Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 84
Текст из файла (страница 84)
166. Теорема Дирихле. Ряд Фурье функции г(х) будет сходиться и его сумма будет равна г (х), если только сделать некоторые огра. ничительные предположения относительно функции г (х). Мы предположим, во-первых, что функция Г (х), заданная в промежутке ( — к, я), или непрерывна, или имеет внутри этого промежутка лишь конечное число точек рззрыва непрерывности. Мы предположим далее, что все эти точки разрывз непрерывности обладают следующим свойством: если х=с есть точка разрыва непрерывности у(х), то существуют конечные пределы у(х) при стремлении х к с: как справа (от ббльших значений), так и слева (от меньших значений). Эти пределы обычно обозначают г(с+О) и г(с — О) [1, 32]. Такие точки разрыва непрерывности обычно называют точками разрыва первого рода.
Предположим, наконец, что весь промежуток ( — я, я) можно разбить на конечное число частей таких, что в каждой части.г"(х) меняется монотонно. Указанные выше условия называются обычно условиями Дприхле, т. е. говорят, что функция удоелетворяелл условиям Дпрпхле а промежутке ( — к, я), если она или непрерывна е этом пролгежутке, пли имеет конечное число разрыеов первого рода, и если, кроме того, промемсуток ( — я, я) можно разблгтл на конечное число татгх промежутков, е каждом из которых Г"(х) меняетсн монотонно. За»1етим, далее, что на конце х= — я нам важен лишь тот предел, к которому стремится у(х) при стремлении х к ( — я) справа, а потоллу вместо У( — я) мы буделл писать у( — я +О) и точно так же вместо г"(к) будем писать |(я — О).
Отметим, что пределы эти могут быть различными, но сумма ряда (1) должна быть, конечно, одинаковой при х= — я и х=я, в силу периодичности функций (4). Одной из оснозых теорем теории рядов Фурье является следующая: Т е о р е м а Л и р и х л е. Если г (х), заданная е промежутке ( — я, к), удоалетаоряелл з этом промежутке условиям Дирихле, 441 $!а ГАемоннческни АнАлиз 4551 то ряд Фурье этой функции сходится во всем промежутке ( — л, л) и сумма этого ряда: 1) равна У(х) во всех точках непрерывноспьи У(х), лежиьцих внутри промежутка; 2) равна У(х+ О) +У(х — О) во всех точках разрыва непрерывности; 3) равна т" ( — л+ 0) +У(л — 0) 2 на концах пролгежутка, т.
е. Лри х= — л и х=+ л. Доказательство этой теоремы будет дано в конце настоящей главы. Сделаем некоторые замечания по поводу формулированной теоремы. Члены ряда (1) суть периодические функции с периодом 2л. Поэтому, если ряд сходится в промежутке ( — л, л), то он сходится и при всех вещественных значениях х, и сумма ряда периодически повторяет, с периодом Зтг а 44 О 45 а Зьт 4 2л, те значения, которые она давала в промежутке ( — л, л). Таким образом, если мы поль- Рис.
110. вуемся рядом Фурье вне промежутка ( — л, л), то мы должны считать, что функция у (х) продолжена вовне этого промежутка периодически с периодом 2л. С этой точки зрения концы промежутка х= + л явятся для продолженной таким образом функции точками разрыва непрерывности, если т ( — л + 0) ~ т (л — 0). На рис.
11О изображена функция„непрерывная в промежутке( — л, л), которая при периодическом продолжении дает разрывы непрерывности в силу несовпадения значений т(х) на концах промежутка. При вычислении коэффициентов Фурье часто бывает полезно пользовзться следующей леммой: Л е лг и а. Если т" (х) есть четная функция в промежутке ( — а, а), т. е. у( — х)=т"(х), то а а ~ У(х)йх= 2 ~У'(х) Ых, — а а п если у(х) — нечетная функция, т. е. /( — х)= — т (х), то а ~ г (х) 4(х = О. — а Доказательство этой леммы было дано в 11, 99].
