Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 89
Текст из файла (страница 89)
з1п (2л+ 1) г Ыг+ о ! ( г (х+ 2г) — у(х) 2а 1 (2 + 1) я 2а 81п а Для того чтобы доказать, что ряд Фурье (1) функции г'(х) сходится и имеет суммою г'(х), надо показать, что разность [8„Я вЂ” 1(х)[ стремится к нулю при беспредельном возрастании гь Рассмотрим функцию у(х — 2а) — у(х) — 2г — 2а $!и а в промежутке ~0, — 1. Она может иметь точки разрыва первого рода, 2!' происходящие от точек разрыва 1(х — 2г), и, кроме того, надо особо исследовать значение а=0.
Положим, что во взятой точке х функции Дг) не только непрерывнз, но и имеет производную. Иа определения производной и из очевидного равенства — 2а 11ш —. = — 2 я 0 аьча вытекает, что (я (а) стремится к определенному пределу, равному — 2т'(х), когда «-ь0. Отсюда вытекает, что к функции ф(а) применима вышеуказанная лемма, и первое слагаемое в правой части формулы (б) стремится к нулю при беспредельном возрастании л.
мп а м. дополннтвльныв сввдвння нз твовнн видов эзиьв 473 Точно так же доказывается, что и второе слагаемое стремится к нулю, а отсюда вытекает, что и разность [8„(Г) — У(х)] стремится к нулю во взятой точке х. Мы получаем таким образом следующую теорему: Теорема. Если У(х) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода в пролсезкутке ( — я, я), то ее ряд Фурье сходится и илгеет суммою 7'(х) во всякой такой точке х, в которой у(х) имеет производную.
Нетрудно получить и более общие результаты. Положим, что в точке х функния непрерывна или даже имеет рззрыв непрерывности первого рода, но существуют конечные пределы Бш У(х — И) — У(х — О) . У(х+ И) — У(х+О) — И (6) л-+о ь-+о Геометрически существование этих пределов, т. е. производных слева и справа, равносильно существованию определенной касательной слева и справа.
При этом имеет место следующее дополнение к доказанной теореме: если существуют конечные пределы (6), то в етой точке ряд Фурье функции 7(х) сходится и его сумма равна ' [что равно у(х), если у(х) непрерывна]. Умножая (4) на 2 и вычитая из (3), можем наи сать ( У(х — О)+У(х+О) л 2 — з! и (2п -]- 1) г йг -[- 1 Г У(х — 2г) — У(х — О) — 2г ч — 2с о1п х + 1 ~ У(х+2х) — У(х+О) 2г . +1) я 2х иле Надо доказать, что правая часть стремится к нулю при беспредельном возрастании и. Принимая во внимание существование пределов (6), мы можем утверждать, что при г -ь 0 обе дроби У(х — 2г) — У(х — О) У(х+ 2с) — У(х+ О) — 2г и 2х имеют конечные пределы, и, рассуждая совершенно так же, как и выше, мы убедимся, что оба интеграла, стоящих в правой части (7), стремятся к нулю при беспредельном возрастании п.
Таким образом приведенное выше дополнение к теореме доказано. 474 ГЛ. Чн РЯДЫ ФУРЬЕ (ии При значениях х=п и х= — л в силу периодического продал. жения у(х), пределы (6) сведутся к пределам Пш у ( — и + Ь) — у( — и + О) и Пщ г"(и — И) — у(п — О) а +о а +а — Ь и сумма ряда будет у ( — я + О) + у (я — О) Заметим, что во всех примерах, рассмотренных нами в предыдущем параграфе, у(х) удовлетворяет во всех точках условиям дока.
ванной теоремы или дополнения к ней. 165. Вторая теорема о среднем. Для доказательства теоремы Дирилле и более подробного изучения ряда Фурье нам будет необходимо одно предложение интегрального исчисления, которое имеет некоторую аналогию с теоремой о среднем, изложенной в томе 1 [1, 95], и называется обычно старой теоремой о среднем.
