Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Эти колебания обозначим номерами (!) и (П). Напряжения и ток колебаний типа (!) обозначим через э„!н а те же величины типа (П) — через оз, !з. Если мы внезапно заменим внешние условия, при которых имеют место колебания (1), на те, при коих должен получиться тип (П), то система не сразу перейдет от (1) к (П), а только по истечении более или менее продолжительного промежутка времени, который теоретически может быть равен бесконечности, но практически конечен; в цепи возникнут свободные колебании (или устанавливаюивиеся) которые характеризуются величинами напряжения о и тока А причем мы будем считать, что во время переходного процесса состояние ли. нии получается путем сложения состояния (П) со свободными затухающими колебаниями, т.
е. напряжение и ток переходного процесса определяются суммами Фа+э, (,+!. (18) 674 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ !1аа % 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 576 При У= О, т. е. в начале переходного процесса, зти суммы должны обращаться в е1 и 1Р Функции э и 1 должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (1) и (2) [194] и предельным условиям (3) или (4), в зависимости от условий на концах. Сверх того, они должны удовлетворять и начальныи условиям вида: о!1-о = (о1 — ол) 11=о = Ю(х)' (19) 111 — о=(11 11)11-о ~~ у. Уг(х)' ) Функции о и 1 мы будем искать не непосредственно, а выразив их через одну новую неизвестную функцию щ, для чего положим Дгв дх ' Уравнение (2) дает тогда — + С дх дв + А д дх 11+ С дг + Аги) = О, Дг д'ю Дю д / дев откуда 1+ С вЂ” + Агв=г, дг где с не зависит от х.
Не ограничивая общности, мы можем, однако, Дю считать с=О, ибо, не изменяя величины и= —, можем прибавлять к тв произвольное слагаемое, не зависящее от х. Итак, мы имеем е= д, 1= — С д — Агв дэ дю Дх ' Дг (20) н уравнение (2) удовлетворено. Подставив (20) в уравнение (1), получаем уравнение, которому должна удовлетворять функция ги(х, г), а именно — ( д ) — 1. дг 1,С дг + Ати) — Ут (С дг + Атв)=0, или Дю д'гл для д, — У.С д л — (1.А+УТС) д — УСАгв=О.
дх' дгл (21) Это уравнение нааывается илелеарафным уравнением. Для упрощения его введем новую неизвестную функцию и(х, г) по формуле ев(х, Г)=е л'и(х, 1) (22) и постараемся подобрать постоянный множитель р так, чтобы в ди уравнении для и пропал член, содержащий —. Дифференцируя и дг ' Г С ') МкпжнтЕЛЬ ~ у ВВЕДЕН ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ПОСЛЕАУЮЩИЛ ВЫКЛЛДОК. 676 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ т. е ВА+ 11С 27.С Подставив это значение 1ь, мы после простых преобразований получим для и уравнение (24) где И вЂ” ЛС 29С Разберем сначала тот случай, когда величиной В можно пренебречь, или она в точности равна нулю, т. е. Р Л Е С* (25) В этом случае (26) и, положив 1 ВС вЂ” =а, я (27) для и получаем уравнение дьа 1 дьа дгь дх' ' (28) изученное выше.
Его общее решение есть [177]: и(х, 1)=0,(х — а1)+01(х+ а1), (29) и постоянная а="аг — дает скорость распросглранения возму- Г 1 9' СС иьения по кабелю, формула (22) дает ш (х, 1) = е "' [9, (х — а1) + 9„(х + а1)], и, наконец, из формул (20) получаеи е(х, 1)= — =е Р'[91(х — а1)+01(х+а1)[, дх 1(х, 1)= — С вЂ” — Ащ= — е "'[ — аС91(х — ас)+аС91(х+а1)— — )ьСВ1 (х — а() — рСоя(х+ а1) + АВ, (х — а() + АВ,(х+ а1)] =- =аСе "'[01(х — а1) — 9)(х+ас)[, сокращая на е "', мы имеем д'и ( я ди д'и1 ( дат дх' — — — )С р'и — 2р,— + — 1 — ()А+йС)( — рп+ — 1 — ЯАсс=О, дс дм! дг / и для указанной цели достаточно выбрать )ь под условием 2р.7.С вЂ” ().А +)7С) = О, в !з.
ТелеГРАФное уРАВненне сэп ибо, в силу (26) и (25), РС= А, и остальные члены сокращаются. Вместо произвольных функций 8, и 8з удобнее ввести непосредственно функции су, (х) = 8; (х) и фэ (х) = 8; (х), после чего получаем окончательное выражение для в и ! в виде: В(Х, !)=Е "'(Ф,(Х вЂ” а!)+сУЗ(Х+а!)), е-ю (30) !(х, !) = — (ф, (х — а!) — фэ(х+ а!)), где для краткости положено а=т,с .
Именно этими выражениями )!' с . мы и будем пользоваться. функция Ф, (х) и ссз (х) определяются по начальным условиям ( 1 9), которые дают нам Ф, (х) + Фз (х) = Я(х), сР, (х) — сУз (х) = Ь (х), откуда й()+ () () й() ()„(3) Задачу можно было бы считать решенной, если бы функции я(х) и й(х), или, что то же самое, с),(х) и суэ(х) были заданы во всем промежутке ( — оо, +со); на самом деле, однако, они известны лишь в промежутке (О, !), и для того, чтобы воспользоваться полученным решением, нужно продолжить их вне этого промежутка. Это можно сделзть с помощью предельных условий, как и в случае струны, и здесь физический смысл этого продолжения есть не что иное, как отражение волны в том сади пном виде от концов цели.