1 А1 гл. рь ряды оррьи [!за 156. Прилтеры. 1. Разложим у(х) = х в ряд Фурье в промежутке ( — я, я). Произведения л сов Ах суть нечетные функции от х, а потому в силу формул (9) все козффициенты а» равны нулю. С другой стороны, произведения х яп Ах суть четные функции, и козффициенты Ь» можно вычислять по формуле 2 Г, 2 1 хсозйх1» 1 Г 1 2( — 1)» ' Ь»= — ~ ха!пйхпх= — [ — — ~ + — ~ созйхпх~= я,) я'1 й ~ о «3 о о На рис, 111 график ряда чертежа видно, что в точках Фурье изображен жирной линией, и пз зтого х = ч- я мы пмеел~ разрыв непрерывности, причем среднее арифметическое пределов слева и справа равно очевидно нулю.
Таким образом теорема Дирихле дает в рассматриваемом случае: '! /з1пх яп2х г~~ — — — +...+ 1 2 ( — 1) т а!п йх +")- х при — я <х Ся, Рис. 111 (10) 0 при х= -в- я. 4 2. То жс для функции ха. В данном случае произведения хаз1п йх суть нечетные функции и все коэффициенты Ь» равны нулю. Вычисляем а». 2 Х'1 ' 2яа хтдх = — — ~ яЗ! 3' о .=о 2 гх'а!п Ьх1» я 2 Г х'соз Ьхт(х= — 1 ~ — — хз1п Ьх сух~= о о ( хсозйх1»-я 1 Г \» 4 — — — ~ соа Ьх Нх т = ( — 1)» —,.
А ! о й 3 й' ' о видно, что в данном случае график ряда Фурье ие имеет пав н Из рис. 112 -ух-4 -ух -Ы -х и х йв дт «х Ьх Рис. 112. нигде разрывов, и сумма ряда равна х' во всем промежувке ( — и, и), включая концы: х'= —.+4 7 ( — 1)" — ( — к~х---н) жт соз»х й (1 1) »-1 443 % 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1лв1 Полагая х=О, получии 1 1 1 ! я 1 — — + — — — + .„+( — 1)»-' —,+ .„= —, 4 9 16 ''' Вд " ' 12' (12) Если положим 1 1 1 1+ — -(- — + — + ...
=а 4 9 16 1 1 1 9 25 49+ '" (13) то имеем, очевидно, 1 3 4 Г6 36 "' '+4 ' ' 4а' и равенство (12) дает 1 1 1 1 ! ял 1 — — + — — — + ... = — — = — а=— 4+9 !6 '" ' 4 2 Г2' т. е. 1 1 1 я' а=1+ — + — + ...+ — + ...=— 4 9 ''' л' ''' 6 ' 1 1 1 + 9 +25+ ''' +(2п+ 1)'+ (14) 3. Разложить в ряд Фурье функцию с, при — п<х<О, Г(х) = с, при О<х<я. -(.
Мы имеем здесь +а о я 1 Г 1 à — 1//(~к =-(((У""45""1= 4" '=я 5 +я о +я 1 Г ! Г = — „~~у() м~ = — „~~~, ми +~... -я я о ( — 1)» — 1 *=(с, — с,) нВ +а Ь»= — ) Г(х) а!и Вх 1 Г ! Г в/х = — ~ ~ а( Яп Вх (Гх + ~ сл Б1п Вх гсх~ ~ й о Гл. т1. Ряды Фуоъв пат 2 (с, — сс! т. е. Ь» = О яри четном А и Ь»= — при нечетном Е, а потому по ое теореме йирихлс (рис. 1!3): при — и <х < О, при О<х<с, '(!5) ири х=о и -ю-я. с, с,+с, 2(с,— сс)(5(их 5!пзх сс с,+с, 2 1 о о о о о о о о о о -Дт -ЕХ -,УХ -3Х -Х а с, Х гж лсг аа М Рис.
113. !67. Разложение в промежутке (О, и). В предыдуших примеряя мы упрощзли вычисления коэффициентов Фурье, пользуясь четкостью или нечетиостью разлагаемой функции 7(х). Вообще, применяя лемму из [166] к интегралам(9), определяющим коэффициенты Фурье, мы получаем а„= — ~ 7(х) соа Ахах, Ь„=О, 2 Г о если у(х) есть функция четная, и а„=О, Ь„= — 3! у(х) 5!п Ьхах, 2 Г (17) о если у"(х) — функция нечетная. Самое же разложение функции будет вида — '+ т а»соайх, 2 лы (18) если у(х) — четная, и Ь» 51п Усх, (19) » 1 если у (х) — нечетная функция. Пусть теперь нам дана произвольная функция у(х), определенная в промежутке (О, и).
