Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Вернемся к замкнутой ортонормированной системе (45), и пусть у(х) и л(х) — функции непрерывные или с конечным числом раз- рывов первого рода на(а, Ь). Через га и 444 обозначим коэффициенты Фурье этих функций. А!ля их суммы Дх)+А(х) коэффициенты Фурье равны са + А4А1 О ь а ~ [4 (х) + Ь (х)] ф» (х) Ых= $ у(х) ф„(х) А4х+ $ А (х) фа (х) Ых = са+с(А. а а О Мы можем написать три уравнения замкнутости а СО О ОО ~[т(х)]'44х= ~ га, ~[я(х)]астх=~ сЦ, а й=! а А=1 ь СО ~[!'(х)+д(х)]'4(х= 'Я (са+Ы )'. а А=! Раскрывзя в последней формуле скобки и принимая во внимание две первые формулы, получим а СО ~У'(х)у(х)4(х= ~ч~ сас4А.
а А=1 Из очевидного неравенства [ ( [» 2 (4+ 6) непосредственно следует абсолютная сходимость ряда, входящего в формулу (50). Формула (50) называется обобщенным урааненнел! залтнутогти. Если А(х)=~(х), то 4(а=са (А=1, 2, ...), и фор- мула (50) переходит в формулу (49). Укажем одно интересное след- ствие формулы (50). Положим, что (а, р) есть какая-либо часть про- межутка (а, Ь) или весь этот промежуток, и определим функцию А'(х) следующим образом: я(х)=1 при а=- х»р и л(х)=0 во всех других точках промежутка (а, Ь).
При этом имеем О 44»= ~ Ь(х) фа(х) Ых= ~ фа(х) 4(х, а а и формула (50) дает са а ~ г"(х)сгх= 'Я га') фа(х)ггх. а А 1 а 460 ГЛ. Ч1. РЯДЫ ФУРЬЕ Нак мы уже упоминали, без дополнительных сведений о системе функций (45) и функции г (х) ничего нельзя сказать о сходимости ряда Фурье (46,) функции г (х) и его сумме, если он сходится. Предыду- щие рассуждения приводят нас к следующей теореме: Т е о р е м а 1.
Если ортонормированная система (45) замкнута, то ряд Фурье любой непрерывной функции г(х) или функции с конечным числом разрывов первого рода на (а, Ь), почвенно про- интегрированной по любому промежутку (а, р), содержащемуся в (а, Ь), сходил!ся и его сул!ма равна интегралу от у(х) по (а, р). Локажем еще следующую теорему: Т е о р е м а 2. Если ортонормированная система (45) замкнута и если ряд Фурье функции г (х), непрерывной на промежутке а(х(Ь, равномерно сходится на этом промежутке, то его сумма равна у(х). Пусть сь — коэффициенты Фурье г (х).
По условию, ряд (46!) равномерно сходится при а(х(Ь, и его сумма в(х) есть тем са- мым непрерывная функция на этом промежутке: в(х)= ~ч', сьфь(х). ь-1 Нам надо доказать, что г (х) — в(х)=0. Умножим обе части по- следнего равенства на ф„(х) и проинтегрируем их по промежутку (а, Ь). В силу равномерной сходимости мы можем интегрировать ряд почленно: ь в ь ~ в (х) ф„(х) йх = ~ч, сь ~ фа (х) ф, (х) йх, а ь ! а и из формул (44) следует ь ~ в (х) ф„(х) йх = с а т. е. числа с„являются коэффипиентами Фурье не только У(х), но и в(х). Таким обрззом, все коэффициенты Фурье непрерывной функ- ции Г(х) — в(х) равны нулю, и, в силу замкнутости системы, можно утверждать, как мы показали выше, что у(х) — в(х)=0.
Изложенная теория беэ изменения переносится на случай системы функций многих переменных, ортонормированнык в какой-либо ко- нечной области плоскости, трехмерного или вообще и-мерного про- странства. Сказанное выше обобщается легко и на случай комплекс- ных функций в,(х)+ 1в,(х), где в,(х) и в,(х) — вещественные функ- ции. В дальнейшем через и мы будем обозначать величину, комплексно- сопряженную а. Системз комплексных функций ф,(х), ф,(х), ..., ф,(х), ... (52) 461 % Н. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (54) (57) 161.
