Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 80
Текст из файла (страница 80)
основы див вевянцилльнои гиомвтвии пят где, как всегда, в — единичный вектор нормали поверхности. Раз кривая (~,) есть огибающая нормалей, то вектор Ыгь направленный по касательной к ней, должен быть параллелен вектору в, и мы можем написать йг, = Ьв, где Ь есть некоторый скаляр. Дифференцируя формулу (70), получим Ьв=йг+айв+йав, то есть йг+ааа=са, (7!) где с — некоторый скаляр. Покажем, что с=О. Для этого умножив обе части (71) скалярно на пк йг в+ ила в=с.
Вектор аг направлен по кзсательной к (~), т. е. перпендикулярно к а, и, следовательно, аг в = О. Кроме того, из равенствз в ° в = 1, как всегда, вытекает йп ° в = 0 и, следовательно, предыдущее равенство действительно дает с = О, и (71) может быть переписано в виде йг + а йп = О. (72) Эта формула обычно называется формулой Родриаа. Мы вывели эту формулу из предположения, что нормали поверхности вдоль (А) имеют огибающую. Положим теперь, наоборот, что вдоль некоторой линии (Е) на поверхности имеет место формула (72).
При этом формула (70) определит некоторую кривую (Ь,), Дифференцируя эту формулу и принимая во внимание (72), получим: аг,=йагп, т. направления вектора в и касательной к (А,) параллельны. Инымя словами, нормаль к поверхности вдоль (Е) касается (Е,). Итак, формула (72) дает необходимое и достаточное условие существования огибающей у нормалей к поверхности вдоль (Е). Заметим, что огибающая может выродиться в точку, и тогда нормали образуют коническую (или цилиндрическую) поверхность, причем условие (72), как мох'но показать, также должно быть выполнено. Напишем (72) в раскрытом виде г„' йи + г,' йо + а (а„' йи+ пз,' ап) = 0 и умножим скалярно на г„'.
В силу формул (42,), (47) и (49), получим Ейг+ РаЪ+ а( — Ейи — Лап)= О, а это есть как раз равенство (62) при а=)с. Совершенно так же умножая скалярно на г„, получим равенство (63). Нетрудно показать и наоборот, что из равенств (62) и (63), которые определяют главные радиусы кривизны и главные направления, получается формула (72) при а=)с. На этом мы не останавливаемся. Таким образом условие существования огибающей нормалей (72) равносильно (62) и (63), причем а есть величина одного из главных радиусов кривизны.
Предыдущие рзссуждения приводят нас к следующим результатам: линии кривизны поверхности характеризуются тем свойстволг, что %!3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХПОСТЕИ 1зв! вдоль них нормали и ловерхности имеют огибающую (или дают конус или цилиндр), лрлчем величина отрезна норм ли между поверхностью и огибающей равна одному из главных радиусов кривизны, Если некоторая плоская кривая вращается вокруг оси, лежап!ей в ее плоскости, то линиями кривизны полученной поверхности вращения будут ее л!еридианы и параллели.
Действительно, вдоль л!еридианов нормали к поверхности образуют плоскость, а вдоль параллелей — конус. 148. Теорема Дюпена. Пусть в пространстве имеются три семейства взаимно перпендикулярных поверхностей 41 (х, У, г) = ЦР з) (х, У, г) = 171, и (х, У, г) = 17г Они образуют сетку ортогональных криволинейных координат в пространстве (131). Радиус-вектор г из начала в переменную точку пространства М характеризуется криволинейными координатами з)„ 17„ з)з этой точки. Частные пРоизводные где г „ и гд, дают вектоРы, направленные по касательным к координатнйм линиям, и условия ортогональности координат можно написать в векторной форме !дз адз О гдз гд О !д гд О (73) Диффере!шируем первое из этих равенств по цв второе по рд и третье по !)з: г„д, гд,+г,'Т, г,㄄— — О, гд„„° г', +г „° г,д,— О, гдд гд +г г, =О.
Отсюда непосредственно получаем гезд ' гд = гд д ' гд = г, ' г, = О. Сопоставим три равенства !'дз ' !'дз Гдз ' !'дз = !'дздз ' !'дз = О. Из них следует, что векторы г и гд, и г',д, перпендикулярны к одному и тому же вектору гд, и, следовательно, компланарны, откуда следует, что [117! г',д, ° (г', К г',) = О. (74) Рассл!отрим теперь координатную поверхность оз = С На ней параметры 171 и зуз явля!отся координатными параметрами, и каор. динатные линии оз = С и цд = С суть линии пересечения взятой поверхности с двумя другими координатными поверхностями наших ортогональных координат в пространстве.
Мы имели следующие 422 ГЛ. Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНБИАЛЬНОЛ ГЕОМЕТРИИ 1149 формулы: Г =Г' Г', г' (г' Хг') сс' са1 -, г и равенства (73) и (74) показывают, что в данном случае Р=М=О, т. е, координатные линии сус и да суть линии кривизны на поверх- ности оа= сопл!. Это приводит нзс к следующей теореме Дюпена: если в пространстве имеются спрн селсейства взаилсно ортого- нальных поверхностей, то любые две поверхности из разных селсейств пересекаются по линии, которая является линией кривизны для обеих етих поверхностей.
