Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 79
Текст из файла (страница 79)
108). Составим уравнение индпкатрнсы Люпена. Пусть (С, т!) — координаты переменной точки )т! па индикатрисе. Согласно построению $=)~ Ьйсоз9, т! = )/ -+' Я а!п 9, т. е $Я= + й сова 9, т!Я = '+ Я 5!ПЯ 9, причем при положительном Я надо брать верхний знак, а при отрипательном — ннжнин. Умножая обе части равенства (57) на + й, по* лучим, в силу (57): гаГ+ 2аю$т!+ (ат!' = + 1. (58) Это и есть уравнение индпкатрисы Т(!Олена. Кривая эта дает геометрически наглядное представление об изменении величины радиуса кривизны при вращении нормального сечения вокруг нормали к поверхности.
В эллиптическом случае кривая (58) есть эллипс, и в правов части надо брать определенный знак. В гиперболическом случае уравнению (58) соответствуют две сопряженные гиперболы. В параболическом же случае левая часть уравнения (58) есть полный квадрат, и его мол!но переписать в виде 7т(а$+9!!)Я=+ 1, т. е.
(а$+Ьт)а=-+ — =Р 1 пли а$+ЬЧ=.+ 7, 1 — =гяс05 9+га51п 9. (59) Выясним геометрический смысл коэффипиентов га и 1м Полагая 1 в формуле (59) 9 = О, мы получим кривизну — — нормального сечей! ! ""», касающегося осн ОХ, и, следовательно, га — — —. Точно так же, ! и мы имеем совокупность двух параллельных прямых. Во всех трех случаях точка О является це»тром кривой, и кривая имеет две оси снмметр!и!. Мы можем выбрать оси ОХ и ОК совпадаюп!ими с этими осями симметрии; прн этом, как известно, в левой части уравнения (58) пропадает член, содсрака!Иий произведение ет), т. е. прн указанном выборе осей должно быть з,=0, и формула (57) даст при таком выборе осев ОХ и ОУ 416 Гл.
7. Основы диФФеРенциАльнОЙ ГеометРии !На Я 1 1 полагая 0= —, получим, Вь= —, где — — кривизна нормального се- 2' !Вь ььа чения, касаюшегося оси ОУ. Подставляя найденные значения г, и Гь в формулу (59), получим формулу ййлера ! соз' В ия' В (60) ььв Заметим, что направления осей ОХ и Ог' совпадают с направле- 1 1 ниями осей симметрии кривой (68). Положим, что — ~ — и что, Аь !ьь 1 1 нзпример, — ) —, Из формулы (60) непосредственно следует, что Рь рь' ! — достигает наибольшего значения при 0=0 и В=я и наменьшего л Зе значения — при 0= — и 0= —, Т 2' Полученный результат формулируем в виде следуюшей теоремы; Теорема 3. В каждой точке поверхности суиъеспьвуют два взаимно перпендикулярных направления в касательной плоскости, 1 для которых кривизна — достигает льаксиму.яа и минимума, и Я ! 1 если — ьс — — соответствуюиььье этим направлениям значения Аьь Рь кривизны, то кривизна любого нормального сечения выражается по форльуле (60), где 0 — угол, образованный касательной к рас- сматриваемому нормальному сечению с тем направлением, ко- 1 торое дает кривизну !Вь ' Радиусы кривизны ьсь и Яя называются главнымп радиусами кри- визны нормальных сечений в рассматриваемой точке.
Те два направ- ления в касательной плоскости, которые их дают, называются глав- ньсми направленияма Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еше два направления в касательной плоскости, а именно— направления асимптот индикатрисы ь(ьопена. Лля этих асимптоти- чесьсььх направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствуюшего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю.
В эллиптическом случае )сь и ьтя имеют одинаковые знаки. В ги- перболическом случае эти величины будут разных знаков. В пара- болическом же случае кривизна одного из главных нормальных сече- 1 ний будет равна нулю, и, считая, например, — =О, мы будем иметь в параболическом случае формулу 1 соъь В 417 а 1а. элементы теОРии пОВеРхнОстей иа! Отметим еще один чзстнын случай точек поверхности эллиптического типа, а именно тот случзн, когда величины )Т1 и )Тя оди- 1 1 иаковы, т.
е. )Х1=йм Формула (60) даст при этом — = —, т.е. Я 77,' в данном случае все нормальные сечения имеют в рассматриваемой точке одинаковую кривизну. Такая точка поверхности называется точкой закругления, или омбилпчееиой точкой. Можно доказать, что сфера — единственная поверхность, все точки которой омбилические. 146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений.
Перепишем основную формулу (56) для кривизны нормального сечения в виде (7. — ЕЯ ') бпз+ 2 (М вЂ” Ей ') йи РЬ + (Д7 — ОЯ ') бо' = О. (61) ди Леля на йо' и вводя вспомогательную величину 1 = †, харакди' теризующую направление кзсзтельной к нормальному сечению, получим уравнение: из которого кривизна )с ' нормального сечения определяется в завасимости от 1. Для главных направлений величина Я ' должна достигать максимума или минимума, а потому проязводная ог )т ' по 1 должна обращаться в нуль.
