Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Пусть имеется семейство сфер с центром на оси Ог и данным радн1сом г х' + у' + (г — а)' = г'. днфференцируем ио о: — 2(г — а)=0. Исключая а, получим уравнение кругового цилиндра х'+ у' = г', который касается каткдой нз вышеуказанных сфер вдоль окружности. Рассмотрим теперь семейство поверхностей, содержашее два параметра: Р(х, у, г, а, Ь)=0. (93) Исключая а и Ь из написанного уравнения и уравнений дР(х, у, г, о, Ь) дР(х, у, г, а, Ь) (94) получим, как нетрудно показать, поверхность (Я), которая касается поверхностей семейства (93). но в данном случае касание будет име1ь 430 гл. ч.
Основы диФФеРенциАльнОЙ Геометрии 11аз место не вдоль линии, но лишь з некоторой точке. Действительно, фиксируя значения а = аа и Ь = ЬФ мы, с одной стороны, получим определенную поверхность (Яа) из семейства (93), а с другой стороны, подставляя а=а, и Ь=Ьа в три уравнения (93) и (94), получим, вообще говоря, некоторую точку Лбв на поверхности (8). В втой точке, при соблюдении некоторых условий, (8) касается (Юз). П р н и с р.
Пусть имеется семейство сфер с центром на плоскости ХО>г и ззданным радиусом г: (х — а)' + (у — Ь)' +»' = г'. Днфферснпир>см по а н Ь: — 2(х — а)=0, — 2(у — Ь)=0; исключая а и Ь, получим уравнение»'=г', т. е. огнбагощая будет состоять из двух параллельных плоскостей»=.+.г, которые касаются каждой нз вышеуказанных сфер в некоторой точке. По поводу нахождения огибающей семейства поверхностей можно сделать то же замечание, что и по поводу нахождения огибающей семейства кривых 113], а именно, например исключение а из уравнений (91) и (92) может привести не только к огибающей поверхности, но и к геометрическому месту особых точек поверхностей семейства (91), т. е. таких точек, в которых поверхность не имеет касательной плоскости. Если левая часть урзвнения (91) есть непрерывная функция с непрерывными производными первого порядка, то всякая поперхносттч которзя во всех своих точках касается различных поверхностей семейства (91), может быть получена указанным выше приемом исключения а из уравнений (91) и (92).
Вообще в этом и следующем параграфах мы не приводим доказательств и не уточняем условий, ограничиваясь приведением в общих чертах основных фактов. Рассмотрим теперь семейство линий в пространстве, зависящее от одного параметра: Рз(х, у, », а)=0, Ря(х, у, г, а)=0. (95) Будем искать огибаюьцую этого семейства, т. е. такую линию Г, которая во всех своих точках касается различных кривых семейства (95). Мы можем считать, что Г также определяется уравнениями (95) [13), в которых только а есть не постоянная, но переменная. Проекции гтх, агу, агг на оси бесконечно малого перемещения вдоль кривых (95) должны удовлетворять уравнениям: — 'дх+х-'-агу+ — 'с(»=0, дР, дР, дР, дх ду д» дР» дР, д/', дх ду д» вЂ” сгх + — гту + — гт» = О.
43! % 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕН дР, дР, дР, дР; — ' 3х + — ' Зу + — ' 6г + — ' да = О, дх ду дг да дул дул дРл дРл — ' бх + — ' Зу + — ' 6г + — ' 3а = О. дх ду дг да Условия касания сводятся к пропорциональности этих проекций, т. е. ах ау ав вх ву вг ' а этн условия, в силу предыдущих соотношений, равносильны двум дР, дул уравнениям: д ' йа = О н †' За = О, или, считая 6а ~ О, т. е. а — не ' ' да да постоянной, получим два уравнения дР,(х, у, г, а) О дР,(х, у, в, а) да да (96) Четыре уравнения (95) и (96) не определяют, вообще говоря, линии, т. е. селейство линяй в пространстве не алеет, как правило, огнбаюв!ей. Но если эти четыре уравнения сводятся к трем, т. е.
одно из ннх есть следствие остальных, то из этих трех уравнений координаты (х, у, г) определяются как функции параметра а, т. е. мы получаем лини!о в пространстве, которая и будет огибающей [нли геометрическим местом особых точек линий (95)!.
В следу1ощем номере мы будем иметь пример семейства прямых в пространстве, имеющих огибающую. !63. Развертывающиеся поверхности. В качестве частного слу. чая рассмотрим семейство плоскостей с одним параметром а: А (а) х + В (а) у + С(а) г + 0(а) = О. (97) Огибающая поверхность (В) получится исключением а из двух урав- нений А(а) х+В(а)у +С(а)в+0(а) =О, $ А' (а) х + В' (а) у + С(а) г+ сУ (а) = О. ) (98) При фиксированном а эти два уравнения дают некоторую прямую (7 ), н поверхность (О) есть геометрическое место этих прямых, т. е. обязательно линейчатая поверхность. Дальше мы увидим, что Совершенно так же проекции Зх, 3у, Зг бесконечно малого переме- щения вдоль Г должны удовлетворять уравнениям 432 ГЛ.
7. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОН ГЕОМЕТРИИ паз не всякая линеичатая поверхность может быть получена укааанным выше путем. Вдоль прямой (1 ) поверхность (8) касается плоскости (97), т. е. вдоль прямолинейной образующей (1,) поверхность(8) имеет одну и ту же касательную плоскость. Таким образом на (8) семейство касательных плоскостей 'зависит только от одного параметра а, характеризующего образующую (1,).
В общем случае семейство касательных плоскостей к поверхности зависит от двух параметров, определяющих положение точки на поверхности. Пусть уравнение (8) написано в явной форме «=у(х, у), причем частные производные функции г(х, у) мы будем обозначать так же, как в [66]. Первые два направляющих косинуса нормали будут функциями одного параметра а: = Ю,(а), = К'а(а). Исключая из этих уравнений а, получим связь между р и 9, которую можем написать в виде 9=9(Р) Соотношение это должно быть выполнено на всей поверхности (8) и, дифференцируя его по независимым переменным х и у, получим в=э'(р)г, 1= и'(р) з, откуда гг — за=О, (99) т. е. у поверхности, которая огибает семейство плоскостей с одним параметром, все точки должны быть параболпчес- А ИМИ.
Поверхность (8) образована семейством прямых (98). Нетрудно видеть, что это семейство прямых имеет огибающую. Лействительно, дифференцируя уравнения (98) по а, получаем два уравнения А' (а) х+ В' (а)у + С (а) «+,У (а) = О, ( А' (а) х+ В" (а) у + С' (а) «+ 1)' (а) = О, 1 (100) и четыре уравнения (98) и (100) сводятся к трем.
Таким образом мы можем утверждать, что поверхность (8) образована касательными к некоторой пространственной кривон Г. Если эта кривая Г вырождается в точку, то (8) есть коническая поверхность, а если вта 433 %!а.элементы теОРии повеРхностен 15з! х=о(Ф), у= Ф(1) е=м(Т), (101) то поверхность (В), образованная касательнылси к кривой 1', оги- бает семейство плоскостей с одним параметром, а именно семей- ство соприкасающихся для кривой Г плоскостеа.
)(ействительно, это семейство имеет уравнение А (Х вЂ” з+ В(à — у)+ С(~ — ) = О, (102) где (х, у, г) определяются формулами (101) и А, В, С определяются формулами (31) из [188). Дифференцируя (102) по параметру Т и при- нимая во внимание, что в силу (31) А йх+ В йу + С йг = О, (103) получим йА(Х вЂ” х)+йВ()' — У)+йС(Š— е)=0, (104) где вместо производных по Т мы пишем дифференциалы.
Огибающая поверхность семейства (102) состоит из прямых линий, определяемых уравнениями (!02) и (104), и нам остается показать, что эти два уравнения определяют 'касательную к Г в точке (х, у, е). Дифференцируя соотношение (103) и принимая во внимание, что, в силу (31), Айах+Вйау+Сйтг=О, получим й А йх + йВ йу + йС йг = О. (105) Соотношения (103) и (105) показывают, что нормали к плоскостям (102) и (104), проходящим через точку (х, у, г), перпендикулярны к касательной к кривой Г, т. е. плоскости (102) и (104) проходят обе через эту касательную, что нам и надо было доказать.
Выше мы видели, что условие (99) является необходимым условием, того, что (В) есть огибающая семейства плоскостей с одним параметром. Можно показать, что оно и достаточно. Выше мы говорили также 1150], что условие (99) (или ему равносильное 1лч' — М"=0) необходимо для того, чтобы (В) люжно было отобразить на плоскость без искажения длин. Можно показать, что и наоборот, если это условие выполнено, то достаточно малый кусок поверхности можно отобразить указанным выше образом на плоскость.
Поэтому огибающие семейства плоскостей с одним параметром называют развертывающимися поверхностями. точка удаляется на бесконечность, то (В) есть цилиндрическая поверхность. Покажем, что и наоборот, если дана в пространстве кривая Г,) 434 гл. ч. основы диээвявнцнальнон гяомвтгин паз Не всякая линейчатая поверхность будет развертывающейся поверхностью. Например, если мы возьмем гиперболический параболоид илн однополый гиперболоид, то для ннх соотношение (99) не выполнено [149), хотя оии и являются линейчатымн поверхностями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
