функции мы этого утверждзть не можем. Но во всяком случзе Ал и Вл-+0 при и — «оо, так что ряд — '+ ~~~~~(Ал соа лб+ Вла!плй)! (Зб) л ! сходится при г(1, и, как это видно из [205], сумма этого ряда и дает функцию (26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
