Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Первый множитель у(х — 2г) имеет в промежутке интегрирования конечное число разрывов первого рода (или непрерывен). Второй ' ~11 31 + 5] при г 0 стремится к нулю и никаких разрывов в промежутке (О, — ~ не 2) имеет. Следовательно, к интегралу (22) применима лемма из ]164], и этот интеграл стремится к нулю. Таким образом, утверждение теоремы Дирнхле доказано. Мы дополним доказанную теорему еще двумя предложениями, которые мы приведем без доказательства.
Полученное нами предложение обнаружи- вает лишь то, что во всякой точке промежутка х ряд Фурье 3]г(х)] схо- дится и имеет суммой у(х), но в этом предложении ничего не упоминается о характере сходимости в промежутке ( — и, я). Предложения, поторые мы сейчас формулируем, восполняют этот пробел.
1. Во всяком промежутке, в котором (йункяпя у(х), удовлетворяю- щая условиям Дирихле, кроме того, непрерывна, и который лежит внутри промежутка ( — я, я), ряд В [у'(х)] сходится равномерно. 2. Если у(х), удовлетворяющая условиям Дирихле, непрерывна во всем промежутке ( — я, я), и сверх того г" ( — и+ О) = у" (я — О), то ряд Б ]г(х)] сходится равнолгерно при всех значениях х. Читатель покажет без труда, что предложении, аналогичные указанным выше, име!от место для рядов, расположенных только по косинусам или только по синусам в случае, если функции определена в промежутке (О, п), со следующими изменениями: При условиях теоремы Дирихле для промежутка (О, я) сугп!а ряда ыа! ч и.
дополнительные сведения из твопии рядов огяьв 483 Все зти результаты получаютсп очень просто, если прололжить функцию у(х) в соседний промежуток ( — п, О) четным образом а случае ряда (23) и почетным в случас ряда (25), как зто было сделано а [157[. 168. Приближение к непрерывной функции полиномами. Нашей следуюшеп задачей является доказательство формулы замкнутости (40) из [169]. Это доказательство будет основано на некоторых результатах из теории приближений функции полиноиами. К изложению этих реаультатов, которые являются важными и сами по себе, мы сеичас и переходим. В основе всего здесь лежит следующая теорема: Теорема 1 (Вейерштра сса).
Если 7(х) — любая нессрерыв. ная в замкнутолс конечном пролсежупске а(х(Ь функцсся, спо существует последователвность многочленов Р,(х), Р,(х),..., коспорая стремится равномерно [1, 144) к с(х) во всем замкнутом промежутке (а, Ь). х — а Заметим прежде всего, что при помощи преобразования х'=— Ь вЂ” а можно промежуток (а, Ь) привести к промежутку (О, !), и полиномы от х будут полиномами от х' и обратно. Можно поэтому считать, что промежуток (а, Ь) есть (О, 1). Докажем сначала два элемеитар. ных алгебраических тождества. Напишем формулу бинома Ньютона 'У', Смссмоп ., ( +еУ'. и (26) Я тС„п о =асс(сс-[-о)" ', в=о (27) 'У,' таС„п"е" '"=сси(лсс-)-о)(сс+.п)п '. и=о Полагая в (26) п=х и о=! — х, будем иметь л 1= 'Е Саха(! — х)л-е, л о (28) Умножая (26) на и'х', первое из(27) — на( — 2пх), второе из (27)— на единицу и складывая, получим при сс=х и о=! — х; й ~Ч', (т — ПХ)"СлХ (1 — Х)" =ПХ(1 — Х).
и о Дифференцируя это тождество по и и умноская на и, а затем проделывая то же самое с полученкым тождеством, будем иметь два новых тождества ГЛ. Щ. РЯДЫ ФУРЬЕ 11 за л Х (лг — пх) С,'"х (1 — х)" ( — л. и (29) Покажем теперь, что многочлены л Р (х)= ~~[ ~~ — )Слх (1 — х) и я (30) равномерно стремятся к г"(х) в промежутке (О, 1). Умножая обе части (28) на у(х) и вычитая из полученного равенства равенство (30), можем написать л г(х) — Рл(х)= ~> ~Д(х) — г( — )[Слх (1 — х)" ~. и О Нам надо доказать, что при любом заданном положительном а существует тзкое М, не зависящее от х, что л ! ~, [г(х) — УЯС,"х (1 — х)" ~(а при п)М, Ф Так как при 0(х я 1 произведение С„"'х (1 — х)л ")О, то л / '5' ~у(х) — у(" — „Д С,",х" (1 — х)л-" $ ~ Ф л *л-- ~~ ~У(х) — У(м ))С„"х (1 — х)л т и достаточно доказать неравенство л ~г )У(Х) — 1( — ) ) СлсХ (1 — Х)" '"(В Прн Л)М.
