Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. пает доказательство ортогональностн поверхностей (77) и (78). Точно так же можно доказать взаимную ортогональносгь н других координатных поверхностей. Пользуясь теоремой Дюпена, мы люжем утверждать, что дла семейтпга линий кривизны па зллипсоиде (77) (при Яикеорогапном и) получатси л результате пересечекия эп>ого зллипсоида со гсегоэ.ножными гиперболоидими из селсейстг (78) и (79).
Ги + )с>ши = О Гь+ )саши О, (81) Сопоставим всякой точке М поверхности — точку М, сферы единичного радиуса, которая получается в пересечении этой сферы с вектором ш, отложенным из центра сферы, причем ш есть единичный вектор нормали к поверхности в точке М. Такое точечное соответствие между точками поверхности и точками сферы называется обычно сфер>>песк>еле отображениелс погерхности. Положение точки Ма будем характеризовать теми же параметрал>и и и и, что и положение М. Ввиду того, что координатные линии суть линии кривизны, будем иметь Е= г„', Е= О, 0= г,'.
(82) Радиус-вектор сферического изображения М, есть по определению ш, и, в силу формул (81) и (82), коэффициенты первой формы Гаусса для сферического изображения будут: 1 Еа —— ши — — — „, Ес >с с 1 Ел=щи.гни=О> Ог — — пгг =д„0 (83) 150. Гауссова кривизна. Выясним геометрический смысл понятия о гауссовой кривизне. Примем за координатные линии на поверхности — линии кривизны этой поверхности. Вдоль каждой иа этих линий будет выполнено соотношение (72), причем коэффициент а есть, как мы видели, один из главных радиусов кривизны.
Это дает нам следующие соотношения: 425 % 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 151! Остановимся лишь на доказательстве среднего из равенств, ибо остальные два непосредственно вытекают из (81) и (82). Формулы (49) дают М= — г„° ш„= — г„° ш„. Раз мы приняли за координатные линии линии кривизны, то М=О, т. е. г„° ш„=г„° ш„=О. Умножая первое из равенств (81) на ш'„ или второе на ш„', получим ш,', ш,' = О.
Элемент плошади самой поверхности и соответству1ощий элемент сферического изображения будут й5 = )УЕОаи с(о, г(85= УЕ5Пьйи йо или, в силу (83), 1 5(85 — — !Р Р ! й8, откуда видно, что гауссова кривизна в точке М по абсолютной величине есть предел отношения площади сферического отображения к соответствующей площади салгой поеерХкоети, Когда вта лоследнпя беспредельно сжимается к точке М. Упомянутое отношение характеризует, очевидно, степень разбросанности пучка нормалей к поверхности в точках элемента йЯ. В [146) мы вывели выражение гауссовой кризивны К через коэффициенты двух форм Гаусса.
Самим Гауссом было дано выражение К только через коэффициенты Е, Е и О и их производные по и и о. Из этого обстоятельства вытекает одно взжное следствие, на котором мы остановимся. Пусть между двумя поверхностями (Ю) и (81) установлено точечное соответствие, причем соответствующие точки характеризуются одинаковыми значениями параметров и и о.
Кахсаая из поверхностей будет иметь свою первую форму Гаусса, выражающую квадрат элемента длины. Тождественность этих двух форм равносильна тому, что при упомянутом точечном соответствии длины сохраняются, или, иначе говоря, поверхности наложпмы друг на друга. Г!ри этом коэффициенты Е, Е и 0 и их производные по и и о будут для обеих поверхнсстей одни и те же, а потому и кривизна К в соответствующих точках обеих поверхностей будет иметь одно н то же значение, т.
е. при отображеппп друг на друга двух поверхностей, сохраняющель длину, гауссова кривизна в соответствующих точках обеих поверхностей илгеет одно и то же значение. В частности на плоскости гауссова кривизна равна нулю, и у поверхностей, которые могут быть наложены на плоскость без искажения длин, должно быть 1Л' — М' = О, т. е. все точки — параболические.
