Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 86
Текст из файла (страница 86)
точность приближения увеличивается (не уменыиается) при возрастании п. Величина ь„' выражается формулой (33), если в ней ваменить а», р» на а», Ь», т. е. выражается интегралом от квадрата некото- г!аименьшее значение 3„' будет, очевидно, в том случае, когда два последних неотрицательных слагаемых в правой части обратятся в нуль, т. е. это будет иметь место, если положить а,= аь и вообще а»=а» и р»=Ь»(й=1, 2, .„). Итак, средняя квадро!личная погрешность приближенного выражения функции У(х) посредством тригонометрического полинома п-го порядка будет наименьшей, если коэффициенты полинома суть коэффициенты Фурье функции 7"(х). Отметим при этом одно важное обстоятельство.
Из полученного реаультата следует, что вначения а» и р», которые обращают в минимум д»', не зависят от значка и. Если мы увеличим и, то нам надо будет добавить новые коэффициенты а» и р», но уже вычисленные коэффициенты останутся прежними. Величину ь„наименьшей погрешности мы получим по формуле (35), заменив там а» и р» соответственно на а» и Ь», что дает +ь ь е ! я аь ь„'= — дт [г (х)[Я бх — —" — — у (а„»+ Ьв»), 2яд 4 2 — и »=1 % И ГАРМОНИЧРГКИИ АНАЛИЗ 455 рой функции, а потому ив наверно положительна или, точнее говоря, не отрицательна. Принимая это во внимание, получим, в силу (37), л +и — '+ !) (а»+ Ь»в) = — ~ [У(х)[вбх.
(38) »=! и Пока мы явно не высказывали никаких предположений относительно свойств 7(х). Для предыдущих рассуждений необходимо, чтобы существовали все те интегрзлы, которыми мы пользовались, т. е. чтобы можно было вычислять коэффициенты Фурье по формулам (9) и чтобы существовал интеграл от квадрата функции. Для определенности будем считзть, что г(х) непрерывна или имеет конечное число рззрывов первого рода. При этом все упомянутые интегралы наверно имеют смысл [1, 116[. Можно сделать относительно г (х) и гораздо более общие предположения, и во всяком случае во всех предыдущих и дальнейших рассуждениях не играют роли предположения, которые фигурировали в условиях Дирихле.
Вернемся к неравенству (38). При увеличении и сумма положительных слагаемых, стоящая в левой части, будет увеличиваться (не уменьшаться), но при этом будет оставаться меньше определенного положительного числа, стоящего в правой части неравенства. Отсюда непосредственно вытекает, что бесконечный ряд сл ~л (а»+ Ь») »=! будет рядом сходящимся [1, 120]. Устремляя и к бесконечности я переходя в неравенстве (38) к пределу, получим: сл +и — +,'г,' (~~+ Ь») ~-' ~ К(~)1 бх. (39) » ! — и Принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю при беспредельном удалении от начала, мы можем высказать следующую теорему: Теорема.
При сделанных предположениях относительно У(х) ее коэффициенты Фурье а» и Ь» стремятся к нулю при 74 +оо. При ндшей новой точке зрения основным является следующий вопрос будет лп погрешность»и стремиться к нулю при беспредельном возрастании и. Если в правой части формулы (37) чы перейдем к пределу при беспредельном увеличении и, то вместо конечной суммы '5', получим бесконечный ряд ~, т.
е. »=! »-! ав йп 2л„' = — ~ [г" (х)[в 4(х — — ' — ~ (а1 + Ь»), Л ил Е »=! ГЛ. 7!. РЯДЫ ФУРЬЕ [1яь 160. Общие ортогональные системы функций. Большинство проведенных рассуждений настоящей главы основывалось не на конкретных свойствах тригонометрических функций, но лишь на свойстве ортогональности функции семейства (4). Поэтому эти рассуждения применимы для любого семейства ортогональных функций. Такие семейства, как мы увидим, часто встречаются в задачах математической физики. Пусть у нас имеется семейство вещественных функции в промежутке а(х(3, для определенности будем считать эти функции непрерывными: Ф!(х), Фя(х), ..., ф„(х), ... (41) Мы предполагаем, что ни одна иа этих функций не равна тождественно нулю. Говорят, что функции семейства (41) орглогональны, если ь ~ ф„(х) Ф„(х) агх = О при т ~ л.
(42) а Интеграл от квадрата каждой функции семейства (41) будет равняться некоторои положительной постоянной. Введем следующие обозначения для этих постоянных: ь л, = ~ (ф, (х)11 бх. а Если к каждой функции фа(х) семейства (41) добавим численный 1 множитель =, то новые функции Уаа ф, (х) = = ф, (х), фь(х) = = Фь (х), ..., ф„(х) = = ср, (х), ..., У Га в силу (42) и (43), будут удовлетворять не только условиям ортогопальности, но и интеграл от квадрата каждой функции будет равен едиш!це, т.
