Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Аналогичный результат мы пол)'чаеьн чохьзтясь предельным условием па конце х =О, и дзя продолжения Е,(х) в нромеауток( — 1, О). 560 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (тта 3. В конце х = 1 включено только омическое сопротивление г!. Рзвенство (33) заменяется тогда следующим: е-щ е Рг(е,(1 — иг)+е,(1+ иг)) =г! — (р, (! — иг) — та(1+ иг)), откуда, вводя х вместо аг, определяем Та( 1+ х): г! — а Т, (1+ х) = иТ, (1 — х), где о = гт+ е Таким образоь~ в данном случае при отражении в конце х=! волна умножается на множитель Ф Очевидно, что 1д ! ( 1, т. е.
волна уменьшается по абсоаютному значению, и происходит поглощение. При г! =ч этот множитель обращается в нуль, и происходит полное поглощение волям; при гг=со множитель д=1, и мы получаем отражение волны без изменения, что и следовало ожидать, так как этот случай равносилен открытому (не замкнутому) контуру. Продолжив таким путем Тт(х) з промежуток (1, 21) и соответственным образом Т,(х) в промежуток ( — 1,О), мы по формуле (34) продолжаем Та(х) в промежуток (21, 3!) и т. д. Прн этом, конечно, мы уже не получаем периодической функции, и если ф(1, то прй последовзтельных отражениях будет происходить все более ч более сильное поглощение волны. Функция Т,(х) будет определена таким образом при х~О, функция же Т,(х) — при х(1; но это только нам и нужно, так как аргументы (х — иг) и (х+ иг), ог которых зависят т,(х) и Т,(х), как раз удовлетворяют этим неравенствам.
198. Обобщенное уравнение колебаний струны. Мы рассмотрели телеграфное уравнение в частном случае 3=0. Прежде чем переходить к общему случаю, исследуем теоретически обобщенное волновое уравнение пока в линейном случае д'о ч д'о ао ао аг =а а +" а + "а+пата (35) причем первый коэффициент аэ мы считаем положительным, а остальные — любых знаков. Введем вместо и новую искомую функцию и по формуле и = е"'чахи (36) (37) и покажем, как и выше, что всегда можно выбрать числа а и Р так, чтобы в уравнении для и пропали члены, содержащие частные производные первого порядка. Подставляя выражение (36) в уравнение (35), сокращая на е"чах и приводя подобные члены, придем к уравнению аг =а а +(и +2а ьР) а +(а — 2а) а-+ + (а, + атрт + отр + а,а — а') н и, полагая а=а,:2; р= — а,; 2ат, придем к уравнению вида а « „ ачи — =а — +с!с дат дх" нм1 % ГК ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЯ 581 причем коэффициент са может быть как положительным, тзк и отрицательным, т.
е. ыы должны считать с или положительным числом или чисто мнимым. Будем решать уравнение(37) для бесконечной оси ОХ при начальных условиях и~ =О, де ~ =м(х). Вместо поставленной задачи, определяемой формулами (37) и (33). будем решать другуво задачу, определяемую следующим уравнением и начальными условияин ги[ =О, — [ =те(х)е (39,) 1с-о ' дг ~ г-о Решение этой задачи мы можем непосредственно написать, согласно формуле (80) из [188[: (38) с аа йвса Д )с'авав (а х)в (р у)в ' х,у, где ф— круг с центром (х, у) и радиусом а). Вводя вместо и н р новые переменные а'=а — х и Р'=р — у, преобразуем написанный интеграл в интеграл по кругу С, сцентром вначале и радиусом а): ам +~ с 1 ~ ~ а(а'+х) ее да'др )' авто — а' — Рв -У или, вынося еа за знак интеграла, можем написать с ш(х, у, 1)=е и(х, 1), (40) где второй множитель 1 (' [' а(а'+х)еа да'д)' их,1= — ) Сас (41) уже не зависит, очевидно, от у.
Покажем, что выражение (41) и решает нашу основную задачу, т. е. удовлетворяет уоавнению (37) и начальным условияи (38). Пействительно, тя удовлетворяет уравнению (39в), и, подстав.тяя выражение (40) в уравнение (39,), получим — 'у после сокращения на е»' уравнение (37) для и. Начальные условия для сс получаются непосредственно из начальных условий (39с) для ти и формулы (40).
