Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Ввиду сделанного предположения малости деРяс. !20. формаций мы считаем оба упомяну- тых выше натяжения равными по величине натяжению Т,. Положим сначала, что мы имеем равновесие струны под действием упомянутой силы гг. Проектируя на ось и, будем иметь следующее условие рзвновесия: Т, з!па — Та з!п а+Рдх=О, (1) где а' — значение упомянутого угла а в точке М', т. е. 1тщ % 1Т.
ВОЛУ!ОВОЕ УРАВНЕНИЕ Подставляя в (2) и сокращая на бх, будем иметь уравнение равновесия струны (з) Для получения уравнения движения нам достаточно, по принципу Даламбера, к внешней силе добавить еще силу инериии, которую мы получим следующим образом: скорость точки М есть очеди д'и дг ' видно —, а ускорение —,, и поэтому сила инерции элел1ента дР ' ММ', равная с обратныи знаком взятому произведению ускорения на массу, будет д'и — — р Ых, др где р есть линейнзя плотность струны, т. е. массз единицы длины, а сила инерции, рассчитанная на единицу длины, будет д'и Р дР ' р постоянной величиной.
движения мы получим, ваменяя в уравнении (3) причем мы считаем Итак, уравнение д'и Р на Р— р— дса что дает даи даа р — = т — +Р. дР 1 дх' Разделив на р и полоигив т,, р ая Р Р мы получаем уравнение вынужденных поперечных ны (4) ьолебаний стру- д'и , д'и — =а — +у де а дх' Вели Внешняя сила отсутствует, мы имеем У=О и получаем уравнение свободных колебаний струны (6) В томе 1Ч мы укажем другой Вывод уравнения (5) на основе принципа Гамильтона.
Выше мы предполагали, что внешняя сила распределена по всей струне непрерывно; но иногда приходится иметь дело с силой Р, сосредоточенной в одной точке С. Этот случзй можно рассматривать либо как предельный случай предыдущего, считая, что сила действует на бесконечно малый элемент длины а около точки С, но тзк что произведение ее величины на а стремится к конечному ГЛ. Чп.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ггта пределу, отличному от нуля, при я-вО, либо же непосредственно, прилагая уравнение (2) к элементу М(гг" около точки С и заменяя там Рг(х на Р. Заметим при этом, что мы не добавляем к Рагх силы д'и инерции ( — — р агх), так как считаем, что она стремится к нулю дгв при агх-+О. Считая, что концы элемента приближаготся к точке С, и обознада чив предельные значения, к которым стремлтся — когда мы придх ' ближгемся к точке С справа илн слева, соответственно через (д-), (-.) мы получаем в пределе из уравнения (2) 1() (-)1 (7) Мы видим, таким образом, что в точке С действия сосредоточенной силы струна имеет угловую точггу, т.
е. точку с различными направлению:и касательной слева и справа. Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (5) недостаточно для полного определенна движения струны: нумгно еще задать ее состояние в начальный момент г = О, т. е. положение ее ди точек и и их скорость — прн (=О, как известные функции от х: дг гггг=а = р (х), — ~ = рг (х).
ди (8) (9) ггг„-в = О. Эти условия, которым должна удовлетворять искомая функция и при (=О, называются началвнылггг условиллги. Теоретически можно рассматривать бесконе'шуга струну, и в этом случае для нахождения решения достаточно уравнения (5) и условий (8), причем ~р(х) и рг(х) должны быть заданы во всем бесконечном провгегкутгсе ( — сю, +Со).
Этот случай люжет соответствовать рассмотрению плоских волн в безграничном пространстве. Как мы увидим в дальнейшем, полученные для бесконечной струны результаты дадут нам картину распространения возмущщшй и в стран:гченггой струне до того момента времени, когда в рассматриваемую точку придут возмущения, отраженные от концов струны. Ио если струна ограничена с одной пли с обеих стсуон в точках х=О и х=(, то нужно указать, что делается на ее концах. Пусть, например, конец струны х=О закреплен. В этом случае мы должны иметь 617 я гь волновос гэьвнзние Если взкреплен н конец х=й то мы получаем еще сс)в=с = О, (9() н эти условии долгины быть выполнены при всяком с.
Но концы струпы могут быть пе закреплены, а двигаться заданным образом. Тогда ордипаты этих точек струшл нужно считать заданными функциями от времени, т. е. положить сс(, о=у((у), и(„-с — — уа(с). ! 10) Как бы то ни было, если струна огранячена с одной или с обеих сторон, то для каждого ее конца должно быть задано условие, которое называется нредельныж условие.ч. Итак, мы видим, что для реисенля конкретной фюсзсючесносг заданю не лсеньюнее значет(е, чеж са,но уравнение двсюзюеенюся, илсеююн дснголннлгельные начальные и предельные условия, и что нас интересует не столько нахождение кзких-нибудь решений или даже обп(его решения уравнения движения, сколько нахождений именно того Решения, которое удовлетворяет поставленным начальным и предельным условиям.
177. Решение Даламбера. В случае свободных колебаний бесконечной струны искомая функция и(х, г) должна удовлетворить уравнению (6) д'и, д'и дР дх' — = а'— при начальных условиях (8) ди! сю((с-О = (!((х) дс 1, = (р( (х)' причем ввиду неограниченности струны функции (З(х) и в((х) заданы в промежутке ( — со, + оо). Можно найти самое общее решение уравнения (6), и притом в такой форме, что легко можно будет удовлетворить и условиям (8). г(ля этого преобразуем уравнение (6) к новым независимым переменным: ч = х — а1, г! = х+ а1 или х = —, (г)+ 1), 1= — (й — !).