е. (43) ь ~ф (х)ф„(х)бх= ~ 11 при ль=л. (44) откуда вытекает, что стремление к нулю е„равносильно тому, что в формуле (39) мы имеем знак равенства, т. е. +а са — ~ 'ьу(х))Чх= — "+ ~~~ «|+Ьй. а ь=! Уравнение это обычно называется урааненцелг аалгхнутоелыг. В следующем параграфе настоящеи главы мы докажем, что ь„О, т.е.
что уравнение (40) действительно имеет место для всех функций Х(х) с указанными выше свойствами. 4б7 1ЬЬ! % И. ГАРМОНИЧЕСКИИ АНАЛИЗ При этом систему называются обоб1цениылш иозффпцпенталп! Фурье или просто моеффпцпенталп! Фурье функции у(х) относительно ортонормированной системы (4б), а ряд 'Я сйф!А(х) (46!) й-! рлдол! Фурье функции 1(х). Без дополнительных предположений относительно У(х) и функций системы (4б) ничего нельзя утверждать о сходимости этого ряда или о его сумме, если он сходится.
Напишем выражение для средней квадратичной погрешности при представлении заданной функции у(х) конечной суммой вида и Х 7ь![!й (х) й=! Квадрат ее выражается в виде ь и б'= г) [л'(х) —,'Е 7АФ (х)1й б». Мы не пишем множителя (Ь вЂ” а) ' перед знаком интеграла. Принимая во внимание (44) и (46), получим, как н в [169ф ь и и и=1и(х)[Ч вЂ” Х сйи+ Х (7,— сй). а й-1 й-! откуда непосредственно следует, что Ц имеет наименьшее значение, которое мы обозначим а„', при 7„ = с„: ь и и а„а = ~ [У(х) — У, 'сй(1й (х)[й ~Хх = ~ [У (х))' Ых — У сй. (47) и й-! а А '! Отсюда, как и выше, следует неравенство аа ь ~ сй ( ~ [/ (х)[" ах, й=1 и (43) 7!(х), ф!(х), ..., 9„(х), ..
называют обычно ортоиормнроеаниой. Пусть л(х) — функция непрерывная или с конечным числом разрывов первого рода на промежутке а ~ х ~ Ь. Числа ь с„= )у (х) фь (х) Ых (4 6) а 458 гл. чь инды вгяьи !169 которое называется обычно неравенством Бесселя. Основным является вопрос, будет ли е„ стремиться к нулю при и — оо, причем стремле- ние е„ к нулю равносильно тому, что в (48) мы имеем знак равен- ства, т. е. ') ]у(х)]тих= ~ч ', сз. (49) Уравнение вто называется уравнением замкнутости для г (х) ло отношению к слетел!е функций (45). Эта система называется замкнуигой, если уравнение (49) справедливо для любои непрерывной функции т (х) и для любой функции с конечным числом разрывов первого рода. Заметим, что если это так, то можно доказать, что уравнение (49) справедливо и для гораздо более широкого класса функции.
Доказательство уравнения замкнутости для разнообразных систем ортогональных функции было дано в работах В. А. Стеклова. В этих же работах было выяснено важное значение уравнения замкнутости в теории ортогональных систем. Доказательство уравнения замкнутости для тригонометрических рядов впервые было дано А. М. Ляпуновым. Вернемся к семейству функций 1 созх, з!их, сов 2х, з!п 2х, „сових, з!и лх... Эти функции обладают свойством ортогональности нз промежутке ( — я, я), но они не нормированы, т. е.
интегралы от квадратов их не равны единице. Из вышеизложенных вычислении [164] следует, что в дзнном случае ортонормировзнным будет семейство функций 1 1 1 1 1 = — созх, = з!Пх, ..., = сових, = 3!них... )г2я' )гк )гк ' У"~с )Гя ]1(х)фа(х)г(х=О (юг=1, 2, ...), а т.
е. все коэффициенты Фурье са функции 1(х) равны нулю. При этом из уравнения замкнутости (49) следует, что Положим, что ортонормированная система (45) замкнута, и покажем, что при этом не существует непрерывной функции (кроме равной тождественно нулю), которая была бы ортогональна по всем функциям семейства (45). Действительно, пусть у (х) — такая функция: 459 $14.
ГАРМОНИЧЕСКИИ АНАЛИЗ 1аа1 (51) и из этого равенства, поскольку у(х) предположена непрерывнои, следует, что т (х)=0. Обрзтное утверждение не имеет места, т. е. из того факта, что нет непрерывной функции (кроме тождественного нуля), ортогональной ко всем функциям системы (45), не следует, что эта система замкнута. Мы рзссмотрим еще этот вопрос в сле- дующем параграфе, когда будем излагать теорию ортонормированныч систем для измеримых функций с использованием интеграла Лебега.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