Итак, решение уравнения (37) при начальных усло. виях (38) дается формулой (41). Преобразуем выражение, стояшее в правой части втой форлсулы, к другому виду. Приводим двойной интеграл по кругу С,с к двум квадратурам +ас +~~~ «~ аа и (х, 1) =,— ~ ~ ~ сф'~ и (а'+ х) с1а'. (42) -ас тса с Вводя во внутреннем интеграле вместо р' новую переменную интегрировзния а по формуле: р =)с'а"Р— аиа(пу, приведем этот интегрзл к виду 3 с — Г ааса-а'а иаг е' с(у или, вводя новую трансцендентную функцию 1(л), определяемую интегралом, зависящим от параметра см 1(з)= — да ехиагаЬр, 1 Г (43) можем написать формулу (42) в виде +ас и(х, с)=2 — ~ 111 — Уа'Р— а' ) м(а'+ х)сна', — ас или, вводя переменную интегрировзния а=а'+х: х+ас и(х, 1)= — ~ 1~ — )с а'Р— (а — х)з) м(а)аса.
2а д 1а х — ас дифференцируя полученное решение по 1, получим, как и в (184], ди новое решение и, = — уравнения (37), удовлетворяющее уже не дс 582 гл. чп. квявнвния матвмлтнчвскои анзики 1пи $!О. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ гоас начальным условиям (38), а условшос п~ =ос(х), — ~ =О. ди с-о ' дг с-о (44) Лля того чтобы получить решение уравнения (37), удовлетворяющее начальныъс условиям общего вида ди =9(х) дс 1 =сгс(х) (45) х+ас п(х, !)=2 — ~ ! ~а Усач!о — (и — х)о) ссос(")аси+ х-ас х+аг + ~ ~ 7(о ),гас!о (и — х)о) (а) уя1 ° (46) х — аг Производя дифференцирование по ! по верхнему и нижнему пределам, а также под знаком интеграла, и, принимая во внимание, что 7(0)=1 в силу (43), можем переписзть фориулу (46) в виде а(х — ас) с-т(х+ ас) 2 х+ ас +2,с ~ 7~а 'г' ао! — (а — х)о)Фс(а)с!и+ х — ас х+ аС + — ~ —...
!'(~8)с аоЕо (о х)о) су(а) с(и, (47) х — аС где через !'(Е) 'мы обозначили производную от 7(х) по аргументу з. Установи.с теперь связь между функцией ((г) и функцией БЕсселя с нулеоым значком [48с. о( ) = а~с (о!)о (2) л-о (48) Разлагая еа ""г в степенной ряд л о,пл е'"" г= ас л о достаточно в начальных условиях (38) взять Ф(х)=сос(х), в начальссых условгсях (44) взять ос(х)=Ф(х) и сложить соответствующие выражения для и, что приведет нас к формуле о 84 гд. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 11ээ и интегрируя этот ряд почленно по промежутку ( — — + — ~1, что 2' 2!' возможно ввиду равномерной сходимости ряда, получим лл )(г)= "~Р—, — ~ з(п" Фпр. При нечетном и написанные интегралы обраща1отся, очевидно, в нуль, а при четном и= 2з мы имеем [1, 100] л 4 — с 2 з(пазрдо=2 т ыпазрз(р= ( )( )'" я, йз — 1 2з — З ...1 л откуда следует л'з (2з — 1)(2з — 3)...
1 (2з)1 2з (22 — 2)... 2 1 л =~~)— л=а или (49) Сравнивая это разложение с (48), мы получаем 2 (л) = лэ (12). (50) 199. Неограниченная цепь в общем случае. Переходим теперь к рассмотрению телеграфного уравнения для неограниченной цепи. Предварительно заметим, что уравнение (21), которое мы получили в [196) для вспомогательной функции тл, будет также уравнением, которому должны удовлетворять в отдельности напряжение о и ток 1.
Действительно, вернемся к основным уравнениям (1) и (2) и исключим й д1 Для этого продифференцируем уравнение (!) по х и подставим вместо— дх его выражение, получаемое из уравнения (2) — +й — +л — =о д-о дп д( дх' Й дх дх 585 1Зв! $1З. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРЛВНЕННЕ Для о получаем уравнение (2!) д'о д'о до — — ВС вЂ” — ((.А -1- ВС) — — )2АР =О. дх' дта дт (51) Если бы мы стали исключать из уравнений <!) и (2) напряжение о, то получили бы для ! такое же уравнение.
