Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Наоборот, в первом интеграле стоит четная функция от а, и инте- грирование по а в промежутке ( — со, +со) можно заменить инте- грированием в промежутке (О, оо), приписав к интегралу множитель 2. Отсюда видно, что формула (14) равносильна формуле (2). Считая т (х) непрерывной, перепишем (14) в виде +со +со т«(х)= —, ~ е Йа ~ «т(1)еыИ, 1 г откуда видно, что, как и для формул (10) и (11), мы можем пере- писать ее в виде следуюшнх двух формул +ос у! (а) = = ~ у (1) е~ стт, 1 т«2к +о) у (х) = = ~ у! (а) е "«'с(а.
1 )/2в,) (1бт) Сделаем одно замечание по поводу интеграла Фурье в комплексной форме. Мы не можем утверждать, что интеграл +~ +со 1 — сто ~ у(т) л!по(т — х) стт 2« ! с бесконечными пределамн по отношение к переменной о имеет обычный смысл (88). Мы можем лишь утверждать, что прп любом конечном положительном знзченни М +м + — $ с!о ~ У(т) яп о(т — х) стт =О, 1 2к — Л -со и, следовательно, строго говоря, формулу Фурье в комплексной форме ны должны записывать в анде +М +со т (х) = — !!ш ~ е о«!лса ~ у(т) есс! стт 1 — 2к л! -м со тта! з са. интегрлл етрьи и крдтиын ряды екяьн 609 В данном случае нижний предел стремится к ( — о»), а верхний — к (+со), имея одинаковые абсолютные значении.
Для существования несобственного интеграла в обычном смысле необходимо, чтобы предел существовал при любом законе стремлении нижнего предела к ( — со) и верхнего к (+ со). 174. Ряды Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье можно представить в комплексной форме так же, как вто мы только что сделали с интегралом Фурье. Напомним формулы из [168]: У(х) = 2 + лУ„(па соз — + Ьаз!п — ), «-с (16) 1 Г +с аа — — — ~ У(Е) соз — 'Я, Ь»= — ~ У(Е)з!п — Л. йвЕ 1 йлЕ а — с — с Покажем, что формулы зти равносильны следующим: +ч» с лаа К(х)= лУ' сче, сл= 2 ~У(Е)е с(Е.
(17) ч= — со -с Здесь значок и принимает не только целые положительные, но и отРицательные значениа. ОпРеделим отдельно с, са и с а, где й— целое положительное число. Согласно (17) и (16) имеем фс — у(Е)6Е= 2 а — 2С +с са — — — ! с (Е) стсоз — — ! з1п — ) с(Е = Азз 'т ас, — Саа с ) 2 +с с „= 2 ~У(Е)(соз — "+1з!п с )с(Е= — с Подставляя в ряд (17) и суммируя отдельно по положительным и отрицательным значкам, получим — с у(х) ж+~ ° — 'а, ' +~ "+а а-с а-с Слагаемые двух написанных сумм при одинаковых й суть мнимые сопряженные величины. Соединяя их в одно слагаемое, получим вещественную величину .
акл ачх с — с аа — са» с ла + сав с йпх йвх — — в + 2 2 а =пасов — + Ь» з!ив > гпз 610 Гл. Ув Ряды еуРьи и предыдушее выражение для У(х) совпадает с рядом Фурье (16), откуда и следует равносильность (17) и (16). 176. Кратные ряды Фурье. Ряды и интегралы Фурье могут служить и для представления функций от двух и большего числа нева.
висимых переменных. Рассмотрим, например, функцию у(х, у) периодическую, периода 21 относительно х и периода 2т относительно у. Рассматривая функцию у(х, у) как функцию от х, мы имеем +«О 1(х, у)= Х с,(у)е (18) где +г с,(у)= 2 ~ г(1, 1)е й1. — г Функция с,(у), в свою очередь, может быть разложена в ряд вида с,(у)= ~а с„е где с„= — ~ с,(т1)е йт1= ~ „) ') У(с, й)е в«1 с(Ч.(19) — ос — З вЂ” ос Подставив полученное выражение для с,(у) в формулу (18), получим сс««« у(х, у)= ~а ( с„'~~ с„)е «= — со «= — со откуда, раскрывая скобки, имеем формулу г(х, у)= .5, с„е (20) «, с — со которая обобшает ряд Фурье на случай двух переменных, Таким же образом для периодической функции г'(хв хь х,) от трех независимых переменных периода 2о«, относительно хь периода 611 з м.интвгклл втгьв н кватныв виды втвьв ттз! 2м„относительно х, и периода 2м, относительно х„мы имеем +со а», а», ໠— со где с,,„, = „~ ~ ~УА (я ~)а О»самс((~с(1» (22) с — а — » Выделяя вещественную часть в формулах (20) и (21), получим разложение в ряд Фурье в вещественной форме.
