Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Характерным в подынтегральной функции последнего выражения является тот факт, что функция т берется в момент времени — — предшествующий моменту 1, для которого вычисляется и. в г Разница — в моментах времени дает то время, которое нужно для и перехода из точки (1, а, 1) в точку (х, у, а) со скоростью а.
Выражение (91) называется обычно запаздываю1цим потенциалам. Отметим е1це, что основная формула (89) имеет простой физический смысл, а именно она показывает, что решение неоднородного уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям (84), является суммой импульсов тв(х, у, г, г; т)йт, происходящих бт наличия свободного члена и определяемых уравнениями (85) и (86).
Рассмотрим теперь неоднородное волновое уравнение для цилиндрических волн (92) где ва(х, у, Г1 т) удовлетворяет однородному уравнению и начальным условиям дгв! — =у(х, у, т). дг ш~ =О, Принимая во внимание формулу (80), получим окончательно и(х, у, Г)= 2 ~ ~ ) ) 1' ж д( г(т1~дт (93) Ь 1 им-е1 (Р' = й — х)'+ (1 — У)'!. Отметим, что в последней формуле мы имеем интегрирование по времени, чего не было в формуле (91), где зависимость от времени сводилась лишь к зависимости от времени радиуса сферы, по которой привводилось интегрирование, и к зависимости от времени функции У(х, у, г, 1). В линейном случае д'и 1 д"и дг' = ы+1(х 1) при нулевых начальных условиях. Совершенно так же, как и выше, мы можем получить решение задачи в виде г и(х, у, г)= ~ 1в(х, у, г; т)~кт, а 553 а 1т.
волновов я лвнвннв ма1 решение будет, очевидно, а к+ам-н (х()=й-И .1 у«') 1' ч х-ан — и (95) 188. Точечный источник. Если мы полоаким, что свободный член в уравнении (83) отличен от нуля только в небольшой сфере с центром в начале координзт, то при стремлении радиуса этой сферы к нулю и при беспредельном возрастании интенсивности внешнен силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения при наличии точечного источника, который начинает действовать с моментз 1=0 и закон воздействия которого может быть любым в зависимости от времени.
Положии, что У(х,у,а, 1)=0 при )'гх'+у" +за)е (96) ~ ~ ~ У(х,у, г, 1) Ых г(у саад = 4км (1), (97) с, где С, — сферз с центром в начале и радиусом а. Обратимся к формуле (91) и будем считать, что ас) )' ха+у'+га. В силу (96) достаточно произвести интегрирование по сфере С,. В пределе при а-ь0 величина г будет равна расстоянию от точки (х, у, а) до начала, т. е. г=к'х'+уя+га, и мы получим, принимая во внимание (97), 1 / п(х, у, г, 1)= — м(1 — — ) — г ~ а) (г=)гха+ у'+«').
(98) где Т, — круг с центром в начале и радиусом е. Обращаясь к формуле (93) н переходя к пределу, получим решение для точечного Кроме того надо считать, что н(х, у, л, г)=0 при г)аб так как при г) а1 область интегрирования в интеграле (91) не содержит внутри себя сферы С, при достаточно малых а. Отметим, что функция (98) при любом выборе дважды непрерывно дифференцируемой функции м(1) удовлетворяет однородному волновому уравнению и имеет особенность в начале координат.
В случае уравнения (92) мы должны совершенно так же, как н выше, считать: У(х, У, Г) = 0 пРи )/х'+ у') в и ~ )Р(х, у, Г)ЫхИу =2км(с), те Р О а(х, у, 1)= — т " с(т (а()р), (99) )/ а'(т — с)' — р' о п(х, у, 1)=0 при а1(р (р=)/хв ( ув) Формулы (98) и (99) отличаются, аналогично тому, что мы ука. вывали в предыдущем параграфе 1(91) и (93)].
Воздействие точечного источника на точку (х, у, х) в момент времени 1 согласно формуле (98) зависит только от интенсивности источника в момент времени à — В случае формулы (90) это воздействие определяется дейв станем точечного источника за промежуток времени от момента 1=0 до момента Р а' В линейном случае (94), полагая, как всегда, +в ~ т (х, 1) с(х = ю (1) и У (х, 1) = 0 п р и ~ х ( ) а, мы получаем, переходя к пределу в формуле (95): 1.в ! л а(х, 1)= $ ю(т)стт прн 1х!(ау, о (100) а(х,()=0 при /х~)аЕ 189. Поперечные колебания мембран. До сих пор мы рассматривали волновые уравнения на плоскости и в пространстве при отсутствии границ, твк что, кроме дифференциального уравнения, имели только начальные условия.