Определив о, мы можем найти! так, чтобы оно удовлетворяло травлениям (!) и (2). Например, пользуясь уравнением (2), получим ! = — ~ (С вЂ” + Ао) дх + В (!), до (52) тле интегрирование совершается по х прн постоянном т п В(г) — произволь- ная пока функция от Е Подставляя зто выражение! в уравнение (1) и лнфференцируя по параметру т пол знаком интеграла, получим Дифференциртя сумму первых трех слагаемых по х, в силу (51) получим нуль, т.
е. зта сумма есть некоторая известная функция одного т, и для ойределения В (т) получаем линейное уравнение первого порядка. произвольная постоянная, получаемая при его интегрировании, определяется обычно нз начального условия. Уравнение (51), кзк и выше [196), приволится к виду д"и ! д'и — = — — + с'и дта ЕС дх' + при помощи подстановки о(х, т) =е Рги(х, г), (55) где ! У.А — )2С ! УА+ ВС 2ЕС (56) 25С до Если при с=О пам заданы вдоль цепи о и ), то тем самым мы внаем— дх дг до д! и — при Г=О а уравнения (!) и (2) дадут нам — и — при Г=О. Таком дх Ф дт дг образом, мы можем считать, что нарялу с уравнением (51) мы имеем обычные начальные условия о~ =Ф(х), — ~ =%'(х).
до г о ' дт г о (57) Пользуясь (55), мы получаем следующие начальные условия для и: и ~ = Ф (хй — ~ = Р Ф (х) + Ф' (х). ди о дт 1 з (58) — — ~ ~У.С вЂ” + У.А — ~ дх — ~ ~)!С вЂ” + ВАо) дх+ + ЕВ' (т) + ВВ (Ю) = О. (53) 586 Гл. Уп, уРАВнения еллтемлть!чггбкОН Физики юат 200. Способ Фурье для ограниченной цепы. Нетрудно прнь1еннть способ Фурье для интегрирования уравнения (51) прн заданных начальных и предельных условиях в случае ограниченной цепи. Положим, что один конец цепи х =0 поддерживается при заданном постоянном напряжении Е, а на другом конце и = О, т.
е. имеются предельные условия п/х о —— Е и о!„ , = О. (61) Положим, кроме того, что в начальный момент с=О в цепи нет ни напряженна, нн тока, т. е. о!г о —— Онг/т а — 0 (62) прнО<х<й Уравнения (1) и (2) показывают нам, что при этом Таким образом нам надо интегрировать уравнение (51) прн предельных условиях (61) н прн начальных условиях и/г о — — О, — ! =0 (0<л <7). дп дг с=о (64) (63) Применяя для и форыулу (47) и принимая во внимание (55), получим окончательно п(х, 4) — е ~' (Ф(х — ат)+ Ф(х+ от)+ 1 х+аг + — ~ (РФ(х)+ту(х)]7'( — )г лата — (а — х)') дх+ 1 Г !с х-ат х ьаг +'— ,' ~, „,,~ ( —;У"" — (.— х)) () ~, (Ож х — ат 1 где р и е указаны выше, н аьх ргйС Здесь, как и в случае колебания струны, мы имеем определенную скорость а распространения возл~ущения, так что если функции Ф(х) н тр(х), дающие начальное возл~ущение, отличны от нуля только в некотором конечном промежутке р<х<д, н мы применим формулу (57) к точке х, где х>п, 1 то п(х, г) будет равно нулю до момента времени г = — (х — л).
Существенной а разницей по сравнению со струной будет тот факт, что после прохождения заднего фронта начального возмущения функция п(х, г) не обратится нн в нуль, Рп в постоянную, но будет функцией х н й Действительно, если 1 т) — (х — р), то слагаемые формулы (59), стоящие вне знака интеграла, будут рваны нулю, а интегралы останутся, н промежутком интегрирования будет постоянный промежуток (р, д). Но все же переменные х н Г будут входить под знаки интегралов в качестве параметров. Еслк, напрныер, при Г = 0 в цепи отсутствует ток, а потенциал о определяется Функцией Ф (х), то, в силу уравнения (2), мы имеем дп~ А дт 1г=ю С вЂ” = — — Ф (х). Если считать А = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