(31) -о функция г(х) равномерно непрерывна в промежутке (О, !) [1, 331, т. е. существует такое Ь, что [1'(х,) — Г(х,) )ч ' —, при )х, — хя)(Ь. Пусть х — фиксированное значение ив промежутка (О, 1). Разобьем сумму (31) на две части 8, и 8,. К первой сумме отнесем те сла- Нетрудно показзть [1, 601, что правая часть этого равенства, положительна в промежутке(0, 1) и принимает наибольшее значение при х= †, откуда следует при 0 ~хм. 1 1 иму я еь дополнительные сведения из теогии еядов этэье 48б гаемые, у которых и удовлетворяют условшо ~х — — ~(3.
В силу п~ выбора Ь имеем для первой суммы, состоящей из положительных слагаемых, оценку 8у( у 2 Сах (1 х) в гл где (!) указывает, что суммирование ведется по значениям т, удоуя влетворяющим неравенству ~х — — (С" ч. Если мы просуммируеч по и всем значениям т от О до л, то сумма может только увелиЧиться, т. е. 8У(,~ 2 Слх (1 х) = 2 ~~~ Слх (1 — х)" 4юы и-з т. е.
в силу (28), 8,( — при любом Уь Переходим ко второй сумме 2 8,='5',~У(х) — У(~ )1 С.х (1 — х)™, УУУУ где суммирование распространяется на те значения т, которые удови летворяют неравенству ~ х — — ~ =» а или ~ лх — лу ~ ) ла, и оценим эту сумму. Функция У (х), непрерывная в замкнутом промежутке (О, 1), должна удовлетворять в этом промежутке неравенству вида: ~У(х)(~сМ, где М вЂ” определенное положительное число [1, ЗБ) и, следовательно, ~У(х) — У( — ) ~~~У(х)(+~У( — ) («=.2М.
Кроме того, (лх — уя)' умножим слагаемые суммы 8я на множители, „, которые не я'У 1 меньше единицы. Вынося 2М и —,,„не зависящие от переменной суммирования иу, за знак суммы, получим 8я ~,—,„а, ~~) (лт — лх)'С„'"х (1 — х)" но Все слагаемые положительны, и если мы просуммируем по всем значениям т от лу=О до т=л, то значение суммы может только увеличиться. Принимая во внимание (29), получим и 8,( —,, ~) (т — лх) С„х (1 — х) ( —,.
т О Висла М и 6 — определенные положительные числа, и чтобы 8, 436 ГЛ. ЧЬ РЯДЫ ФУРЬЕ $ М е удовлетворяло неравенству 8я ( — достаточно взять — ( †, т. е. 2' 2иаь 2 ' Л д! п) —,. Мы получили то число И= —,, которое нам нздо было аь' ьа9 Ф найти. Лействительно, при гг)М обе суммы Яг и Зя( —, и неравенство (31) удовлетворено; теорема Вейерштрасса доказана.
Нетрудно видеть, что доказанную теорему можно формулировать следующим образом: если л (х) — непрерывная функция в замкнутом иролгежутке (а, д) и а — любое заданное положительное число, то существует такой лгногочлен Р(х) огп х, что во вселг промежутке (а, д) выполняется нераеенспгво )7(х) — Р(х) ~(а. (32) Основываясь на теореме Вейерштрасса, докажелг аналогичную теорему для периодических функций. Теорем а 1!. Еслгг л (х) — непрерывная периодическая функция периода 2и и а — любое заданное положительное число, то сущеспгвует такой тригонометрический полино.и Т(х)=сь+ ~Ч „' (с„соз Ах+ ба з!и йх), (33) что при зсяколг х: /У(х) — Т(х) / (а. (34) Заметим прежде всего, что, в силу пернодичности, достаточно удовлетворить неравенству (34) в основном промежутке ( — н, и).