Это предложение формулируется следующим образом: если 7(х) — монотонная ограниченная функция е конечном промежутке а(х(Ь с конечным числом точек разрыла, у(х) — непрерыенан функция, то ь $ ь [ т(х)у(х)дх=ч(а+0))у(х)дх+ч(Ь вЂ” 0))у(х)дх, (8) а а а где 1 — некоторое число из промежутка (а, Ь). Нетрудно видеть, что достаточно доказать формулу (8) для случае возастающей (неубывающей) функции т(х), ибо если 7(х) — убывающая, то — 7(х)] есть возрастающая функция и, применяя формулу (8) к [ — 7(х)] и меняя в обеих частях знаки на обратные, получим равенство (8) и для самой 7(х). Покажем еще, что достаточно доказать формулу (8) для того случая, когда т(а + О) = О. Действительно, пусть для этого случая формула (8) доказана, и рассмотрим 7(х), которая указанному условию не удовлетворяет.
Введем новую монотонную функцию ф (х) = 7(х) — т(а .]- 0). У этой функции предельные значения на границах будут ф(а + О) = 0 и ф (Ь вЂ” О) =* =7(Ь вЂ” О) — 7(а+О). По предположению, к функции ф(х) формула (8) применима, и в силу ф(а+0)=0 она дает ь ь ) ф(х)у(х) дх = т'(Ь вЂ” О) ~у(х) ах, а нлп ь э [ [7(х) — 7(а+ 0)]у(х) йх = [7(Ь вЂ” О) — 7(а+ О)] ~у(х) дх, а 1 откуда ь ь ь ь [ 7 (х) У (х) дх = 7 (а + О) [) у (х) йх — ~ у(х) дх] + 7 (Ь вЂ” О) ~ у (х) Ах, а а а из этого равенства непосредственно вытекает формула (8) для т(х). Итак, достаточно доказать формулу (8) для возрастающей или, лучше сказать, неубывающей функции Ч(х), у которой 7(а+0)=0.
Значения такой функ ции в промежутке (а, Ь) будут, очевидно, неотрицательными. юЮЫ $ юа. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Иэ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 475 Для доказательства разобьем промежуток (а, Ь) на части, отметив точки х,= а, хп л;,..., хю „хю, ..., хл „х«=Ь. Как известно [1, 95], в нем хю у(х) ююх = у (Ею) (х! — хю,), ю-! где Е; — некоторое значение, лежащее внутри промежутка (х; „хю). вим сумму Соста- Займемся теперь исследованиеи сумлюы л к л ь ь Х юр(Ею) 1 у(х)нххл Х Т(Е4 5 у(х)юК» ~ у(х)юрх!= хю, ю=! хю, «ю ь л ь =Т(Е!)]У(х)юрх+ ~', [Т(Ею) — р(Ею,)] ~ У(х)сюх.
л ю=э к. ! ! (9) Интегралы ь ь ь ь ь ~у(х) юр» ~ ~'(х) аю», ] у(х) юрх, „,, ') у(х) юрх,..., ) у(х)юрх а х! «ю «л-! являются чэстными значениями функции ь к ~ / (х) юрх = — ~ у (х) юрх, к Ь (10) которая есть непрерывная функция от переменного предела интегрирова- ния х [1, 96], а поэтому все значения (1О) лежат между наименьшим и наи- большим значениями лю и М функции (11).
Принимая во внимание, что в выражении (9) все множители Т (Е!) н Т (Ею) — Т (Ею !) неотрицательиы, и заменяя в зтолю выражении значения (1О) справа на и, а затем на М, йолучим л «ю л ~ юр(Ею) $ У(»)аю»Р]Т(Е!)+ ~.',[Т(Ею) — Т(Ею-!)[]лю~юр(Ел)лю! х. ю=з а-! л хю л ~ Т(Ею) $ Х(х)ею»~(Т(Е!)+ ~', [Т(Ею) — Т(Ею !)]) М= р(Е«)М, ю-ю хю, !=э л л «ю ~ Т(Ею)у(Ею)(хю — хю,) = ~', Т(Ею) ') У(х)аюх. ю ю х. ю-! При беспредельном возрастании и и уменьшении наибольшей из длин промежутков (х; „хю) эта сумма стремится к определенному интегралу [1, 116], т.
