Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Отсюда следует, что если переменная точка такой поверхности движется вдоль прямолинейной образующей, то соответствующая этой точке касательная плоскость вращается вокруг этой образующей. Фрзнцузскнй математик Лебег подробно исследовал поверхности, развертывающиеся на плоскость, при весьма малых предположениях о функциях, входящих в уравнения (38) таких поверхностей (мы предполагали наличие непрерывных производных до второго порядка). Он дал, между прочим, пример такой поверхности, причем эта поверхность есть нелинейчатая поверхность вращения. ГЛАВА М! РЯДЫ ФУРЪЕ й 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ !Б4.
Ортогональность тригонометрических функций. Гармоническое колебзтельное движение у = А я 1п (сот+ Р) представляет простейший пример периодической функции периода 2я Т= †. Мы ограничимся пока рзссмотрением периодических функций периодз 2к и обозначим независимую переменную через х, так что функция у обратится в у=А я!п(х+Р). Более сложные функции того же периода будут функции А„я!и (йх+ о«) (й = О, 1, 2, 3, ...), равно как и сумма любого числа нх: л Я А«5!п(йх+Р«), «=о которая называется тригонометрическилс полпномом и-го порядка; естественно прн этом возникает вопрос о приблггженнолг представ- лении произвольной периодической функцтг Г(х) периода 2я в виде пгриаономеглрического полинома и-го порядка, а затем и вопрос о разложении функции т (х) в тригонолгегпрический ряд У(х)= ~ А„я1п(йх+ э«), «=о подобно аналогичным задачам приближенного выражения функции в виде миогочлена п-й степени или разложения ее в стеЛенной ряд.
Общий член этого ряда А„я1п (йх+ Р«) 436 ГЛ. Ш. РЯДЫ ФУРЬЕ называется й-й гармоникой функции ! (х). Его можно написать в виде Аь з[п (Ьх+Рь)=аз соз !сх+Ь„з[п йх, где а„=А з[п~!ь, Ь„=А созуа (Ь=О, 1, 2, ...). Гармоника нулевого порядка А, з[и (сс есть просто постоянная, которую мы для упрощения дальнейших формул обозначим через — '.
2' Итак, наша задача заключается в том, чтобы подобрать, если возможно, неизвестные постоянные а„аь Ь1, а„Ь„..., а Ь„..., ток, чтобы ряд — '+ ~~ (аь соз ах+ Ьа з(и Ьх) был сходящимся и чтобы его сумма равнялась заданной периодической функции ! (Х) периода 2я. Лля решения этого вопроса выясним одно простое свойство косинусов и синусов кратных дуг. Пусть с — любое вещественное число и (с, с+ 2к) — любой промежуток длины 2я. Нетрудно доказать, что с+2с с+ 2с сов йхбх=О, ~ а[и йхйх=О (Ь=1, 2, 3, ...). (2) Рассмотрим, например, первый из написанных интегралов. ПервоБ1п ах образная функция для соз Ьх равна а и, ввиду ее периодичности, ее значения при х= с в х=с + 2я будут одинаковы, и разность этих значений будет нуль, т.
е., действительно, с+2 соз Ьхбх= ~ =О. ап [сх (х с+2с ~с с с Совершенно так же, пользуясь известными формулами тригонометрии: а!п (а + Г! х+ ап (Л вЂ” !) х з[и йх соз !х =— 2 ! з[п йх з[п !х= поз(Л вЂ” !) х — соя (а+ !) х соа (Й + !) х + сш (П вЂ” !) х соз пх соз (х = $14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1441 можно доказзть, что с+ 2с соз /сх з!п сх йх= О, с с+2» с+ 2с соз йх соз Ух йх = О, ) з!и йх 21п (х йх = О (й ф У). Рассмотрим семейство функций 1, созх, з!их, сов 2х, з1п2х, ..., сових, з)пих, ..., (4) ! + соя 2ах 2 5!в йх 1 — соа 2ах мы будем иметь с+ 2с с+ас созсйхйх=и, ~ 21пяйхйх=и (й=1, 2, ...). (5) В дальнейшем для определенности мы будем брать с= — и, т. е.
роль промежутка (с, с+ 2к) будет у нас играть промежуток ( — и, и). Вернемся теперь к поставленной выше задаче. Положим, что некоторая функция у(х), определенная в промежутке ( — к, к), а аатем и при остальных значениях х по закону периодичности с периодом 2к, является суммою ряда (1): с (х) = 2'+ ~~~ (а„соз йх+ Ь» 21п йх). (6) »-! Интегрируя обе части этого равенства по промежутку ( — и, и) и ваменяя интеграл от бесконечной суммы суммою интегралов от отдельных слагаемых, получии +с + с О» +с + с ~ у(х)йх= ~ всйх+ ~) ~1а» ~ сов йхах+Ь» ~ з1пйхйх), с с » ! — с с причем первой из функций семейства является постоянная, равная единице.
