Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 85
Текст из файла (страница 85)
взп лг спзейшие дроби. Дифференцируя (22,) по г, разделив на л и изменив знак, получим разложение а=! или, замечая, что 2 = — + (дз гз)а (2+ д)з (г д)з ° получим + со 1 1 ~т ! япз лг заз иаа (г — д)з ' З вЂ” зо (23) 2. Функции сов гх есть четная функция от х, а потому она может быть разложена в промежутке ( — л, л) по косинусам: 448 гл. щ. инды ольн ((зт Но 2яв 2л' ОП л' ( я' лв явн *= 2 дв и ~1 + двпв + дв„в + ° ° ° + двн„вп + ° ) ([ л ! ~ ") Подставив зто в предыдущую формулу и располагая по степеням л', имеем СО СО СЭ лв %т 1 яв%т 1 явп лс!ил=! — 2 — у — — 2 — у — — ...— 2— в в'( д' "' '" ?( ды й-! й! й! Заменив я на †, получим 2' ~ с(п — =1 — ~ [ в„~~) — „~звп ([г[(2п).
и-! й-! Обозначим коэффициент при лвп через —" —: (2и)! ' л * , В, , В, , В чл- с(п — = 1 — — г — — л —... —, л и —,. 2 2! 41 ' " (2п)1 В 2 (2п)! % 1 (2п) л.'л Двп ' й=! (24) Первые числа В„ нетрудно определить, непосредственно разлагая в ряд л мп— л л 2 2 2 — с(о — — хотя бы как частное ряда соз — наряд [1, 130[! 2 л 2 1 1 1 1 5 Вс б в Вв = йб Вв 42с Вв=йб Вв ббв и непосредственно ясно, что числа В„рациональны. Они называются числами бернулли.
С другой стороны, знзя их значение, мы можем определить суммы радов Х 1 (2п)-"'Вп — (и =1, 2, ...). двн 2 ° (2п)1 й ! Формула (22 ) приводит к замечательному разложению функции стп л в смененной ряс). Умножив обе ее части на пз и заменив пл на л, т. е. я на — мы получим и' СО 2л' лс(пл=! — 7 й-! 449 таа! а и. ГАРИОническиЙ АнАлиз Иногда вместо чисел Бернулли рассматривают числа Эйлера, определяемые по формулам: А!а=, т А!а+!=о (дам!, 2, 3, ...). (25) — (2А)! т и + 1 А,=1, А,= —— 2 Ф Если мы в равенстве (24) заменим я на —, то, тая как 1 1 соа— 21 те +е 1 1 Е Е 1 21 й 21 21 2 ! ! е! — 1 2' а!ив 21 е — е олажется 1 1 Втс' Вас! Вас!я е! — 1 2 21 41 — =1 — — + — ' — — '+ +( — 1) -' — "— + (2п)1 =Аа+А!1+А!с +А!а +".
81!(2я) Числа Бернулли и Эйлера встречаются часто в самых разнообразных отделах анализа. х= — с= —. 11 ях и' 1' (26) Полотким Если функция У(х) была определена в промежутке ( — 1, 1), то функ- ция р(1) будет определена в промежутке ( — и, и) переменной Разлагая функцию р($) в ряд Фурье, получаем — + 1! (аа соз на+ Ьл з)п утс), а=! 188. Периодические функции периода 21.
Часто бывает нужно разлагать в тригонометрический ряд по косинусам и синусам функцию у(х), определяемую не в промежутке ( — и, я), а в промежутке ( — 1, 1), или же — в ряд только по косинусам или только по синусам функцию, определенную в промежутке (О, 1). Эта задача приводится к предыдушей с помошью изменения масштаба, т.
е. введения вместо х вспомогательной переменной с по формуле 460 гл. гь ряды ег ьв !155 где, в силу (26): + й 1 ад = — ~ ср(Е) сов лп ЬЕ Ж= — $ УЯ сов АЕасЕ= — п +с ! Г дпх = — зт У" (х) сов — Фх, 1 (27) +с Ьд = — ~ у(х)5!п — ссх. 1 Г . алх =13 СО 2 + л,~ (ад со5 — 1 + Ьд 5!п — ~, д=! (28) причем коэффис(!сенты ад и Ьд определяются по форлсулам (27).