е. мы ийеем ь л кю ) Т(Х)у(Х) аЮ»лл 1Пн ~ Л(ЕЮ) ~ у(Х) ЮЮХ. л !=! хю, 1!аз 476 гл. ч!. инды Фзрьи то есть я Х! 9(Е„)ж( ~ 9(Е!) $ У(х)б»(9(Ел)М, ! ! л! или в пределе при и оэ и беспредельном уменьшении наибольшей из длин промежутков (х! „х!) мы ил!еем Е„Ь вЂ” 0 и ч(Е„) р(Ь вЂ” О), и неравенство будет ь 9 (Ь вЂ” О) л! ( $ ч (х) у (») я» ( у (Ь вЂ” О) М, л т.
е. ь ~ в (х) У (х) Ых = т (Ь вЂ” О) Р, О где Р— некоторое число, лежащее в промежутке (и, М). Но непрерывная функция (11) принимает в промежутке (а, Ь) все значения, лежащие между се наименьшим н наибольшим значениямй гл и М [1, 43), в том числе и Р, а потому в промежутке (а, Ь) наверно найдется такое значение Е, при котором ь у(х) г(»=Р, и, следовзтельно ь ь $ ч(х) у(х) Ых= ч(Ь вЂ” О) (у(х) г(х, а а зто совпадает с формулой (8) в силу условия ч(а+0)=0. Заметим, что формулу (8) можно доказать, не предполагая непрерывности у(х) и конеч- ного числа разрывов у ч(х), на чем мы, однако, останавливатьсв не будем.
Отметим, наконец, что вместо формулы (8) можно доказать более общую формулу ь а ь ) ч(х)у(х) т(х А ~у'(х) !(»+В~у(х) т(х, а а где числа А и Вдолжны удовлетворять следующим условиям: А(ч(л+О) и В~у (Ь вЂ” 0). С л е д с т в и е. В (!89) мы видели, что при некоторых условиях козффи- циенты Фурье а„и Ь„функции у(х) стремятся к нулю, при и оо. Если /(х) удовлетворяет условиям Дирикле, то можно доказать более точный результат, а именно, что а„и Ь„при больших и будут бесконечно малыми ! порядка не ниже — т.
е. для ник будет иметь место оценка вида и' 1ля1( —, 1Ья1( —, М М где М вЂ” определенное положительное число. По условию, промежуток ( — я, я) можно разбить на конечное число частей, в каждой из которых у(х) монотонна н ограничена. Пусть (а, р) — одна нз атил частей. Козффи- 1ав1 $1з. дОпОлнительные сВедения из теОРии Рядов сьнрье 477 Мы получим таким образом для отдельного слагаемого в выражении ая М 2 2 оценку вида —, где М= — !у(и+О),'+ — !/(Р— О) Ь Оценка того же вида и' я ' я очевидно будет и для всей суммы конечного числа таких слагаемых, т.
е. для 1ая). Аналогичное рассуждение годится и для Ь„. Если у(х) непрерывна, у( — я)=у(я) и существует производнзя у'(х), уловлетворяющая условиям Дирихле, то, интегрируя по частям и принимая во внимание, что в силу у( — я)=у(й) вненнтегральный член обратится в нуль, получим +» + е +е и Г 1 Г 1 пдп — — у(х) зсп их с!х = — у(х) д соя л» = — ~ у" (х) соз я» дх. Но последний интеграл, как коэффициент Фурье функции у" (х), удовлетворяющей условиям Дирихле, имеет вышеуказанную оценку, и для Ь„получаем прн сделанных предположениях оценку !Ь„1<~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