Класс Ея. Настоящий и следующий номера являются подготовительными для [163], в котором мы излагаем теорию ортонормированных систем измеримых функций, но результаты нх имеют и большой самостоятельный интерес в теории Лебега. Пусть Š— какое-'либо измеримое множество на прямой или вообще в и-мерном прострзнстве и Ел(Е) — класс вещественных функций ~(х), измеримых на Е и таких, что функция [У(х)]1 суммируема на Е, т. е. ~ [7(х)]лйх(+ оо.
(59) Отметим, что отсюда следует, что у(х) почти везде на Е принимает конечные значения. В дальнейшем вместо Ел(Е) мы будем писать Ея и не будем записывать аргумента х у функций. Докажем некоторые теоремы о классе Ем Теорема 1. Если функ!та!г У и й~ЕО то произведение (я су я.иируелго на Е. Это следует из очевидного нерзвенства !Уй[ ~ У' + й'). Замечание. Если Š— множество конечной лгерм и г Е- Ем л!о 7 сумлгируелло на Е. Это следует из предыдущего нерзвенства при я=1. называется ортонормированной, если ( 0 при я~6 ~ ф» (х) ф, (.с) йх =~ (53) а коэффициенты фурье функции у(х) определяются формулой ь с»=)7(х)ф»(х) Ых. а Формула (47), неравенство Бесселя (48), уравнение замкнутосгпи (49) и обобщенное уравнение заллкнутости имеют вид ь О ь О ~ [1'(х) — Я с»ф»(х) )1 йх = ~ ] ! (х) !1 йх — ", "~ с» (1, (о5) а »=1 а » 1 СО ь 'Я ~с» ~'(~(1(х)!14(х, » 1 а ь СО ~ ! 7" (х) )1 йх = ~ ) са [, О »-! ь СО )7(х)у~к)ах= У, сьй».
(58) 462 1ни ГЛ. Ч1. РЯДЫ ФУРЪВ Умножим обе части на 2 и добавим к обоим частям полученного неравенства интегралы от уч и д'. Это приведет нас к неравенству ') (г" + е)' г(х ( [ ]/~/' 1тх+[/ '1 ю' ах 1 Е Е 'ю из которого непосредственно следует (61). 182. Сходимость в среднем. Введем в классе Ея сходимость в среднем. О и р е д е л е н и е. Говорет, что последовательность функций К„(х) (п=1, 2, ...) из Ея сходитсн в среднем к /(х) из Ея пли просто сходился в Ея к фунниии 1(х), если 11щ ')(/ — /„)'1(х.=0.
Я ОРЕ (62) Теорема 2, Если Г и е(: ь„тоифуннг(нису и у+к(-ья где с — постоянная. Утверждение относительно с/ очевидно„ а для ~+8 следует из (У+ е)'=/Я+ 2ре+ еа, теоремы 1 и [108, 111]. Теорема 3. Если 1 и у~(я, то имеет место неравенство (~ 1К1(х)Я я ~ /Я 1(х ~ юа а1х (Буняковского — Шварца). (60) Е Е Е Если функция Г или и эквивалентна нулю, то левая и правая части (60) равны нулю. Будем считать, что / и а не эквивалентны нулю на Е. Заметим прежде всего, что если в квадратном трехчлене а(я+2Ы+с коэффициенты вещественны и а)0, то из формулы асз+ 2Ы+ с = — [(а$+ Ь)'+(ас — Ь')] следует, что если указанный трехчлен при всех вещественных (имеет неотрицзтельные значения, то Ья:с-ас.
Из очевидной формулы ~ Щ+ е) а1х = 11 ] УЯ 1(х+ 21 ~ /8'1(х+ ~ юа 1(х Е Е Е ю и того факта, что правзя часть последней формулы при всех 1 не- отрицательна, и следует (60). Отметим, что коэффициент при ГЯ положителен, так как функция /(х) не эквивалентна нулю на Е. Неравенство (60) справедливо, очевидно, и для интегралов Римана. Теорема 4. Если / и д(:-1.„то имеет место неравенство ]/] (/+ у)1 1(х «- ]/~/Я г(х+]/Я 1(х. (61) Е Е Из (60) следует ~(18г(х е- [/(/Я г(х 1/ГУ' 1(х. Е Е Е 463 % 14.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 16Я) Мы будем записывать это кратко так: 1 =>1. Если под знаком интеграла мы Заменим 1(х) эквивалентной функцией, то интеграл не изменится, т. е. если 1„(х) сходятся в Еь к 1(х), то они сходятся и ко всякой функции, эквивалентной 1(х).