Явления, которые соответствуют полученному решению (30), аналогичны разобранным выше в случае струны. Мы имеем здесь две волны, прямую и обратную, которые, дойдя до концов, отражаются от них. Существенное различие со случаем струны заключается в наличии множителя е ес, который убывает с течением времени и вызывает затухание колебансгй, тем более быстрое, чем больше показатель р — логарифмический декрелсенси затухания.
197. Примеры. Если конец х=! открыт, то условие г~„!=о дает нам в силу (30) е, П + а!) = е, (! — а!) нлн, заменив а! на х, че (! + х) = Г, (! — х), т. е. в этом конце волна о~нражаетсн, оставаясь неизлсенной и но величине и но знаку, так как функция Е,(х) есть четное продолжение функции тс(х). То же, пойнгно, получится, если открытый конец будет в точке х = О.
373 гл. гп. г«лвнгнЕ!я илтгтлт!счнскОЙ ФЕ!зики Ват Если конец х=Е накорол!ссо запннулт, т. е. « ]„ =- О, то, принимая во внимание (30) н заменяя а! на х, получим Е, (Е + х) = — сЕ, (Š— л'), т. е. волна отражаелсся, сохраняя абсолютную величину, но лсеняя знак, нбо функция уа(х) есть нечетное продолжение функции «с(х). Дальнейшее продолжение идет так же, как и в случае струны. 1.
В открытую на койке цепь включается переменный гармонический ток частоты а. Окончательно установившемуся состояннсо (1!) будут соответствовзть гармонические колебания частоты ач которые были выведенм выше [195]: «, = (г(х) а(п [аг+ ф (х)], Еа = Е(х) аш [а!+ )((х)]. Если до включения цепь была пуста, то мы имеем «,=О, Е,=О. Позтому, в силу формул (19), начальные условия будут «]! = в — )с(х) зсп ф (х) = й (х), 1 Е] = — Е(х)ашу(х)= — Ес(х). а Предельные условия будут следующие: на открытом конце х=! довжно быть Е ]„ , = О. На конце х=О мы можем считать «]л о=О, ибо в рассматриваемом устанавливающемся процессе нас интересуют только те колебания, которые происходят от различия начальных условий цепи с вынужденными колебаниями частоты а. По формулам (31) определяем функции ч,(х) и т,(х), а затем продолжаем их нечетным образом через конец х = Е й четным — через конец л = О.
2. Рассмотрим ззтухающий процесс, происходящий прп начальных условиях « ~с=о = Е Е]с=о = Ос гее Š— постоянная, и при предельных условиях « 'ьт-а = 0 ! ]к-! = О формулы (31) дают чс(х)=те(х)= — —,— прп 0(х<Е, Н 2 а пз предельных условий получаем Е, ( — х) = — 2, (х), Е, (! — х) = еа (Е+ х), (32) откУда видно, что ес(х) пРодолжает в пРомежУток (Е, 2Е) фУнкцпю «,(х) чссным образом, а функция «, (х) продолжает в промежуток ( — Е, О) 670 1971 $19. ТЕЛЕГРЛФНОЕ УРАВНЕНИЕ функцию вт(х) нечетным образом, т.
с. Е '/а(х)= — —, при 0(х <21 2 — при — /~х(0 т Е 2 й, (х) = Š— —,'- прн 0 ( х ц !. 2 Заменяя во втором из уравнений (32) х на (/+х) и сравнивая полученное равенство с первым из равенств (32), будем иметь ча (2/+ х) = — чт (.Т), в точно так же нетрудно получить Е, (2/ — л') = — Е, ( — х), т. е. функции Р,(х) и е,(х) при прибавлении к аргументу 2/ меня от знак, и периодом для !шх будет только 4/. -41 -31 -Л -1 и 1 Д Л Рнс.
!ЗЕ Сопоставляя все скаааниое, нетрудно пидетть что функции в, (х) ив,(х) совпадают и имеют графин, изображенный на рис. 13Е Для получения значений о и 1 мы двигаем втот график со скоростью я налево и направо п берем полусумлту ординат, умноженную на е Р', для о ! и полуразность, умноженную на — е вт, а 1'+У лля 1. На рис. 132 изображен график напряжения на конце х = !, причем к свободному колебанию о прибавлено установившееся 4/ оа = Е. Буква т = — обозначает период а свободного колебания.
Если на конце « = 1 включены омичсскос сопротивление гь самоиндукция Хт и емкость Т/, то услоние (4) дает следующее соотношение для продолже- Рис. 132. пня фупкшш в„(х) в промежуток (/, 2!): т/! /сны Е Вт (Кд (1 — а/)+от(/+ а1)) =-~г/+) 7 — /1/ — (кл (! — е/) — Еч(1+ а/)]~. (33) Если заменить в нем аргумент я/ на х, то оно превращаетсл в дифференциальное >рабанские лля определения неизвестной функции Ф(х) = /„(/+ х) при 0 с х(!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
