Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 99
Текст из файла (страница 99)
') Если бы мы в уравнении (34) обозначнлн постоянную через (+а') вместо ( — «'), то получи тн бы Х(х) = Се""+ Ре "" н не смогли бы уловлетворить предельным условиям (31). Такое же обстоятельство булат иметь место н нрн а =О. Аналогичное замечание относится и к дальнейшим задачам, к которым мы будем применлть способ Ф|рье. бЗО Гл. Нп. уРАвнения мАтемАтическон Физики !гаа б31 $!7. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 1ац Мы должны еще подставить вместо 77 одно из значения (37).
Подставляя вместо 7! различные значения, мы можем и постоянные А и В считать различными. Мы получаем, таким образом, бесчисленное множество решений ли= Аи сов — +Ви з!п — ) з!п — ' (л=1, 2, ... ). (33) Эти решения удовлетворяют как уравнению (30), так и предельным условиям (31). Заметим теперь, что благодаря линейности и однородности уравнении (ЗО) и (31), если мы имеем решения и„ л„..., нм удовлетворяющие, то и их сумма будет также им удовлетворять (как и в аналогичном случае обыкновенных линейных однородных уравненип). Мы имеем таким образом следующее решение уравнений (30) и (3!): пищ пиа1! ллл н= А соз — +В з1п — ) з!и —.
и=! Остается подобрать постоянные Аи и В„так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (32). Продифференцируем решение (39) по 1: ди Ъ~ ! пил лиат лиа лиа1! пих — — — А з!п — + — В соз — ) з1п —. (40) дт 1 1 1 1 и ! Полагая в (39) и (40) 1=0, получим, в силу (32), ~Р(х) = ~~~~~ Аи а!п —, 7Р!.(Х) = ~) — Ви з!и —, (41) и ! и ! Написанные ряды представляют собою разложение заданных функции !7(х) и !1!(х) по синусам в промежутке (О, 7).
Коэффициенты таких разложений определяются по известным нам формулам, и это дает нам следу!ощие значения Аи и В„: 2 Г пил 2 С пи! Ал —— 1 ) 17 (г) з!и — гав, Ви = — !7! (г) з!п — !(ж (42) 1! Подставляя эти значения в формулу (39), получим ряд, формально удовлетворяющий всем поставленным требованиям.
)аостаточные условия, налагаемые на у(х) и !7!(х), при которых его сумма действительно дает решение рассматриваемоя задачи„будут даны ниже. 181. Гармоники и стоячие волны. Введем амплитуду И„н начальную фазу е„гармонического колебания лиа1 пиа1 . l пиа1 '4иСОЗ +Вл 5!П =Лгл а!П ~ +ул) ° 532 гл.т!.
уРАВнения мАтемАтическои Физики 1181 Каждый член ряда (39), дающего решение задачи пяа1 ппа11 . пял . ! ппаг т . ппл А„соз — '+Ваяп — )яп — '' =Лгаз(п~ — +!!а)яп — '' (43) представляет собою так называемую с!полную волну, при когорой точки струны совершают гармоническое колебательное двзжение с одинаковой фазой и с амплитудой Л! яп —" ппх а зависящей от положения этой точки.
Прп таком ко.чебапип струна издает звук, высота которого зависит от час!иолгь! колебаний ппа Ф а ! ! (44) а сила — от наиболыпей амплитуды Дг„колебаний. Придавая л зцачеш!я 1, 2, 3, ..., мы получаем основной тон струны и уяд последовотельнын обертонов, частоты которых илн числа колебаний в секунду пропорциональны членам натураляюго ряда целых чисел о ппл 1,, 3, ... При некоторых значеничх ж амплитуда М„яп — ' может быть отрицательной. Можно ее взять по абсол:отпой величине, добавив к фазе и. Решение (39), т. е. звук, издаваемый струной, складывается из ьтнх отделю!ых тонов, или горл!антс; амплитуды их, а пегому и влияние пх на звук, издавземый струной, обыкновенно быстро убыва!ог при уьелнченпи померз гармоники, и вез их действие сводится к созданюо тембра звукз, различного для рваных музыкальных ппсгрументов и объясняемого именно наличием этих обертонов.
В точках 21 (и — 1) 1 ж=О,— л ' и ' '''' и (45) амплитуда колебаний и-й гармоники обращается в нуль, пбо н этих ппл зочках яп — '=О, и точки (45) называются узла.ин л-й гармоники. ! В точках же ! 3! (2п — 1) 1 (45,) ампл;пуда колебаний л-й гармоники достигает наибольшей вел;!чины, !3з.~ ибо функция з(п — ' в этих точках имеет максимальное абсолютное ! значение, и точки (45,) называются пучностя.ип для и-й гармоники.
Струпа колеблется при этом так, как будто бы она сосгояла гл и различных кусков, не связанных между собой, по закрепленных в ограничивающих узлах. Если мы прижмем нашу струну как 933 я и. волновое эвавнение !зп раз посередине, т. е. в пучностн ее основного тона, то обрзтятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех лругих, имеющих пучности в этой точке, т.
