Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 90
Текст из файла (страница 90)
М Аналогичная оценка погучится и для а„. Более подробное рассмотрение оценок коэффициентов Фурье в зависимостй от свойств функции у(х) будет нами дано позже. 166. Интеграл Дирнхле. Из формулы (3) видно, что вопрос о сходи- мости ряда Фурье, т. ф о существовании предела суммы Бя(у), приводится к исследованию ийтеграяа типа ь з!и тг Т (г) —. дг. жпг ь Мы будем рассматривать более простой интеграл, а именно интеграл вида 1 ~ иптг а (12) который называется интегралом Дирихле.
Мы докажем по поводу этого интеграла следующую лемму: Ле м м а. Если Т (г) удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке (а, Ь), тот 1) если а 0 и Ь)0, то ири беспредельном возрастании т циент а„будет суммой конечного числа слагаемых вида а 1 à — да у (х) соз их сг», е которое можно преобразовать по теореме о среднем: ! 1 Г ! У(х) соэ их дх = — у(е + О) ~ соаихдх + — у(Ь вЂ” О) ~ сов их ахв е $ /(е + О) (Мп пе — з!п ие) + у(Ь вЂ” О) (мп лЗ вЂ” нп л$) 478 ГЛ. ЧК РЯДЫ ФУРЬЕ !хаз 1 Г в)птг 1 Г мптг 1 Г мптг — дт р (г) — «г я» — ч (г) «г — — дч Ч(г) — «г.
а Если а и Ь > О, то в силу утверждения 1 уменьшаемое и вычитаемое 1 в правой части имеех предел — ч(+0), и, следовательно, разность стремится к нулю, что и доказывает утверждение 4. Если же а(0 и Ь > О, то, ааменяя в вычнтаемом переменную интегрирования г на ( — г), получим ь ь О 1 Г врптг 1 Г мптг 1 Г вш тг — о! Ч(г) «г = — ч(г) — «г + — ~ ч( — г) «ж я г я г г а о Так как Ь и ( — а)> О, то можем применить к обоим интегралам утверждение 1 и получим ь — дт р (г) — «г - — р ( + 0) + — ч ( — 0) = 1 ! в!пюг 1 ,( — о)+ р(+о) л д г 2 2 2 о Перейдем теперь к доказательству утверждения 1, т.
е. покажем, что при Ь>0 е (г) «г — т (+ 0). 1 Г вштг 1 хт г 2 (13) При доказательстве будем пока считать, что ч(г) не только удовлехворяет условиям Днрнхле, но и монотонна в промежутке (О, Ь). Мы имели раньше следующий результат: ми я я — «х = —. 2' (14) Рассмотрим инхеграл с Это есть непрерывная функция с, равная нулю при с=о и стремяшаяся к — прп с- +со. Мы можем отсюда заключить что при всех положи 2 в интеграл (12) имеет предел — р(+0); 2) если а=о п Ь<0, то этот 1 2 1 предел равен — р( — 0); 3) если а ~ 0 и Ь > О, то предел равен 2 ! 4) если а и Ь >О или а и Ь<0, то упомянутый предел равен нулю. Нетрудно видеть, что достаточно доказать одно первое утверждение.
Считая его доказанным, мы можем легко получить из него остальные. Докажем, например, утверждения 3 и 4, считая первое доказанным: мвр ь ю. дополнитвльныв сввдвния из ткопии рядов вввьв 479 тельных с написанный интеграл остаетсн по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа М. Рассмотрим теперь интеграл с двумя положительными пределами ь (15) а Мы имеем, очевидно, ь мих Г зрпх Г а1пх Г х 3] х х О о ь ь ь ~ ~ — !рх ~ ( ~ ~ — а!х ] + ~ ~ — !рх ~ ( М + М = 2М, а о о т. е.
интеграл (15) при любых положительных а и Ь остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа 2М. Прежде чем переходить к доказательству (13), рассмотрим более простой интеграл ь 1 Г а!пгях — — !рх, я Совершая замену переменных а=шх и пользуясь (14), получим при беспредельном возрастании т: ь ть 1 а!пIлх 1 Г а!па 1 я 1 — срх = — — !рр н х я'р г н2 2' и следовательно ь ! Г а1п шх 1 — '] т(+0) сгх — т(+ 0). х 2 Ь Таким образом для доказательства (13) нам достаточно показать, что ь 1 Г арп юх — Ы ) — т(+о)] ы-о, т.
е. что при достаточно больших ш левая часть написанного по абсолютной величине меньше любого положительного числа к Разобьем промежуток интегрирования (О, Ь) на два: (О, Ь) и (Ь, Ь), где Ь вЂ” малое положительное число, которое будет фиксировано в дальнейшем. Покажем, что каждый из двух йнтегралов — Г (р(х) — р(-]- О)] †' !Рх и — [Р(х) — Р( + 0)! !Рх (16) 1 !' мп глх 1 Г мп шх при достаточно больших ш меньше — по абсолютной величине. Ввиду ко- 2 печного числа разрывов функции т (х) можно взять Ь настолько малым, чтобы 480 !гав ГЛ. Ш.
