Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 93
Текст из файла (страница 93)
е. будул! ил!ежа оценку ) !тя ! М !де) ~ ь„, М еде М вЂ” некоторое положи!лельное число. Заметим, что при для 1 ряд Фурье функции у(х) будет равномерно сходящимся. Лействительио, из доказанной теоремы следует, что в этом случае коэффициенты а„ и дл будут удовлетворять неравенству !а„(< —,, !В„(< — „ а общий член ряда будет иметь оценку 2М ! а„соэ их+ Ьл э(п пх ( ( —,—, а Ал=Ы вЂ” ~~,з; мп— ! ! (В=О, 1,2, ...) я а 1 !а! пяхг,."! йа=Я вЂ” ! З; 'соэ — 'в г! та а выражения для ра, ра, которые выписаны в табличке, умножить на ! — ~ ~ 1 ° причем здесь Э!аэ= У!а' (! + О) — У ти (! — О) = У ( — ! + О) — у!л'( — у — О) ... 'а 17!.
Улуч!пение сходимости рядов Фурье. Как мы видели в прелыдущем, присутствие в выражении для коэффициентов Фурье а„и ди функ- 1 цпи у(х) членов порядка —, которые делают ряд Фурье плохо сходящимся, обусловливается наличием скачков у функции /(х). Функция может иметь сколько угодно производных внутри промежутка ( — я, я), но достаточно одного скачка в конце промежутка, т. е., собственно говоря, несовпадении предельных значений у(~ я -г- 0), чтобы ряд Фурье втой функции стал практически негодным для вычисления.
Далее, в приложениях очень часто важно исследовать не функцию у(х), разложенную в ряд Фурье, а ее производныв первого, второго и даже третьего порядка. Между тем, если коэффициенты ! Фурье самой функции г(х) порядка — ае-;, то при дифференцировании ряда и е! откуда и следует абсолютная и равномерная сходимость ряда, так как ряд 1 — есть ряд сходящийся (1, !22). я' л=! Формулы (57) остаются в силе и для рядов Фурье в случае промежутка (- 1, !), Нужно только положить 496 гл. ч!. ряды Фгпьн (ш! 1 козффиписнты будут уже порядка -д-, что ясно из равенств и у(х) = — '+ (а„соя их+ Ь„ми лх), у" (х)*= ~~ л (Ь„сов ох — а„пп лл), 2 л=! У (х) — ) л ( пясозлх — Ьляплх) а.= ! Обратно, при каждом интегрировании порядок коэффициентов будет повышаться на единицу, ибо ъч %1 — Ь„соз их+ а„пп пх у (а„сових+ ь„а(ппх) !(х=С+ у 1л ° я=! я=! где С вЂ” произвольная постоянная. Таким образом при дифференцировании сходимость ряда Фурье укудшается; так, например, если коэффициенты Фурье функции у'(х) были порядка ! —, что будет в том случае, если эта функция непрерывна и периодична, и ' а у'(х) может иметь точки разрыва, то ряд, который получится почленным дифференцированием для вычисления у" (х), будет иметь коэффициенты по! рядка —, а ряд для у'"(х) совсем потеряет смысл, так как его коэффициенты л' пе будут даже стремиться к нулю.
Таким образом может оказаться, что ряд Фурье функции у(х) совершенно ие годится для вычисления производнык от функции у(х) ни при каких значениях х, и это произойдет для такой функции, которая лишь а одной точке промежутка не имеет производной, а во всех остальных имеет таковые и любого порядка. Поэтому возникает задача улучшения гходимосшп ряда Фурье, т. е.
преобрззоваиие его к такому ряду, коэффициенты которого настолько высокого порядка малости, что ухудшение скодимости при дифференцировании не мешает вычислять производные; например, если мы желаем беспрепятственно вычислять почленным дифференцированием производные ло третьего порядка включительно, то желательно, чтобы коэффициенты ряда 1 были порядка не ниже —,, ибо тогда для третьей производной получим ряд, ! коэффицне!пы которого будут иметь порядок —,, и вычисление с этим равномерно сходящимся рядом будет практически удобно. Улучшить скоднмость ряда Фурье функции г(х) можно следующим об- 1 разом.
Пусть в формулах (44) имеются члены порядка —, т, е, функция у(х) имеет скачки З!з!. Всегда можно построить простую вспомогательную функцшо у„(х), !,оторая имеет те же скачки, что п у'(х). Тогла разность /т(х) =у(х) — !),(х) пц в ж. дополнительные сведенпя из теоеии видов фтнье 497 не будет уже иметь скачков, и ряд Фурье 5(у) для функции уг(х) булет 1 иметь коэффициенты порядка, по крайней мере —..
За ча(х) проще всего брать функцию, график которой есть «ступенчатая линияэ, т. е. состоит из отрезков, параллельных оси О)(, или вообще из отрезков прямых, причем в первом случае чэ'(х)=0, то есть у;(х)=у'(х), а во второля если мы будем считать угловые коэффициенты всех отрезков одинаковымй и равными ю„то у', (х) — у" (х) = — ш„ и таким образом функция г;(х) имеет те иге самые скачки, что и У'(х). Определив так или иначе функцию т,(х), мы получим у'(х) = еы (х) + уг (х), где чэ(х) — известная и весьма простая функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, а ~,(х) ил1еет ряд Фурье, коэффициенты которого 1 имеют порадок не ниже — „Исправляем теперь функцию у,(х).
Ым имеем у (х) =у;(х)+ ю.. Пост>паа с Уг'(х) так же, как мы выше постУпали с У(х), мы можем написать у,'(х)= уз(х)+ р,(х), где ч,(х) — функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, и уа(х) 1 разлзгается в ряд Фурье, коэффициенты которого порядка не ниже —. Ини'' тегрируя последнее равенство, получим для г,(х) н тем самым для у(х) выражение в виде суммы ряда Фурье скоэффициентамипорядканениже— 1 и' и кусков парабол второй степени.