Предельные задачи для волнового уравнения нв плоскости и в пространстве представляются гораздо более трупными, чем в линейном случае. Рассмотрим предельную задачу нв плоскости в двух частных случаях— когда основной областью, для которой решается задача, является прямоугольник илн круг. Мы будем физически толковать волновое уравнение на плоскости, как уравнение для поперечных колебаний мембраны. Под мембраной мы понимаем весьма тонкую пленку, которая, подобно струне, работает только на растяжение, но не на изгиб. Если мембрана находится йод действием равномерного натяжения ув и в состоянии равновесия лежит в плоскости (х, у) и если мы ограничимся лишь тем случаем, когда движение происходит параллельно оси Ол, то смещение и точки (х, у) мембраны будет функцией от х, у и т, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению струны, а именно д'и , тд'и д'и! — = а*1 — + — 1+у(х, у, т), д'" 1дхв дул) 1101) 554 ГЛ.
Ч!!. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ 1!за источника в случае цилиндрических волн: 555 в и. волновое впдвнение где Гу; Р— поверхностнзя плотность мембраны, Ру — внешняя сила или нагрузка а выводе уравнения (10!) мы злесь останавливаться не будем. Кроме дифференциального уравнения (101), нужно иметь в виду предельное условие, которому должна удовлетворять функция и на контуре (С)— границе мембраны.Мы остановимся лишь на том случае, когда на контуре(С) мембрана закреплена, т. е. и=О на (С). (102) Наконец, нужно задать начальное условие, т.
е. смещение и скорость всех точек мембраны в начальный момент и~ = Р,(х,у), — 1 = Р,(х,у). ди (103) (105) удовлетворяющее условиям (102) и (103). Применяя оп~та способ сшоячих волн (Фурье), ищем частное решение уравнения (105) в виде (в солит+0 В Г) 0(х, уЛ (106) что дает нам ,! д'0 д'01 — на (а ож н( + Р а1п не) 0(х, у) = и' 1 — + — 1 (а ом му + р ап в(Л '(аха у ) откуда, полагая ма йэ вз 1 (107) находим уравнение для 0: бт0 да0 — + — + йт0=0. бха ду' Ищем частное решение этого уравнения в виде 0(х, у)=Х(х) У(у), что дает нам (108) Х'(х) У(у)+ Х(х) У" (у)+ й'Х(х) У(у) — О, Х" (х) У" (у) + й т У (у) Х(х) У(у) где Л' — пока неопределенная постовннав.
190. Прямоугольная мембрана. Рассмотрим свободные колебания прямоугольной мембряны, контур которой есть прямоугольник со сторонами х=О, х=бу=О,у=ш (104) в плоскости (х, у). Внешнюю силу мы будем считать отсутствующей, т. е. у=О. Нам нужно найти решение уравнения 556 [твв тп. чн. уРАВнения мАтемАтическОи Физики Итак, мы имеем два уравнения: Х" (х) + Л'Х(х) = О, >"' (у) + р'У(у) = О, (!09) где Уравнения (109) дают нам общий вид функний Х(х) и У(у): Х (х) С яп Лх + С» сов Лх У(у) С» янах + С» сов[»х Из условия и = 0 на (С) получаем (/(х, у) = 0 на (С), а это последнее условие, в свою очередь, распадается на следующие условия Х (0) = О, Х (1) = О, У (0) = О, У (ж) = О, откуда ясно, что С, = С, =О, н если мы отбросим постоянные множители С, и С„не равные нулю, то окзжетсв: Х(х) = яп Лх, У(у) = яп [»у, (110) причем з[ВЛ[=0, з|п[»я=О. (11!) Из уравнений (1!1) вытекает, что Л и [» имеют бесчисленное множество значений ал тл Л =Лн Л», ..., Л»...а 1»=1»н Р», ...,[й», ...' ,Л» — — —, р»= —.
(!12) Взяв по произволу по одному значению Л и и из рядов (1!2), пол>чим соответствующее значение постоянной й'. ':д=':+:="~%+А а но этому значению й' найдем и соответствующее значение частоты л из (107): »3»/а» (1 13> Подставив в выражение (106) Л, вместо Л, Р, вместо [» и обозначив через а„ „ р,, соответствующие значения а и р, мы йолучаем бесчисленное множество решений уравнения (10о>, удовлетворяющих предельному условию (102), в виде алх .
тлу (а„, соэ а„,т + [[„, яп ы„,[) яп — яп —, т. е. бесчисленное множество собственных (свободных) гармонических колебаний мембраны, соответствующих таковым же колебаниям струны. ПОСтаянНЫЕ а, Р Онрсдспяятея ИЗ НаЧаЛЬНЫХ УСЛОВИЙ. ПОЛОжиз [=0 в формулах алХ . тлу и = ~~) (а»,, соз ам»т + Ц», » з1п м„»т) яп — яп —, »,» ! »,» 1 !эо! в!т. ВОлнОВОе уРАВненни получим на основании (1ОЗ) Оа алх и (! о = у! (х, у) = 1) а,„вш а,т ! йи) — = тт(х, у) = ~~ й„,м„, мп М !т-о тяу мп— ю аях тяу — в!п —. и л, а=! 4 ! ! , ал1 тяч а, = — ч! (1, () в)п — ' мп — йй йт), а" (Ш ( Ь о (114) что и дает решение поставленной задачи. Случай мембраны отличается от случая струны тем, что для последней каждой частоте собственных колебаний соответствует своя форма струны, которая просто разделяется узлами на несколько равных частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