ИО. Примеры. 1. Уравнение сжатого эллипсоида вращения хэ уэ — + — + — =1 (аг~сс) а' а' с" может быть написано в параметрической форме в следующем виде: х=асозиз!по, у=апппмпо, л=ссоао. Координатные линии и = с, суть, очевидно, линии пересечения эллипсоида с плоскостями у=.х 12 с„ проходящими через ось вращения, т. е. суть меридианы, а координатные линии о = с, — параллели, получаемые от пересечения эллипсоида плоскостями с = ссоэс„ перпендикулярными оси вращения. Применяя формулы (42) и (50) н принимая во внимание, что х, у и л суть составляющие вектора г, получим Е=а'мп'и, Р=О, б=аэсозэо+сэа(пто, Е асзсп'о, М О, ЬС ас Г' а'соэс о+ са Мпс о р' а' соз' о+ с' нп' о Равенства )с=М= О можно было предвидеть в силу того, что меридианы и параллели суть линии кривизны эалипсонда вращения.
Остальные коэффициенты зависят только от параметра о, характеризующего положение точки на меридиане. Главные направления совпадают, очевидно, с касательными и меридиану и параллели. Выражение (АДС вЂ” М') в данном случае положительно на всей поверхности, т. е.
все точки поверхности — эллиптические. Не вычисляя в отдельности главные радиусы кривизны, приведем лишь выражение гауссовой кривизны: 1 У.СЧ вЂ” М' с' !Рсйс Е0 — Р' (а' созс о+ с' а!п' о)' ' 2. Уравнение конуса второго порядка х у с — + — — — =0 а' + Ь' с' перепишем в явной форме с' х' у' л =с1вс — +— а' Ь' Непосредственно дифференцируя, нетрудно получить: с'х с'у с'у' с'ху Ьа ' 'Ь' ' ' 'Ь" ' ' а л Ь л а Ь л а с'хэ — агвгаа 423 9 19 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1491 Действительно, при больших положительных значениях р левая часть уравнения (75) близка к ( — 1) и имеет знак ( — ), а при значенилх р, немного зл больших ( — с'), слагаемое,, есть большая положительная величина, с'+ р' и левая часть уравнения (75) имеет знак (+). Таким образом внутри проме- жутка ( — с-', сю) должно существовать такое значение р, при котором левая часть уравнения(75) обращается в нуль.
Аналогичныи образом можно убедить- ся в существовании корней внутри промежутков ( — Ь', — с') и ( — а', — Ьл). Три числа (и, о, ш) называются эллипспическимп координаспажи взятой точки М(х, у, л). В нашем рассуждении предполагается, что все три коордипаты точки (х, у, л) отличны от нуля. В противном случае для р полу- чится уравнение ниже третьей степени. Если, например, л = О, а х и у отличны от нуля, то )'равнение (75) даст и и о, а ш надо считать равным ( — сл). Исследуем теперь координатные поверхности в эл.типтической системе координат.
Подставляя в уравнение (75) р = и, где и — некоторое число нз промежутка ( — с', со), получим поверхность х' ул аэ а'+ и Ь'+ и с'+ и + — + — =1, (77) которая очевидно является эллипсоидом, так как, в силу первого пэ неравенств (76), все три зналленателя в уравнении (77) положительны. Полагая р = о, где о — из промежутка ( — Ь', — с'), получим однопалый гиперболоид сл уа лл а'+ а + Ь'+ о+ а'+ и (78) Пользуясь формулами (53), можно определить все коэффициенты форы Гаусса.
Отметим лшпь, что в данном случае гт — з'=О, т. е. все точки поверхности суть параболические точки, и один пз главных радиусов кривизны равен бесконсчност|г. Соотвстствующсе глазное направление совпадет, очевидно, с прямолинейной образующей конуса. 3. Рассмотрим гиперболический параболоид х' у' л= — — —. 2а' 2Ь' ' 1 1 В лаяном случае г = †„ а = О н Г = — †,, так что гà — э' ( О, и, слсдоватсльпо, всякая точка поверхности является гиперболической точкой.
Две прямолинейные образующие поверхности дают в данном случае направление аснмптот индикатрисы Дюпена, которая состоит из двух сопряженных гипербол. Аналогичное обстоятельство мы будем иметь и для однополого гиперболоида. 4. Обычные прялшлинейные координаты, а также сферические и цилиндрические координаты дают простейшие примеры ортогональных координат в пространстве. Укажем еще один пример таких координат.
Рассмотрии уравнение поверхности второго порядка, содержащее параметр р: х' у' а' а'+р Ьл+р с'+р где а'>Ь'>с'. Фиксируя точку Ь((х, у, г) и освобождаясь от знаменателей, мы будем иметь уравнение третьей степени относительно р. Нетрудно показать, что это уравнение имеет три вещественных корня и, о и ш, которые заключаются соответственно в границах +СО>и> — С', — с'>О> — Ьл, — Ь'>ш> — а'.
(78) 424 ГЛ. Ч. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 1!аа так как в данном случае ае + и ) Ьг + о > 0 и с'+ о < О. Наконец, при р =т, где т — из промежутка ( — а', — Ь'), получим двуполый гиперболоид х' )>' г' =1, а'+ ю Ь'+ и + с'+ т Покажем, что полученные три координатные поверхности взаимно орто- гональны. Вычитая почленно уравнения (77) и (78), получим л' г гг (а'+ и) (а'+ о) (Ь'+ и)1Ьс+ о) (с'+ и) (сг+ о) У =О, 80 Направляющие косинусы нормалей к поверхностям (77) н (78) соответственно пропорциональны (1, 180): х у г х у а+и' Ь+и' с+и а+о' Ь+о' с+о' н равенство (80) выражает условие перпендикулярности этих нормалей, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