То же относится н к разложениям функции у(х), определенной в промежутке (О, 1), только по косинусам нлн только по синусам; для функции 1(х) получаются ряды 2'+ у ад сов —, ад=.— ~ у(х) сов — Ых (29) а, Сл йпх 2 Г Лпх д 1 о Ьд в!п —, Ь» — — — У(х) 5!и — асх. (ВО) Х ° д-! П р н м е р. Разложить по синусам функпнюу(х), определенную равенством 1 0 <х<в 2' ! — < х < 1. 2 пх 5!п — прн 1 у(х) = прн Иы имеем в данном случае с а 2 Г . Дпх 2 Г .
пх . Фпх Ьд = — ) у (х) лсп — сух = — 51п 5!п — дх !3 1 1 1 1 о Таким образом теорема Дирихле остается верной и для пролсежутка ( — 1, 1) с тем, однако, что разложение (6) залсеняется разложением !аз! 3 И. ГАРМОНИЧЕСКИИ АНАЛИЗ !1 так как в промежутке ! —, 1) подынтегральная функция обращается а О. '! 2' Простое вычисление, которое мы предоставляем сделать читателю, дает 0 при нечетном а)1, ~л= ( 1)'2А при четном а 1 ел=— так что ях — при 0(х~— 1 2' при — <х<1, 2 Ып 1 . ях 4 %1 ( — 1)лл 2лях Π— э!и — — — ~~ э!и — = 2 ! я л~~ 4л' — 1 1 л=! 1 2 О !31) 1 при х= —, 2' при х=О или 1.
Промежуток ( — 1, !) может быть заменен любым промежутком (с, с+21) длины 21, как это мы уже упоминали для промежутка длины 2я. При этом сумма ряда (28) дает у(х) в промежутке (с,' с+2!), и нри вычислении коэффициентов по формулам (27) промежуток интегрирования ( — 1, !) надо заменить промежутком (с, с+2!). 139. Средняя квадратичная погрешность. Укажем теперь другой подход к теории рядов Фурье. Пусть, как и выше, г(х) — заданная функция в промежутке ( — и, я). Составим линейную комбинацию первых (2л+1) функций семейства (4): л — '+ ~~~~ (аа соя йх+ раз!п йх), л-! где а„аь р„..., а~ р„— некоторые численные коэффициенты. Написанное выражение называется обычно тригонометрическим лолиномом л-го лорядна.
Рассмотрим погрешность, которая полу- чится, если заменить ! (х) суммой (32), т. е. рассмотрии разность л !А~(х~=у(х) — ~ — '+ ~ (ал соя йх+~» з!и йх)~. л-! Наиболашим уклонением !!л суммы (32) от функции 1(х) в про- межутке ( — я, и) мы назовем наибольшее значение !Ь„(х)! в этом промежутке: чем меньше будет Ьл, тем точнее тригонометрический полипом л-го порядка (32) представляет функцию К(х).
Однако величину Ь„ неудобно принять за меру приближения, и не только потому, что исследование этой величины затруднительно, но и потому, что при решении вопросов о приближенном представлении функции ч~сто более важно добиться уменьшения погрешности в есреднемэ лк 482 ГЛ. Ш. РЯДЫ ЭЯ'Ьз или «вероятной» погрешности, чем уменьшения «нзибольшего уклонения». На рис. 118 изображены различные приближенные кривые (пунктирные) для данной функции 1(х) (сплошная). Наибольшее уклонение кривой (1) меньше, чем кривой (2), но в общем кривая (1) гораздо больше отли. чается от истинной, чем кривая (2); сколько-нибудь значительные уклонения этой последней встречаются в промежутке ( — к, к) гораздо реже, чем уклонения кривой (1). При применении способа наименьших квадратов для обработки наблюдений за Рис.