РЯДЫ ЭХПЬЕ в промежутке (О, Ь) функция 7(х) не имела разрывов, так что р(х-в- 0)=ч =в(х). Принимая во внимание, что, по условию, ч(х) монотонна, и применяя к первому из интегралов (16) теорему о среднем, получим 1 а!п шх 1 т' а!и шх — [7 (х) — в ( + 0)] — а(х = — [в (Ь) — ч ( + 0)] — бх, и, следовательно, а ! ~ 1 т". ядюх 1 1 ~ [ ( ),( [ О)] о ~ ~~ — ~ р(Ь) — р(+О) ! И. По определению символа в(+0), разность ч(Ь) — 7(+0) О при Ь 0 и, следовательно, мы можем приблизить Ь настолько к нулю, чтобы правая часть написанного равенства была меньше —, При атом первый из интегра- 2' а лов (16) будет по абсолютной величине меньше — при любом т.
Фиксируя 2 таким образом положительное число Ь, обратимся ко второму из интегралов (16). Применяя к нему также теорему о среднем, можем написать его ввиде Е а 1 г а!нюх 1 г з)п /пх — [7 (Ь) — р (+ 0)] — юг + — [р (Ь вЂ” 0) — ч (+ 0)] — Ых. (17) Множители, стоящие перед интегралами, суть постоянные, и нам достаточно доказать, что оба интеграла стремятся к нулю при возрастании ю. Рассмотрим, например, первый из интегралов и совершим в нем замену Г = шх.
Получим интеграл (18) При беспредельном возрастании ю пределы юЬ и ю$ беспредельно возрастают, так как Ь вЂ фиксированн положительное число и Е не меньше Ь. Но раз интеграл СО есть сходящийся интеграл, то интеграл (!8) при беспредельном возрастании его обоих пределов должен стремиться к нулю [86]. Аналогично рассматривается н второй из интегралов в выражении (17), а поэтому все зто выражение стремится к нулю, т.
е. второй из интегралов (16) стремится к нулю и, следовательно, при достаточно больших ю он по абсолютной величине е меньше —. 2' Равенство (13) и, следовательно, все утверждения леммы доказаны нами в предположении, что ч(г) не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонна. Остается показать, что (!3) верно н в том случае, когда Ч(а) удовлетворяет только условиям Дирихле. В силу условий Дирихле, промежуток (О, Ь) можно разбить на конечное'число частей, в каждой из которых 7(з) монотонна. Пусть (О, Ь) можно разбить хотя бы на три части (О, Ь,), (Ьп Ьа) н (Ь„ 3), в каждой из которых р(з) монотонна.
Интеграл (!3) шт) % !з. допопиитппьишп свидания из творим рядов етньи 481 разобьется на три: ь ь, ь, ь г яп глг Г а1п яг Г 1 51п ля 7(г) —, ' = ~ 7(г) —,«г+ О! 7(г), «г+ О! 7(г) ь, ь, 1 ~ а)п(2л+1) г 1 ~ .( )з!п(2л+1)г япг в ! э /(х — О)+у(х+О) стремится к при беспредельном возрастании л. Рас- 2 смо~рим вместо (20) выражение — ~ у(х — 2г) а!п(2л+1) г «+ 1 ~ у(х+2г) Яп (2л+1)г ! д о (21) Нерхние пределы в обоих интегралах положительны, и функции у(х — 2г) и у(х+2г) удовлетворяют условиям Дирихле в промежутке интегрировзния. Кроче того, гл=2л+1 со, и, по доказанной в предыдущем номере лемме, у'(х — О) +у'(х+ О) выражение (21) стремится к пределу . Остается дока- 2 зать, что разность выражений (20) и (21) стремится к нулю.
Для этого достаточно показать, что интегралы 1 I ! 1т — Ь! у (х — 2г) ! — — — ) Яп (2л + 1) г «г, 'та|па г) л 1 Г 1 1т — т у(х+ 2г) ! —. — -- ! Яп!2л+ 1)г«г (япг г) (19) К каждому слагаемому правой части применима лемма, так как в промежутках (О, Ь,), (Ьн Ь,) и (Ьа, Ь) функция 7(г) монотонна. Следовательно, 1 псрвое слагаемое стремится к — 7(+О), остальные два — к нулю, и интсг- 2 1 рал (19) стремится к — 7( + О), что и требовалось доказать.
2 Заметим, что в интеграле Дирихле (12) число гл может беспредельно возрастать любым образом, не обязательно принимая только целые знзчениз, Полученный результат имеет своим источником тот факт, что фущгция яп глг при больших значениях я очень часто меняет знак и, кроме того, принимает большие значения при г, близких к нулю. 167. Теорема Дирихле. Пользуясь леммой из предыдущего номера, мы докажем без труда теорему Дирихле (155) Нам надо доказать, в силу (3) что выражение 482 (тат ГЛ. Ч!. РЯДЫ ФУРЪВ стремятсн к нулю. Покажем это для первого интегрзла: з 1 у (х — 2г) 1ч —. — — ! Ып (2п+ 1) г дг = — ~ ф (г) а1п(2п+ 1) г дг, (22) 1 1! 1 Г и ч а!пя г о где ф (г) =у(х — 2г) ~ —,— — /, 1 1! а!па г аа Ът — + г аасоайх; аа — — — р(г)созйгдс 2 Г 2 а=! (23) равна ) + У ) при 0 ( х ( я 2 и У(+0) — при х=О; У(я — 0) — прн х=я; сумма же ряда (24) ьа а1п йх; ьа = — у (т) ип лг да Х 2 Г л-! (23) вудс! (24) ирн 0(л (я н нуль лри «=0 и «= я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