1 . 1 2 ' 2а Считая и зависящим от х и 1 через посредство ч и г! и применяя правило дифференцирования сложных функций, вырззич производные по прежним переменным через произволные по новым переменныьс д(г дн да дх д=, дгс ' 818 Гл. юь уилвнения математической Физики 11л Применяя ши же формулы еще раз, получим откуда (11) =ОД, получаем, интегрируя, =) 9(1) д(+6,(1), где 6,(т1) есть произвольная функция от и («постоянная» при инте- грировании по О может зависеть от т1).
Первое слагаемое можно считать здесь произвольной функциеи от Е, ибо 6(Е) есть произволь- ная функция О, и, обозначив ее через 0,(О) имеем и = В, (6) + Вя (я), или, переходя к старым переменным (х, 1), и(х, 1)=9,(х — ас)+9,(х+а1), (12) где О, и Вя — произвольные функции своих аргументов. Это самое общее решение уравнения (6) называется решением Даламбера; оно содержит две произвольные функпии О, и Вя. Лля их определения мы воспользуемся начальными условиями (8), которые, ввиду равенства — = а [ — 6,'(х — а1)+ 0;(х+ а1)) и равенства (12), дают 6,(х)+Вя(х) 'Р(х) — 9 (х)+6 (х) — (13) или, интегрируя и меняя знак на обратный, Ог (х) — Вя (х) = — — р, (л) Ыа+ С. 1 д'и , д'и 4 ' д'и даг дх' д1 дч ' и уравнение (6) оказывается равносильным следующему: д'и — = О.
д$ дч Переписав уравнение (1 1) в виде , ~к)=' ди заключаем, что — не зависит от О, т. е. является функпиен только д$ от О. Положив $17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕННЕ 519 Положив х = О, определяем произвольную постоянную 0 С=О,(0) — 0 (0). Не ограничивая обшности, моягем считать С=О, т. е. 0 (О) — 0 (0)=0, (14) ибо, если бы оказалось С~э О, то, введя вместо функций 9,(х) и 9,(х) функции 0,(-) — —,, 9,(~)+ —,;, С С мы, не меняя равенств (13), удовлетворили бы и (14). Итак, мы имеем 0,(х)+0,(х)=9(х), 0,(х) — 9,(х)= — —, ~ <Р1(л)а7д (1б) 1 Г Отсюда мы без труда определяем функции 0,(х) и 0,(х): 0()=20(), ~~~,()б, 0,()=,~( Н вЂ”,~~,()б.
(!О) ! ! Г ! 1 о Ъ Подставив полученные выражения в формулу (12), находим к-а7 и(», !)= — 20(» — и!) — —, 1 0 (а)ба+ — 2т(х+и!Н! 1 Г 1 к+а1 +й 1 т (')б' или, окончательно, к+аг .(, !)= ("-'"+т( +")+ 2' ~ ~,(а)б. (17) к-а7 Формула (17) дает, очевидно, дважды непрерывно дифференцируемое решение (так называемое классическое решеняе) задачи, если у(х) имеет непрерывные производные в'(х) и р'(х), а 1ч(х) — непрерывную производную ч',(х) при — ОО(х(+ОО.
Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент имеет форму ломаной линии, то р(х) не имеет определенной производной в вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула (17) дает решение задачи, хотя функция и(х, т) и не всюду имеет непрерывные производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобшенное решение.
Теория обобшеннык решений будет изложена в томе !Ч. 520 ГЛ. УП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ПРЗ 178. Чзетиые случаи. Формула (17) дает полное решение поставленной задачи. Для лучшего уяснения полученного решения рззберем различные частные случаи. 1. Начальный импульс равен нулю, т. е. начальные скорости точек струны равны нулю. При этом условии Ф,(х)= О, и формула (17) дает Т(х — аг)+ е(л+ аг) (18) в то время как в начальный момент и ! а з = и (х, 0) = ср (х). Каков физический слаысл решения (18)7 '1нслвтель выражения(18) состоит нз двух слагаемых, и л1ы остановимся на первом: 7(х — а(). Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный момент времени 1=0 вз точки х=с струны, передвигается в положительном направлении оси ОХ со скоростью а, т.
е. его абспнсса меняется по формуле: х= е+ ас нли х — а(= с. Для такого наблюдателя смещение струны, определяемое формулоп л = 7 (х — с(), будет оставаться все время постоянным, а именно равным 7(с). Саьи е явление, определяел|се функцией и=у(х — а(), называется распросларанениель прллгой волны. Возвратясь к формуле Даламбера (12), л~ы можем сказать, что слагаемое Э, (х — а() дает прямую волну, которая распространяется в положительном направлении осн ОХ со скоростью а. Точно так хсе второе слагаемое 6,(х+а() определяет таксе колебание струны, при котором возмущение распространяется со скоростью а в отрипательном направлении оси ОХ в том смысле„ что в момент 1 точка с абсеиссой е — а( будет иметь то же опсловснне и, которое имела точка х=е при 1=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