е. З-й, б-й, ... гармоник, напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в при>катай точке, это влиять не будет, и струна будет издавать не свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний в секунду вдвое бдльшим. Изложенный способ в отличие от способа харзктернстик можно назвать слособолс стол«пх воля; обычно же он называется спосооо.!г Фурье. Нетрудно обнаружить полное тождество решения, представляемого рядом (39), с тем, которое было найдено выше в (1791.
В самом деле, заметим сначала, что в !179! л!ы показали, что применение формулы Даламбера (16) к ограниченной струне требует, чтобы функции ср(х) и <р!(х), заданные в промежутке (О, У), были продолжены в промежуток ( — Г, 0) по закону нечетности, а затем с периодом 2д Но такой способ продолжения вполне равносилен разложению этих функций в ряд Фурье по синусам [107), т.
е. вполне равносилен формулам (41) для любого х. Подставляя эти выражения !а(х) и !Г1(х) в формулу Даламбера (17), мы и придем, как нетрудно видеть, к решению (39) ! ц! 4 ! л«(х — а!) . лл(х+а!) ~+ ! «=1 .«+а! ал 1 Г %! лла . ллг + — ) 7 — В з1п — !12 2а 3 л~г Г " ! л-а! л=! или и= — 7 А„!ьз!п " + а!и 1 ж! Г, лг. (х — а!), лл(х+ а!) ~+ л 1 1 %~ Г лг(х — а!) лл (х+ а!) '~ + — г В !соз " — соз +2 7, л~ л=1 откуда и вытекает непосредственно (39). Способ Фурье в данном случае имеет недостатки по сравнешпо со способом характеристик, а именно ряд (39) часто сходится очень медленно и не годится не только для вычисления, но даже для строгого доказательства того, что этот ряд есть действительно решение, так как при этом приходится его дифференцировать почленно два раза, что введет в л-и члене множитель и'. Зависимость искомой функции от начальных данных !7(х), 71(х), выражаемая рядом (39), гораздо сложнее по внешнему виду, чем зависимость, определяемая по способу характеристик.
Зато способ Фурье обнаруживает весьма 534 ГЛ, ШЬ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ паз взжное обстоятельство, а именно — существование бесконечного множества различных собственных гармонических колебаний струны, из которых складывается самое общее ее колебание. 1!ринвмая во внимание сказанное в [179], можно утверждать, что сумма ряда (39) будет давать решение нашей задачи с непрерывными производными до второго порядка, если функции 7(х) и 7,(х) обладают указанными в [179] свойствами. Если же функция 7(х) имеет непрерывные производные до третьего порядка и удовлетворяет условиям 7(0)=р" (0)=7(!)=~" (!)=О, а Ф,(х) имеет непрерывные производные до второго порядка и ~,(0)=7,(!)=О, то, как можно показать, ряд (39) можно дифференцировать по х и 1 дважды.
Можно рассматривать решение волнового уравнения и при меньших предположениях о начальных данных, о чем мы будем говорить в четвертом томе. В дальнейшем при применении метода Фурье мы не будем оговаривать тех условий, при которых получаемые ряды действи« тельно дают решение задачи. Общая точка зрения на метод Фурье будет нами изложена в четвертом томе. Цель настоящего изложенпя— указать метод решения и получаемый при этом аппарат. Отметим еше, что из рассумгденнй, приведенных в [177], и метода характеристик [179] непосредственно следует, что решение поставленной выше задачи как для бесконечной, так и для конечной струны, единственно.
В дальнейшем мы ззймемся вопросом единственности решения для общего волнового уравнения. 182. Вынужденные колебания. В [176] было выведено уравнение вынужденных колебаний струны под действием силы г"(х, !), рассчитанной на единицу длины д1 =л~д —,+7(х, !) [7(х, 1)= — г'(х, !) ~. (46) К этоыу уравнению нужно присоединить предельные условия (берем случай закрепленной струны) и начальные условия и ! =л = О, и /„=г = О, ди ! р =а= у(д) д — ~, =7~( ). Эти вынужденные колебания общего типа можно представить себе как результат сложения двух колебательных движений, из которых одно есть чисто вынужденное колебание, т. е.
такое, которое совершается под действием силы г", причем струна в начальный момент не выведена из состояния покоя, другое есть свободное колебание, которое струна совершает без действия силы, только вследствие начального возмущения. Аналитически это приводит к введению вместо м двух новых функций в и ш, по формуле в=в+МА 535 а !1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ !аа! где функция о удовлетворяет условиям о]л=о=О, о].=! =0 дв] е!! а=О, — ] =0 дг !1=о (49) (50) (5!) и дает чисто вынужденное колебание, а функция и! удовлетворяет условиям так что предельные условия (50) удовлетворяются сами собой, но функции Т„(!), конечно, отличаются от тех, которые мы имели в ]180], нбо уравнение (49) не однородно, Подставив ряд (52) в уравнение (49), получаем: ',ь„Т" (1) з!и — = — ал ~~! Тл(!) !"!"'] з!п — +~(х, !), ° =! л ! откуда, заменяя — величиной !лл (44) !181], ~(х, !) = ~~~~ ( Т„" (!) + !л', Т„ (!)] з!и "— " .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