Ряд (20) при (= т = я имеет вид 1(х, у)= ~'„(а,",', соз Ох соз ту+а'.", соз Ох з1п ту+ а,с О + а',", з!и Ох соз ту+ а ',", з!и Ох з!и ту). (23) Мы не выписываем выражений для коэффициентов и не проводим исследования условий разложимости т (х, у) в ряд Фурье. Укажем одно достаточное условие: если 7(х, у) имеет период 2я по х иу, непрерывна и имеет непрерывные частные производные при всех х и у, то она разлагается в ряд Фурье при всех х и у. Отметим, что в формуле (23) О и т могут независимо друг от друга стремиться к бесконечности: =!!ю а» О и соа Ос О 6 о» Формула Фурье для функции двух переменных имеет вид +со +о» +со +со 7 (х, у) = —, ~ с(ас ~ стс ~ с!я, ~ 7(с., т) е'! Ве — о»+ а !ч-гп! сь1, (24) 1 причем интегрировзние по а, и аа надо понимать так, как это ука- зано в конце [173). В вещественной форме будем иметь со +со о» +со л.,»»=-„',~ а, ( ас(а, ! »сс»-,Π—.» °,сс — »»ас.
-ы д (25) Эта формула имеет место, если функция 7(х, у), определенная на всей плоскости, непрерывна, имеет частные производные первого 1176 б12 ГЛ. У1. РЯДЫ ФУРЪВ порядка, при любом фиксированном у абсолютно интегрируема по х на промежутке — оо(х(+со и при любом фиксированном х абсолютно интегрируема по у на промежутке — оо(у(+со. Если, например, функция у(х, у) есть четная функция от х и у, то вместо формулы (25) можно писать У(х у)= ОО СО СО СО 4 — соа и1 х ~Ь1 ~ соз а1 4 111 '1 соа иау 1Ь1 ~ Х11,11) соа ивт1 й1. 126) Ь Ъ М о Аналогичным образом может быть написана формула Фурье и для функции Дх„ха..., х„) любого числа независимых переменных.
ГЛАВА ЧП УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 5 Гс. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 176. Уравнение колебиний струны. Вопрос об интегрировзнии дифференциальных уравнений с частными производными принадлежит к наиболее трудным и обширным отделам анализа, н здесь мы ограничимся рассмотрением основных задач из указанной области.
Настоящий параграф мы посвятим задачам, связанным с так называемым волновым уравнением д'и я ~ д'и д'и д'и т д'и дтс ~ дх' ' ду" да' С дг' — =ая~ — ->- — + — ~ или — =а'аи, где д'и даи д'и Ьи = —, + —, + —, = дсч дгад и. К этому уравнению мы пришли при рассмотрении звуковых и электромагнитных колебаний. Положим, что а не зависит от у л х, т. е. что сс имеет одинаковое значение во всех точках любой плоскости, перпендикулярной оси ОХ.
В этом случае волновое уравнение принимает вид д'и я д-и — =ив дта дх' ' и в таких слушая говорят обычно, что имеется ллоенал волна. Мы покажем сейчас, что такое же уравнение получается при рассмотрении малых поперечных колебаний натянутой однородной струны. Под струной мы понимаем гонку>о нить, которая может свободно изгибаться.
Допустим, что она находится под действием сильного натяжения с„н в состоянии равновесия без внешних сил направлена по оси ОХ. Если мы выведем ее нз поло>кения равновесия и, кроме того, подвергнем действию какой-нибудь с>слы, то струна начнет колебаться, причем точка струны, аанячавшая при равновесии положение Ас с абсциссой х, к моменту С займет положение А1. Мы ограничимся рассмотрением только поперечных нолебпнсс>С, цредползгая, 17 в. и.
смирвов 514 Гл. чп. уРАВнения млтемАтической Физики !171 что все движение происходит в одной плоскости и что точки струны движутся перпендикулярно оси ОХ (рис. 120). Смещение ФМ точек струны мы обозначим через и. Это смещение и будет искомой функцией двух независимых переменных х и й Выделим элемент струны ММ', который при равновесии занимал положение тчгч'. Считая деформации малыми, мы будем пренебрегзть ди квздратом производной — по сравнению с единицей. Пусть а — остдх рый угол, образованный направлением касательной к струне с осью ОХ.
Мы имеем зш а'= ( —,), з!п а = ®) н, следовательно, Т,[®)„,— ®),1+Р д =0. (2) Разность, стоящая в квадратных скобках, выражает приращение ди функции —, вызванное изменением х на Нх. Заменяя это приращение дифференциалом, получим (1, 60) ди ди . 1яа дх ди !еа= — и з!п а= д* г!.). ц ~ тт 7~ д 1у '+( — ) (дх~ Обозначим через гч силу, действующую на струну перпендикулярно к оси ОХ и рассчитанную на единицу длины. На рассматриваемый элемент ММг действуют следующие силы: натяжение в точке М', ГИх направленное по касательной в точ- ке М', причем оно обрззует остАг ~ 1ц рый угол с осью ОХ, натяжение в да точке М, направленное по касательной в точке М и образующее тупой угол с осью ОХ, и сила г'их, направленная по оси и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