Если бы мы завались дальше исправлением у"'(х), то пол>чили бы для у(х) выражение в виде суммы ряда Фурье 1 с коэффициентами порядка не ниже — и кусков парабол третьей стси' пени и т. д. Изложенный способ применяется главным образом тогда, когда функция неизвестна, а дан только се ряд Фурье, причем его коэффициенты имеют вид (44). При этом надо по виду коэффициентов определить точки разрывов и скачки функции у(х) и се производных, а затем применить указанный выше прием уаучшения сходнмости. Можно поступить п иначе, а именно; если возможно просуммировать те части ряда Фурье, которые происходят от первых слагаемых выражений (44) для коэффициентов а„и Ь„.
Именно эти слагаемые и создают плохую сходимость рида Ф>рье. Оставшийся после суммирования ряд Фурье будет уже сходиться лучше, чем раньше. 498 Гл. Ч!. РЯЛЬГ ФУРЬИ 1!та а!п пх 2 ( — 2я<х<0), (46) (О < х < 2„) (» = 0 н х = -т- 2.). ~ 2з'+бгх+3»~ ~~ с!них 2.' — бл»4 3»! л=! 12 ( 2я<» <0) ! (О х 2 (46) 2г х+ йя»!+ха ( — 2я < х < О) 2яах — 3ахт -( а 12 (0 < »<2к) а!п лх я ! (47) Первая из написанных формул получается, если разложить функцию я — х — в промежутке (О, я) по синусам. Вторая получается нз первой путем 2 интегрнровзния по х от 0 до х, причем надо пользоваться равенством (1661 и ! Точно так же и третья формула получается из второй путем интегриро. ванна.
Дальнейшее интегрирование могло бы нам дать и дальнейшие формулы указанного выше типа. При этом мы считаем длину промежутка равной я. Этого всегла можно достигнуть простым преобразованием независимого переменного. Укззанная выше идея улучшения сходимостн ряда Фурье путем постепенного исправления функции у(х) и ее производных тэк же, как и приведенный ниже пример, принадлежат А. Н. Крылову. 172. Лрньтер. Рассмотрим ряд Ф. Рье ля и соа— 2 а!плх (0<х<т), (48) 2 Ът у(») = — — у л=! Мы инеем здесь ля 2л соэ— 2 3 л я(па Для того чтобы представить Оя в виде (43), разложим дробь, 1 по и и' — 1 При упомянутом выше суммировании надо пользоваться следующими формулами: ттз! ч >ч, дополнительные сведения из теопии Рядов Фтеье 499 1 1 степеням — доведя разложение до членов порядка— и' и' 1 1 п 1 1 — — — +— а ! и тр П« 1 —— и' пя пя ях 2 2 соз — 2 соз — 2 соз— 2 2 (49) кп кп' ял'(и' — 1) Нам надо таким образом просуммировать два ряда: пв соз — яп пх и — — 1) (50) л-! Обозначая первую из сума! через 5,(х), можем переписать ее в виде ««в!пп (х+ — ) а«пп (х — — ) я ям и яХ и а ! л 1 К каждой из зтик сумм можно применить формулу (45).
Рассмотрим сначала первую сумму. при изменении х от 0 до в аргумент (х+ — ) изменяет- 2) я Зя ся от — до — и формула (45) дает 2 2 яп и (х+ — ) я — (х+ — ) — (0<х<я). яд,! и я 2 4я л=! Обращаясь ко второй сумме, замечаем, что при изменении х от 0 до— 2 врг>мент (х — — ~ меняется от — — до О, при изменении х от — до я аргу- 2) 2 2 !«> я мент (х — — ) меняется от 0 до — ° Фора«ула (45) дает в атом случае 2) 2 1Х «=! пя соз 2 яп пх к~и и л ! 2х+ я 4я 2 — 3 500 гл. щ.
инды олье Складывав, получим для 8,(х) следующее конечное выражение: — (0(х( — ), 0 (х= — ). соэ 2 мп//.х 2 %т 8, (х) = — — у я и (51) ) ха / я» — — +С,'х+С» 6я ' а 1 2) (О~х< — ) 8,(х)= — -- '(-'--=.) (52) Для определения постоянных заметим, что ряд Фурье для 8,(х) имеет коэффициенты порядка †„ а ряддля 8', (х) имеет коэффициенты порядка— 1 1 па и" и, следовательно, оба ряда сходятся равномерно и дают функцию, непрерывную при х= —. Отсюда следует, что оба выражения (52) пил производные 2' должны совпадать при х= —: 2' а а я — — + С ' — + С' = — + С" — + С" 48я ' 2 ' 48я ' 2 я' я' — —,+С,= — +С,.
(53) Кроме того, иэ вида второй нз сумм (50) следуе»8»(0)=8,(я) =О, что, в силу (52), дает С; = 0; С",я+ С," = О. (54) Из этих уравнений можем определить все четыре постоянные: я яа С;=С"=— 21' ' 241 С' =О, С = — —. подставляя в (52), получим выражение 8,(х): 8,(х)= ха я / ят — — + — х 6я 24 (0(х< — ) 2)' ,)а /я бя 24 + — (х — я) ( —.(Х(я). 'т2 Окончательно для ряда (48) получим выражение Ля 2 сов— 2 у(х)=8,(х)+8,(х) — — ~ а а аплх, я ! Вторую иэ сумм (50) мы могли бы вычислить, пользуясь формулой (4у), но можно поступать и иначе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