Эту функцию можно разложить в промежутке (О, и) как в ряд вида (18), содержащий только косинусы, так и в ряд вида (19), содержащий только синусы. При этом в первом случае коэффициенты вычисляются по формулам (16), а во втором — по (17). Оба эти ряда внутри промежутка (О, и) будут иметь суммой функ- 446 4 !С ГЛРМОНИЧЯСКИИ ЛНЛЛИЗ ын а при разложении по синусам у( — о) = — у(+. 0), у ( — и + 0) = — у (и — 0). Рис.
114. Соответственно этому в концзх промежутков мы получим указанные в таблице значения рядов (18) и (19). На рис. 114 и 115 указаны графики функций, выражаемых рядами (18) и (19), составленными для одной и той же функции у(х) в промежутке (О, к). П р и и е р ы. 1. В примерах 1 и 2 !156) мы получили ряды для функции х по синусам и для функции х' по косинусам в промежутке (О, в). Раааа~аз функцию х в ряд по косинусам в промежутке (О, я), мы получим 2 т а, = — хттх=я, О при четном а, (( — 1)л 11= 4 — — при нечетном А. яхт хев — + т аасовах ав 2 л-! 2 Г 2 аа — ~ х сов Йх ах = яяв о Отсюда я 4 т сов х сов Зх стм (2а+!) х ) 2 'т !' + Вв + '''+ (2Л+»в + '" (О(х Ся). (20) цию у(х) или среднее арифметическое в точках разрыва.
Но вне прометкутка (О, я) они будут представлять совершенно различные функции: ряд по косинусам даст функцию, получаюшуюся из у(х) честным продолжением в соседний промежуток ( — к, 0), а затем периодическим продолжением с периодом 2я вне промежутка ( — к, л).
Ряд по синусам дает функцию, получзюшуюся нечетным продолжением функции у(х) в соседний промежуток ( — я, 0) и затем периодическим продолжением с периодом 2я вне промежутка ( — я, я). Таким образои, при разложении по косинусам у( — о) = у(+ о), у'( — к+ 0)=у (и — 0), 446 ГЛ. ЧЬ РЯДЫ ФУРЬЕ !тзт В промежутке ( — л, 0) сумма ряда, стоящего в правой части, будет совпадать с ! — х), т. е.
во всем промежутке ( — л, л) она совпадает с абсолютным значением ! л' 1: л 4 ! соя х соя Зх сов 5х )х1=---~~ — + — + — + ...~! 2 л ! 1' 3' 5' ' ' '! ' (21) а затем впе промежутка ( — гн л) сумма ряда даст функцию, которая Рис. 116. получз ется периодическим повторением ! х ! из промежутка ( — л, л) (рис. 116). Разлагая функцию х' по синусам в промежутке (О, л), мы получаем 2 Р я, 2( — 1)а 'л 4 [( — 1)" — !) 5„= — х' жп Дхгтх= + л д лда Гв!пх в!п2х з!пЗх 1 8 Гв!пх япЗх я1пбх х'=2л~ — — + —,— ... ~ — — ~ — + — + — + ...~ ! 1 2 3 " ' 1 л ~ 1' 3' 5' в промежутке 0<х(л (рис. 1!7). Рис.
117. Предоставляем читателю доказать, что мы можем переставить члены ряда Фурье так, как мы вто сделали выше. 447 5 !4. ГАРИОнический АнАлиз 4571 2 Г аз = — д! сов гх сов де дх. о сов гх = — + ~ аа сов дх! 'аз 2 Мы имеем 2 Г 2 яп гх!х=л 2 яп их аз= — ~ совгхйх= — — ~ з л л г !!в=о лг о 2 Г 1 аь= — ! сов гхсоздхйх= — й! [сов(г+д) х+сов(г — lг) х[ йх л,') л й о о 1 [яп (г+д) х яп (г — д) х1х=аа ! [яп (лг+дл) в!п(лг — хл)1 л [ г+д г — д йх=о л [ г+д г — д 22 в!п л2 л(гз-дз) ' Стало быть, в промежутке — л ~ х ( л 22 в!плгГ 1 совх . сов2х сов3к сов ах= з( — + — — ' — +— л [ 2г' 1з — гз 2' — г' 34 — гз Полагая х=б и к=л, приходим к следуюпгим двум формулам! з=! (22) с12лг= — ~ — — ~ з=! (22!) 1 Формулы этп называются формулами розге!гения —, и с1длг ла лро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
