Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 78
Текст из файла (страница 78)
упомянутые коэффициенты суть функции параметров (и, и) и в заданной точке поверхности имеют да определенное численное значение. Что же касается отношения †, то ви' оно, как мы видели [141], характеризует направление касательной к кривой. Мы можем поэтому утверждать, что обе части формулы (48) имеют определенное значение, если фиксировать точку на поверхности и направление касательной к той кривой на поверхности, которую мы рассматриваем. Если же взять на поверхности в фиксированной точке две кривые, имеющие не только одинаковое направление касательных, но и одинаковое направление главной нормали, то у таких кривых и угол оо будет одинаковым, а потому, в силу упомянутой формулы, и величина р окажется одной и той же, т. е.
мы имеем следующую теорему: Теорема 1. Две кривые на поверхности с одинаковой касательной и главной нормалью в некоторой точке имеют в втойс точке и одинаковый радиус кривизны. Если на поверхности имеется какая угодно кривая (й) и на ней некоторая точка М, то, проводя плоскость через касательную и главную нормаль к этой кривой в точке М, лоы получим в сечении этой плоскости с поверхностшо плоскую кривую (Ео), имеющую ту же касательную и главную нормаль, что и заданная кривая, а потому и тот же радиус кривизны.
Таким образом доказанная теорема дает возможность сводить изучение кривизны любой кривой на поверхности к изучению кривизны плоских се!енин поверхности. Назовем нормальны.в сечениелс поверхности в заданной точке М сечение поверхности какой-нибудь плоскостью, проходящей через норьыль поверхности в точке М. Мы имеем, очевидно, бесчисленное мнов'ество нормальных сечений, причем мы можем фиксировать опреде~~~ное нормальное сечение, задавая определенное направление каса~~льной в касательной плоскости к поверхности, т. е.
фиксируя 412 гл. ч. основы днвовпвнциальнон гяомптпин пы величину отношения —. Заметим, что главная нормаль у нормаль. ного сечения или совпадает, или противоположна вектору щ, так что угол о равен 0 или и, и, следовательно, соэ 4~ = + 1. Рассмотрим какую-нибудь кривую (Е) на поверхности и на ней определенную точку М. Назовем нормальным сечением, соответствующим кривой (Е) в точке М, то нормальное сечение в точке М, которое имеет в этой точке общую касательную с кривой (й). Пусть р — радиус кривизны кривой (Е) и Я вЂ” радиус кривизны соответствующего нормального сечения. Так как обе кривые имеют одну и ту же касательную, то правые части в формуле (48) для них одина- новы, и мы можем написать — т. е. Р=Я ~ соэ о), соэ т -~- 1 р 11' (55) где и — угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверх.
ности. Поскольку 1с и р положительны, знак в правой части надо брать совпадающим со знаком соэ о. Последняя формула приводит к следующей теореме: Теорема 2 (теорема в4енье). Радиус кривизнылюбойкривой на поверхности в заданной точке равен произведению радиуса кривизны соответствующего нормального сечения на абсолютное значение косинуса угла между нормалью к поверхности в втой точке и главной нормалью к кривой, Иначе говоря, радиус кривизны любой кривой на поверхности равен величине проекции радиуса кривизны соответствующего нормального сечения, отложенного на нормали к поверхности, на главную нормаль к этой кривой.
-йсаТ В случае сферы нормальное сечение есть Р окружность большого кругэ, и если мы аа Р кривую (Е) возьмем какую. либо окружность, начерченную на сфере, то формула (55) приводит к очевидному соотношению между ! радиусами двух упомянутых окружностей (рис. 107).
Согласно теореме второй, изучение криРис. 107. визны кривых на поверхности сводится к изу- чению кривизны нормальных сечений в заданной точке поверхности. Как мы видели, для нормального сечения в формуле (48) надо считать соэ о= + 1. Согласимся относить знак ( — ), когда он встретится, к величине р, т. е.
согласимся считать радиус кривизны нормального сечения отрицательным, если главная нормаль нормального сечения противоположна направлению вектора пт, т. е противоположна выбранному направлению нормали к поверхносги. При 41З % 43. элементы теоРии повеРх4юстеп 4441 таком соглашении мы будем иметь для нормальных сечений формулу 1 й йи4+ 2М Пи 4Ь+ И 4Ь' (56) 44 Е йи4+2Ейи 4Ь+ О4Ь4 Напомним еше раа, что в правой части этой формулы коэффициенты дифференциальных форм имеют определенное значение, так как 1 мы фиксировали некоторую точку на поверхности, и величина 4ГП аависит лишь от вначения отношения — т. е.