Формулы (2) и (3) выражают следующий факт: интеграл от произведения любых двух различных фуннций семейства (4) по любому промежутку длины 2к равен нулю. Такое свойство называется обычно свойством ортогональностп семейства (4) на указанном промежутке. Вычислим теперь интеграл от квадрата функций семейства (4). ))ля первой из функций этот интеграл равен очевидно 2к, а для остальных, в силу формул 438 гл.
л. вяды еа ьв и, в силу (2), это приводится к равенству +» Г(х)1х= — '.2 =а, откуда определяется постоянная а». +» 1 а,= — ~ ~(х) !(х. (7) +» +» 1(х) сов лхЫх= — ' 1 соз пхФх+ 2 д »» +» +» +,», (а» ~ сов ггхсозлхвх+да ~ з!п7»хсозпх!гх). (8) а=! — » » В силу (2) н (3) все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного, а именно кроме интеграла +» соз 'лх соз лх !тх при А = л> а этот последний интеграл, в силу (5), будет равен и. формула (8), таким образом, приводится к виду +» ~ г (х) соз лх!ах=а„и, » откуда +» а„= — ~ Дх)сов лхЫх (л=1, 2, .„).
1 Г (7!) Совершенно так же можно получить формулы +» Ь»= — ) /(х)з!плх!1х (и=1, 2, „,). 1 Г Перейдем к определению остальных постоянных. Пусть л — некоторое целое положительное число. Умножим обе части (6) на сових и проинтегрируем, как и выше 439 % И ГАРМОНИЧЕСКИИ АНАЛИЗ Заметим, что формула (7) совпадает с формулоп (7,) при я= О. Мы можем, таким образом, написать + с а»= — ~ с (х) соз Ьхасх 1 +а Ьс, = — ~ 7 (х) 5!и сгх (гх 1 (/г=О, 1, 2, ...), (9) (7г= 1, 2, ...). с+а с" (х) асх с не зависит от е.
Действительно, число с мы можем предстзвить в виде с=та+6, где и — целое и й принадлежит промежутку (О, а); с+а (ас + 1( а + Л (ас +!(а (ас + 1( а + Л с(х)слх= ~ с(х)ссх= ~ с(х)а(х+ ) ((х)йх. с ма+А ага+ Л (м+ 1(а Вышеприведенные вычисления не являются строгими и име(от значение лишь как наводящие. Действительно, мы сделали ряд неоправданных предполом(ений: во-первых, л(ы с самого начала предположили, что заданная функция разлагается в ряд (6), затем мы заменяли интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых, или, как говорят, интегрировали ряд почленно, что не всегда можно делать 1ср.
1, !46). Строгая постановка задачи состоит в следующем. Пусть в промежутке ( — к, г) нам задана функция ~(х). По формулам (9) вычисляем постоянные а„ и Ь» и подставляем значения этих постоянных в ряд (1). Спрашивается; будет ли полученный таким образом ряд сходящимся рядом в промежутке ( — к, и), и если будет, то будет ли его сумма равна 7(х)7 Коэффициенты а» и Ь», вычисляемые по формулам (9), называются яоэффсспиекталт Фурье функции 7(х), а ряд, который получается из ряда (1) после подстановки вместо а» и Ь» их значений из формул (9), называется рядом Фурье функциис(х).
Операция разложения данной функции с(х) в ряд Фурье называется гармоническим аналпзолс. В следующем номере мы формулируем решение поставленной выше задачи о сходил(ости ряда Фурье заданной функции. Замечание. Указанные выше формулы (3) и (5) ил(еют место при интегрировании по любому промежутку длины 2я. Вообще, если функция С'(х), определенная прн всех вещественных значениях х, имеет некоторый период а, т. е.
7(х+а)=7(х) при всяком х, то интеграл от с(х) по любому промежутку длины а имеет определенное значение, не зависящее от начала этого промежутка, т. е, величина интеграла 440 гл. ш. энды эээьв В первом интеграле введем новую переменную интегрирования 1,=х — та, а во втором сл=х — (т+1)а: с+а а » г) г (х) Ых = Г)г (сл + та) б1л + г) г (1л + (т+ 1) а) г(1м Принимая во внимание периодичность Х(х) и обозначая переменные интегрирования опять через х, получим с+а а » а г (х) г(х = 1) 1(х) г(х + ) У (х) л(х = ') г (х) агх, откуда и следует независимость интеграла от с. Если 1(х) имеет период 2я, то мы можем вычислять ее коэффициенты Фурье а„и Ь» по формулам (9), интегрируя по любому промежутку длины 2к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