118. меру точности наблюдений принимается «средняя квадратичнзя погрешность», котораи определяется следующим образом: пусть при измерении велич"ны я получены значения: ги ха, ..., вн1 погрешность каждого измерения есть в — гь (1=1, 2, ..., М); средняя же квадратичная погрешность В„определяется по формуле Ф 3'= ~ ~ (г — «ь)' "ь! т. е. 3„есть корень квадратный пв среднего арпфлсетического квадратов погрешностей. Именно эту среднюю квадратичную погрешность мы и примем за меру степени приближения суммы (32) к нашей функции 1(х).
Здесь только нужно помнить, что мы имеем дело не с конечным числом значений, а с бесчисленным множеством их, и притом распределенных непрерывно по всему промежутку ( — я, к). Таким образом каждая отдельная погрешность будет не что иное, как Ь„(х), и средняя арифметическая их квадратов будет +» л (х) а средняя квадратичная погрешность Ь„выражения (32) найдется из формулы +» 3„= — ~ а,(х)ах= +Я » = — ~ ~У(х) — —" — У (а„соз Ах+Рь з1п/гх)~ ах. (33) 5 И, ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 453 155! Нам остается теперь подобрать постоянные ам аи [5„ ..., ал, рл так, чтобы величина Злк была наименьшей, т.
е. Решить обыкновеннУю задачу на минимум функции 3,", от (2л + 1) переменных. Прежде всего упростим выражение (ЗЗ) для Ь„'. Произведя воз вышение в квадрат, мы находим л '[г (х) — 2 — ~~~ (аа соа лх-1- р» 51п Йх) ~ 5-1 = [У(х)]5 — аАГ(х) — 2 ~~! (ал соа йх+ ра 5!п лх)г (х)+ — "+ 5-1 л + ~„(аа соая ах+ Ц 5!и'1тх)+ а„, (34) а 1 где ал означает линейную комбинацию выражений вида: СОЗ 1Х Соа ГЛХ, 5!П 1Х 5!П лкх (1 -Г- Ла) С05 1Х 5!П Л1Х В силу свойства ортогональности тригонометрических функций [154], интеграл от всех этих выражений по промежутку ( — к, и) равен нулю, а следовательно, будет равен нулю и интеграл от ал по этому промежутку.
Интегралы от соаайх и 5!пялх, как известно, равны ш и, подставляя выражение (34) в формулу (ЗЗ), получим +к +к 3„' = — т [г (х)]5 а1Х вЂ” — ' ~ г (х) 3х— 25 3 2л к — к л +к +к — — ~~ ']аа ~ Г(х) соа 11ХГ(х+ ра ~ Г"(х) 5!п лх Ых]+ Л 1 -л к + 4 + 2 ~~~и ( ~+ !'")' Принимая во внимание выражения (9) для коэффициентов Фурье функции г"(х), можем переписать выражение Ь„' в следующем виде: +к л Злл = — ~ [Г (Х)]5 а1Х вЂ” —" — ~) (алла+ л!1АЬА)+ к 5=1 +-,+-, ~(да+а), 454 ГЛ. Ч!. РЯДЫ ФУРЬЕ или, вычитая и прибавляя сумму ь — „'+ 2 ~, (!»!~+И), »-! можем написать + ь д —,,— '„~ [у(х)] бх 4 — 2','5', (а»+ Ь»)+ —,' (аь — а,)'+ — а »=! +2,5, [(а,— а„) +ф,— Ь„)'[. (35) »=! (36) илн + 1 и 2я,'= — ~ [У(х)!'Нх — — ' — ~~ (а»+ Ь»).
— к »=! (37) При возрастании и, т. е. порядка тригонометрического полинома, в правой части (37) будут добавляться новые отрицательные (илн, во всяком случае, не положительные) слагаемые: — аьч и — Ь'„,ь ..., и таким обрааом погрешность ь„может только уменьшаться при увеличении п, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