В предыдущем мы и55еля пример таких поверхностей, а именно †кон и цилиндр. 161. Вариация элемента площади и средняя кривизна. Пусть (Ю) — некоторая поверхность, (и, о) — ее координатные параметры и г(и, о) — ее радиус-вектор. Откладывая в каждой точке М (и, о) 426 гл. ч. основы днээвяпнцнлльнон гаометяни [сас поверхности по нормали ш отрезок ММ, алгебрзической величины п(и, э), где п(и, е) — некоторая функция и и о, получим новую поверхность (8>), образованную точками Лн Точки М, мы будем характеризовать теми же параметрами (и, э), что и точки М, и будем говорить, что между точками (о) и (о>) установлено соответствие по нормалям к (Я).
Радиус-вектор г>'>(сс, и) поверхности (8>) по определению будет: г" >(и, э)=г(и, и)+и(и, н) ш(сс, э). Дифференцируя по и и э, получим: г>,'>' = г'„+ п„'ш + ппт'„, г>'>' = г', + и',т + пш',. Вычислим коэффициенты Е„Р„О, первой формы Гаусса для поверхности (Я>), причем будем считать длину п н ее производные по и и в — малыми и будем пренебрегать членами второго измерения относительно этих величин Е, =(се' ')'=(гя + пьш+ пшя) ° (['„'+ и„'пс+ пшс) = г,",+ 2пе (г„' ° ш) + 2п (т„' ° сп,',). или, в силу (67), Е, О, — Р, '= (ЕΠ— Р') (1 — 4пН). Извлекая корень, разлагая (1 — 4пН)>сь по биному Ньютонз и отки- дывая члены со степенями и выше первой, будем иметь: >'Ра, — е>=~ ее — е >1 — 2.н>.
(84) умножая на оси йэ и интегрируя, получим с точностью до малых величин второго порядка выражение разности Ы плошадей близких поверхностей (о) и (8>)> [[> еце, — я~ ш — [[> еΠ— е~ ш >ь!> св> = — '1 ~ 2пН~/ЕΠ— Р' с[и асп (8о) сз> или. В непосредственной связи с этой формулой находится известная задача Плато об определетси поверхности е наилсеныаей площадью, натянутой на заданный контур (й).
Нетрудно видеть, что на Векторы г„и ш взаимно перпендикулярны и г„° ш= О, и формула (47) дает Е, = Š— 2п7.. Точно так же нетрудно получить Р, = Р— 2пЛ и О, = 0 — 2пМ. Отсюда Е>0> — Р,'= ЕΠ— Р' — 2п (ЕИ вЂ” 2РЛ+ 01), % !Э. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕИ 427 лэаной поверхности средняя кривизна Н должна бить равна нулю. Действительно, если бы на некотором участке (е) таков поверхности величина Н оказалась, например, положительной, то, выбирая малую величину и также положительной на а и равной нулю на остальная части поверхности и в частности на (Е), мы получили бы, в силу (83), для 38 отрицательное значение 68= — ~ ~ 2лН1(8, 1Ю и поверхность (8,), проходя через (Е), имела бы пло1цадь, меньшую, чем (8), что противоречит предположению. В силу указанного обстоя.
тельства поверхности со средней кривизной, равной нулю, нззываются лтнплальнил1и ловерхностялп1. Из формулы (84) вытекает также формула дифференцирования интеграла по переменной замкнутой поверхности по параметру. Допустим, что положение некоторой переменной замкнутой поверхности определяется значением параметра Л и что при Л = Л, поверхность занимает положение (8), а при Л, близких к Лм — положение (8,), близкое к (8). Установим между точками М поверхности (8) и точками М, поверхности (8,) соответствие по нормалям, как это описано выше. При этом л будет функцией и, в и Л, которая обращается тождественно относительно и и в в нуль при Л=Ль, т.