Но эта производная выражается, очевидно, формулой (1, 69! дг гЯ' дт иг дч дг1 ' и, следовательно, для главных направления производная — должна Ж обращаться в нуль, т. е. 2йг ( ) +( Заменяя 1= — и умножая на ип, получим ии ии (А — Етс '1 би + (М вЂ” Р)т ') ип = О. (62) Если бы мы разделили уравнение (61) иа й~' и за переменную, ии характеризующую направление касательной, взяли бы Г, = †, то соли' вершенно тзк же получили бы для главных направлениа равенство (М вЂ” гиК ')би+(гт' — ОЯ ') бе =О. (63) тл Перенося в равенствах (62) и (63) члены с гЬ направо и почленно деля одно равенство на другое, мы получим квадратное уравнение для определения кривизны главных нормальных сечений, т. е. 1 1 — и —: Рт тала ' (ЕΠ— Р ) —, +(2ЕМ вЂ” т — ОЕ) — +(ЕРà — Мз) = О.
(64) ! 1 Выражение 1 К=— иг11я называется гауссовой нривлзноГс поверхностна в а выражение (65) зздапноп точке, (66) называется средней кривизной. Из квадратного уравнения (64) получаем непосредственно выражение гауссовой и средней кривизны через коэффициенты первой и второй формы Гаусса: К Н= + Ей — са ' 2(ЕΠ— Га) Перепишем уравнения (62) и (63) в виде (ьйи+ МсЬ) й = Ейи+ Еао, (Мйи+ Ийе) 1т' = Ейи+ Ойо. Разделив почленно одно на другое, мы исключим букву )т и после элементарных преобразований получим уравнение (ЕМ вЂ” И.) йиа+(ЕГч' — ОЦ с(и йв+(ЕМ вЂ” ОМ) йтР = О. (68) Леля его на аиз, буден иметь квадратное уравнение относительно йв †. Его два корня дадут нам величины, характеризуюшие главные йи ' направлешш в каждой точке поверхности: йв Ви — = ф ( .
') — - = гра (и о). Ви ' ' йи (69) 147. Линии кривизны. Линией кривизны на поверхносл!и называется такая линия на поверхности, у которой в каждон ее точке касательная направлена по главному направлению. Так как в каждой точке поверхности имеются два главных направления, ти мы будем иметь два семейства линия кривизны на поверхности, и эти семейства будут взаимно ортогональны.
Таким образом совокупность всех линий кривизны даст некоторую ортогональную сетку на поверхности. Уравнение (68) или эквивалентные ему уравнения (69) суть дифференциальные уравнения линий кривизны. Интегрируя их, мы выразим и через и 418 гл. ч. основы днффзикнцилльнои гвомвтини [147 419 % !а. элементы теОРии позеРхностея в, подставляя это выражение в уравнения поверхности, получим уравнения линий кривизны. Пусть нам дана некоторая координатная сетка на поверхности.
Выясним условия, при которых эта сетка есть сетка линий кривизны. Прежде всего, раз эта сетка должна быть сеткой линий кривизны, то она должна быть ортогональной сеткой, т. е. мы должны иметь Е= О. Ерове того, раз координатные линии и= С, и и= Ся суть линии кривизны, то уравнение (68) должно удовлетворяться при подстановке вместо и или э постоянной. Принимая во внимание уже полученный результат Е= О, будем иметь ПМ= 0 и ЕМ =О. Но мы видели, что разность ЕП вЂ” Ет положительна и, следовательно, величины Е и 0 не могут быть рваны нулю, и из двух предыдущих формул вытекает М=О. Итак, необходимым условием того, что координатная сетка былз сеткой линий кривизны, является условие Е= М = О.
Наоборот, если это условие выполнено, то дифференцизльное уравнение линий кривизны (68) имеет решение и = С, и о= Ся, т. е. координатные линни суть линии кривизны, и мы получаем следующую теорему; необходимое и достаточное условие того, чтобы координатная сетка была сеткой линий кривизны, заключается в том, что в двух дифференциальных формах Гаусса средние коэффициенты на всей поверхности равны нулю, т. е. Е=М=О. Можно определить линии кривизны и инзче, чем мы это сделали выше Рассмотрим на поверхности некоторую линию (Е). Нормали к поверхности вдоль этой линии образуют семейство прямых с одним параметром, определяющим положение точки й) на (Е), и это семейство не будет иметь М огибающей, ибо вообще семейство прямых в прострзнстве, ззвисящее от одного параметра, не имеет огибжощей !1621, т.
е. не является семейством касатель- г ных к некоторой линии в пространстве. Но если выбрзть (Е) определенным об- l разом, то огибающая нормалей будет существовать. Выясним условия, при которых это имеет место. й,) Положвм, что линия (Е) на поверхности выбрана так, что огибающая (Е,) Рис. 109. нормалей к поверхности вдоль линии (А) существует (рис. 109). Обозначая через г — радиус-вектор точек кри. зой (й), через г, — соответствующий радиус-вектор (Ег) и через а— алгебраическую величину отрезка нормали к поверхности между (Е) и (ь,), мы можем, очевидно, написать (70) г,=г+ащ, 420 гл. ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