Положим сначала, что У(х) — четная функция, и введем вместо х новую переменную 1=созх, т. е. х=агссоз1, причем мы' берем главное значение этой функции, т. е. при изменении ! от 1 до ( — !) функция х= агс соз ! непрерывно меняется от 0 до и. Функция Г(х)=л (агс соз !) будет непрерывной функцией ! в промемгутке ( — 1, 1) и, по теореме Вейерштрасса, существует такой много- член Р(!), что 1/ (агс соз !) — Р(!) ~ ( а ( — 1 ( ! ( !), и, возвращаясь к прежней переменной, получим: 1л (х) — Р(соз х) ! ( а (О ( х ( я). При замене х на ( — х) значения 7(х) не изменяются ввиду четности г(х) и значения Р(сов х) также не изменятся ввиду четносги сов х, т. е.
написанное неравенство справедливо и при — к -.х ( О, т. е. во всем основном промежутке. Но, как известно !1, 1761, целые мз! з м дополнительныв сведсния из теории вядов втвьв 487 ф ( ) = — [У(х) + г" ( — х)!, ф(х)= 2 (т(х) — У( — х)), 1 (35) то 7(х) будет равно сумме ф(х) и ф(х), прячем ф(х) — Функция четная и ф(х) — нечетная, и обе — периодические. При заданном а существует, по доказанному, такой многочлен Р(!), что ~ ф(х) — Р(соз х) / ( —.
Если мы дока>кем, что существует такой много- 2' член ()(!), что ~ ф (х) — з!п х Я(соз х) ) ( —,' ( — к ( х < к), то тригонометрический полипом Т(х)=Р(соз х)+ з!п х Я(сов х) будет удовлетворять условию (34). Введем по-прежнему новую переменную !=сов х и рассмотрим функцию ф(х)=ф(агссоз() в промежутке — ! (1(1. Функция ф(х), как всякая непрерывная, нечетная и периодическая функция, обращается в нуль при х=О и х=к, и, следовательно, ф(агс сов!) обращается в нуль на концах промежутка, т. е.
при 1=-+.1. Из формулы (30) вытекает, что если т'(х) обращается в нуль на концах промежутка (О, 1), т. е. 7(0)=7(1)=0, то и многочлен Р„(х) обладает тем же свойством. Пользуясь преобразованием у=2х — 1, можем свести промежуток (О, 1) к прочежутку ( — 1, !) и утверждать, что существует такой многочлен Я(!), равный нулю при с=+ 1, что ~ф(агс сов!) — Я(!)1( — при — ! <! (1.
Мы можем при этом написать !с(!)=(1 — Р)Я,(!), где Й,(!) — тоже многочлен, и предыдущее неравенство переписывается в виде !ф(х) — з!пахя,(сов х))( — пря 0(х -к. (37) Для Функции з!п хЙ,(сов х)=)' 1 — !аЯ,(1), непрерывной в промежутке — 1 = ! ( 1, существует такой многочлен Я (!), что ~фг! — !зй,(!) — ьт(1)/( — ' при — 1(! к=-,. 1, положительные степени Ып х и соз х выражаются линейно через синусы и косинусы кратных дуг, так гто мпогочлен от сов х, т. е.
Р(сов х), можно представить в ниде (ЗЗ), и теорема доказана. Рассмотрич теперь любую непрерывную периодическую Функци:о У(х). Если мы положим !!Вз ГЛ. УЬ РЯДЫ ФУРЬЕ 488 то есть [з!их)7,(созх) — ()(созх)[<" — ' при О~х(п, и тем более (37е) [ 5!и х)се (х) — з!и ХЯ(х) [( —, ибо ] з!п х! -1. Из (37) и (37,) следует: [ е) (х) — айп х ! ! (соз х) ] ( ] ф (х) — з!и' х )т, (соз х) [+ + [ 5!П Х)ЕЕ (СОЗ Х) $!и Х сЕ(СОЗ Х)] -,е е е е 4+4 2' т. е.
неравенство (36) доказано в промежутке (О, я). Но так как ФУНКЦИИ 1е(Х) И З!П Х !4(СОЗ Х) — НЕЧЕтиЫ, тО НЕРаВЕНСтВО тЕМ СаМЫМ справедливо и во всем промежутке ( — я, я). Приведенные выше доказательства теорем 1 н 11 принадлежат С. Н. Бернштейну. 169. Формула замкнутости. Из доказанной только что теоремы довольно просто вытекает справедливость формулы замкнутости из [169] для системы тригонометрических функций. Положим сначала, что заданная в промежутке ( — и, я) функция у(х) непрерывна и 7" ( — и)= Г (и). Продолжая У(х) вовне этого промежутка по периодичности, получим непрерывную периодическую функцию, и при заданном а будет супгествовать тригонометрический полипом Т(х), удовлетворяюший неравенству (34).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