е. п(а, и, Л,)= О. (86) Пусть далее ! (71!) — некоторая функция точки в пространстве, не зависящая от параметра Л. Величина интеграла 7(Л)= ~~У(М,)б8, (87) 1ьх> будет зависеть от параметра Л, так как от этого параметра завясят вид поверхности. Найдем выражение для производноп р(Л,). У11ножая обе части (84) на йгбв, можем написать б81 =(1 — 2яН)д8, в выражение (87) перепишется так: 7(Л) = $ $7(М,) б8 — $ $У(М,) 2пнб8.
1Я 1СЧ При этом область интегрирования — исходная поверхность (8) — уже не зависит от Л, и мы можем применить обычное правило дифференцирования под знаком интеграла (83). Точка М, лежит на поверхности (81), и пусть М вЂ” соответствующая ей точка на поверхности (8), так что отрезок ММ,=п(и, в) нормален к (8), т. е. имеет направление ш.
Множитель 7(М1) при дифференцировании по Л при Л=Ла даст у(М ) у(М) У(М~) — У(М) М!И д~~~И) да( л,л, Л вЂ” Ле ь л, ММ1 Л вЂ” Ль длз ' дЛ$1-ль' 428 ГЛ. Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ пи где т — направление нормали ш. Принимая во внимание, что множидп тель и обращается в нуль при Л =Ля и обозначая через — значедхо ние производной при Л=Ло, получим !'(Ло) = ) дЛ г(Π— ) ) о (М) 2Н дЛ г(8. (88) о" д/(М) дп Г Г дп Пусть уравнение переменной поверхности (Ю)) написано в неявной форме 4) (М); Л) = 0 . или )о (х, у, л, Л) = О. Дифференцируя по Л как непосредственно, так и через ство Мь так же, как зто мы делали с функцией г(М)), при Л=Ло (89) посред- получим дт(М), Ло), дт(М), Ло) дп О дп Определяя отсюда д — и подставляя в формулу (88), следующее выражение для производной: получим 1 (Ло)= — —. -„- Ю+ 2 оН вЂ” ')КЮ.
(90) )з) Эю )3) де) 182. Огибающая семейства поверхностей и кривых. В !13) при исследовании особых решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка мы ввели понятие об огибающей семейства плоских кривых. Точно так же исследование решений уравнений с частными производными приводит к понятию огибающей семейства поверхностей. Выясним в кратких чертах зто понятие. Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметром Р(х, у, г, а)=0, (91) фиксируя численное значение а, получим определенную поверхность семейства. рассмотрим новую поверхность (О), которая имеет то же уравнение (91Л но с переменным а, получаемым из уравнениа (луга) 0 да Если в интеграле (87) и подынтегральная функция г содержит параметр Л, то так же, как и в 11321 к правой части (90) надо добавить слагаемое вида 429 % 13.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЯ 1521 Можно сказать, что уравнение (Я) получится исключением а изуравнений (91) н (92). Если фиксировать значение а=а„то, с одной стороны, получится определенная поверхность (Яв) нз семейства (91), а с другой стороны, подставляя а=а, в уравнения (91) и (92), получим некоторую линию (7в) на поверхности (8), так что поверхности (8) и (8з) буду~ иметь общую линию (тз). Покажем, что они будут иметь обшую касательную плоскость вдоль (Уз). Для поверхности (91), в силу постоянства а, проекции йх, йу, аг бесконечно малого перемещения вдоль поверхности должны удовлетворять соотношению дР дР дР д + д У + 3 На поверхности (8) а — переменно, н мы должны написать — йх+ — йу+ — йг+ — йа = О.
дР дР дР дР дх ду дг да Но в силу (92) вто соотношение совпадает с предыдущим, т. е. на (8,) и (8) в общих точках бесконечно малое перемешение пер- пендикулярно к одному и тому же направлению, у которого напра. вляющие косинусы пропорциональны: дР дР дР дх' ду' дг' откуда и следует, что (8,) и (8) касаются вдоль (4). Таким образом исключая а из уравнений (91) и (92), получим, вообще говори, уравнение огттбаюигей поверхности семейства (91), причем касание имеет месило вдоль нетсоиторой линии. П р и м е р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