от выбора направлеи'и ' ния касательной. Знаменатель в правой части формулы (56) имеет всегда положительные значения, так как выражает величину йэч, а 1 потому внак кривизны — нормального сечения определяется знаком Р чпслителя, и могут представиться следующие три случая: 1. Если во взятой точке М' — тлч'(О, то для всех нормальных 1 сечений — имеет один и тот же знак, т. е. главные нормали ко всем й нормальным сечениям направлены в одну и ту же сторону. Такая точка поверхности называется эллиптической. 2.
Если М вЂ” 4.И)0, то — будет иметь различные вилки, т. е. ч 1 !! во взятой точке поверхности имеются нормальные сечения с противоположным направлением главной нормали. Такая точка поверхности называется гиперболической. 3. Если М' — 1лч'= О, то при этом числитель в правой части 1 формулы (56) представляет собой полный квадрат, и алесь — неменяет анака, но при одном положении нормального сечения обращается в нуль. Такая точка поверхности называется параболпческой. Зав4етнм, что в гиперболическом случае трехчлен, стоящий в числителе правой части формулы (56), меняя анак, обращается в нуль, и будут два нормальных сечения с кривианой, равной нулю.
В эллиптическом же случае таких сечений не будет. Введем координатные оси, приняв взятую точку поверхности ва начало и поместив оси ОХ и Оу в касательной плоскости, как мы это делали в 11421. В силу формул (54) равенство (56) примет вид го йх4 + 244 4!х йу + Го Лу 4144 Касательная к нормальному сечению лежит в плоскости ХОУ, и от ношения — и — равны соответственно соя О и а!и 8, где 9 — угол, и'х йу 4га 4Тз образованный касательной с осью ОХ. Таким обрааом предыдущая 414 гл. ч. основы диээзввицилльиои гвомзтэии [ыз формула прнннмзет внд 1 — = г, соз' 0+ 2г, соз 0 а1п0+ 1, з1п Я О.
Р7) 1 В этой формуле мы нмеем в явном виде завнснмость кривизны — от Р направлення касательной, характеризуемого углом 0, Прн этом, если з,' — г,г, ( О, то точка будет эллиптической, в случае з' — г,1а ) 0— гиперболической, а в случае г"; — га1, = 0 — параболической. В случае а', — гас,( О функция г=Угх, у) будет иметь в рассматрнваемоп точке максимум плн мнннмум 11, 163~, равный нулю, т.
е. поверхность вблизи этой точки будет расположена по одну сторону от касательной плоскости. Прн а,' — г„1,) 0 не будет нн максимума, нн мяннмума, т. е. в любом соседстве с рассматрнваемой точкой поверхность будет располоакена по обе стороны от касательной плоскости. Наконец, в параболической точке, где а,' — га1а = О, ннчего определенного о расположении поверхности относнтельно касательной плоскости сказать нельзя. Из формул 103) непосредственно вытекает, что знак (ЛЯ вЂ” У.дг) прн любом выборе осей Хг7 совпадает со знаком (зя — г1) н, следовагельно, прн а' — г1(0 точка будет эллиптической, прн зя — г1)0— гиперболической н прн а' — Н = 0 — параболической.
На одной н той же поверхности могут быть точки разных родов. Напрнмер, на торе, который получается вращеннем окружности вокруг осн, леакащей в одной плоскости с окружностью н вне ее 11, 107], точкн, лежащие с внешней стороны, будут эллиптическими, а с внутренней стороны — гнперболнческнмн. Этн две области отделяются одна от другой крайннмн парал- У лелями тора, все точки которых суть параболические точки.
145. Инднкатрнса Дюпена н формула Эйлера. Фнксяруя коордннатные осн так, как это было укззано в предыдущем номере, построим в касательной плоскости, т. е. в плоскости ХОУ, вспомогательную кривую следующнм образом: на всяком раднусе-векторе нз начала О отложим отрезок ОЛг= Рнс. 108. = Рг + К где )с — радиус крн- внзны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной. Знак Г+ ) выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная величина. Геометрическое место концов гч' построенных отрезков дает крнвую, которая называется пндпмагпрнсой дюпена, Свойство этой крн- 415 $ !3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕН ыа1 воп, согласно построению, следу!ощее: квадрат любого ее радиуса- вектора дает абсолютное значение радиуса кривизны того нормального сечения, для которого взятыИ радиус-вектор является касательной (Рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