В дальнейшем мы будем отождествлять эквивалентные функции, т. е. класс эквивалентных функций иа Е, будем считать аа одну функци1о. А(окажем единственность предела в Е, при такой точке зрения. Теорема 5. Если 1„=)1 и 1„=)й, то У и я эквивалентны. Применим к правой части очевидного равенства 1 — й=(У вЂ” 1.)+(У, — й) формулу (61): ус~(1 — в) йх( )' )(У вЂ” 1„)'йх+ )гс~(ӄ— й)'йх. При п-ьсо правая часть стремится к нулю, а левая не зависит. от п, и потому ~(У вЂ” я)1йх= О, и откуда следует, что функция 1 в я эквивалентна нулю на Е, т.
е. 1 и я эквивалентны. Установим необходимое и достаточное условие того, что последовательность функций из Е, имеет предел в Ем Это условие аналогично условию Коши существования предела для числовой последовательности. Предварительно введем определение. Определение. Говорят, что последовательность функций У„из Е, сходится в себе в Е„если для любого заданного ь)О существует такое Ф, что ~(ӄ— У )'йх(а' при и и т~м. (63) и Теорема 6. Для того чтобы последовательность 1„(х) из Е, сходилась в Еь к некоторой функции 1(х) из Е, необходгсио, чтобы последовательность 1„(х) сходилась в себе в Ея.
Е(ано, что У„сходится в Ея к некоторой функции 1. Применяя к правой части очевидной формулы 1„— 1. =(У. — У)+(У вЂ” 1.) неравенство (61), получим у )и.— г.г~ ~"ГК:и' <-~')о — г-г~' пч е При заданном ь) О,,в силу сходимости последовательности 1„, существует такое Ф, что при и и т ~ М интегралы, стоящие под паа Гл. ть Ряды Фузьи ьй радикалами в правой части неравенства ~ —, и 163) получается 4 ' непосредственно из 164). Большое принципиальное значение имеет обратная теорема, которую мы докажем в том случае, когда мера Е конечна. Она может быть затем распространена и на случай множества Е бесконечной меры. Теорема 7. Длн того чтобы последовательность г„пз Ея на множестве Е конечной меры сходилась к некоторой функции пз Ем достаточно, чтобы последовательность гя сходялась в себе в Еи Дано, что у„сходится в себе, н отсюда следует, что существует бесконечная возрзстающая последовательность целых положительных чисел п,(п,(п,(...
такая, что ~ (Уяь+,— Уеь)'бх~~тк (1=1, 2, ...). (65) Применяя неравенство 160) при У=~~„ь+, — У'„„( и а=1, получим 1и..„,— г.,~~ ~Л~К.„— ьеыЛ~ л и л или, в силу 165), 1г.. . — Г.,1~~=а-р-)гт 1Е) откуда следует сходимость ряда Х '1 Уз+1 — г.ь~йх ь=~е и, в силу теоремы из [109], ряд Х ~у~а+ у~а! сходится почти везде на Е. Тем более почти везде сходится ряд у., + ,'Я~ И.ь .. — у.ь), ь = ! сумма первых р членов которого равна г„ 1х), т.
е. почти везде на Е последовательность функций уьн рея' уЮ ''' стремится к некоторой предельной функции г 1х), имеющей почти везде иа Е конечные значения. Покажем, что Г"Е=1я и что г„=.гг. В силу сходимости последовательности г„в себе для любого задан- 465 1аа1 а 1с ГАРмоническии АнАлиз ного е) О существует такое 111, что ')(у„— У„)44(хааа при пь и п)Дг. Е При й -ь со, в силу теоремы из [109], получим г)~ у — ~„('4(х ~ а' при и.=» М, откУда следУет, что У вЂ” ~„Е=.ЕЗ. Но и 1„(- Еь а потомУ, в силУ теоремы из [161), т (: Ем Неравенство (66) показывает, наконец, что ~„ж)У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
