Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Обозначим зту сумму через 8,(х). Нетрудно видеть, что, интегрируя 8, (х) дважды по х, мы получим — 8,(х) с точностью до полинома первой степени. Интегрируя выражения (51) два раза, получим — (ОКХ( 2 )а бя (2 (Х(я) н, следовательно, 501 % св. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ !та) что и решает нашу задачу. Функция у(х) выражается через известные функции Зс(х) и Зэ(х), состоящие из кусков прямых и парабол, и ряда Фурье, коэффициенты которого порядка 1 1 л' (л' — 1) ' ' лт й 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 173.
Формула Фурье. Изложение теории рядов Фурье мы закончим исследовзнием предельного случая, когда промежуток ( — с, с), в котором изучается ряд Фурье, стремится к ( — оо, + со), т. е. ( †» +оп. Пусть функция у (х) удовлетворяет условиям Дирихле и не. прерывна во всяком конечном промежутке и сверк того абсолютно интегрируема в промежутке ( — со, +оо), т. е, существует интеграл ~ ) у (х) ! сух = (;с. — ОЭ По теореме Дирихле внутри ( — с, с) мы имеем сх(х)= — '+ ~~~~~а„соз — +Ь„з1п "— ). л 1 Помня, что +! Ф! а„= — ~У(с) соз — с(д Ь„= — ~ уЯ Ип — Ж, -с — с мы получим отсюда +! в» +! у(х) =Я уЯй+ — ', У ~М)созл'", )АЕ -с л ! — ! Что произойдет с этой формулой, когда с-ь+оор Первое слагаемое очевидно стремится к нулю, ибо +с Ф! +ОЪ ~,—,~у() и!» — „~(у(~)~໠—,', ~ ~у(()!а(=ф О.
— 1 — с — СО Вводя новую переменную а, которая принимает рзвноотстоящие значения в промежутке (О, со): л 2л лл ссс — в пз С э ° ° е пл ! э ° ° ° 1 с гл. Уг. Ряды ФуРье 002 получая кяжлыи раз приращения ах= —, мы оставшуюся сумму =Т можем написзть в виде +г — 1 ая ~ г (!) соз а (г — х) агб 1 -г При больших l интеграл, стоящий под знаком суммы, мало отличается от + СО г (!) соз а (! — х) ггс, н можно думать, что вся,сумма при 1-ь+ со будет стремиться к пределу СО +СΠ— ~ й ~ 1(!) сова(! — х)й(, 1 0 — О» и таким образом мы имеем гл(х) = — ~ йа ~ гл(!) соз а (( — х) с(г'. ! г — С В точках разрыва непрерывности, если таковые имеются, надо только заменить г'(х) на У(к + О) + У(х — О) 2 Формулз эта, которая получается из ряда Фурье при Е-э+со, называется форлгулой Фурье. Мы приходим таким образом к предложению; если функг!ггя г"(х) удав гетворкет условиялг Дггрихле во всяколг канечналг ггро.ггеагсуггггсе и абсолюигно интеарируема в аролгежугггке ( — со, + оо), то при всех х илгеет место равенство СО +СΠ— ' ( йа 1 у(() (! — х) й! =У("+0)+У' "'.
(2) 2 ) 2 Теорема эта называется обычно теоремой фурье, а интеграл, стоящий в левой части этой формулы, ггнтегралолг Фурье функции у (х), Предыдущее рассуждение не является строгим, его можно сделать таковым при помощи некоторых дополнительных рассуждении. Мы не будем этого делать, а приведем другое, строгое доказательство формулы Фурье, основанное нз результатах из (!66). 503 а ла.
интеГРАл ФуРье и кРАтные Ряды Фуоье Формула (2) будет доказана, если мы покажем, что + со !1щ — с(а У(Г) соз а (т — л) сс( = с ( + )+У( Л сокД,) 2 +со Л у(Л, х)= а у(Г)лст~ сова(( — х) с(а, 1 г — оо о (3) т. е. можем переставить порядок интегрирования по Г и по Л. Это вытекает из тато, что в силу абсолютной ннтегрируемости функпии у(х) интеграл: + со у (г) соа а (г — х) с(Г (4) значениях а. Действительно, интегралы — Ас сходитсв равномерно при всех у(г)сола(г — х)лсг, ~ у(г)сова(т — х)п (Ал()ла) ...
(5) по збсолютному значению не превосходят А" ~ ~У(()1Л, (6) и, стало быть, при данном с существует такое )сг„не зависясцсе от а, что при всех )У и М')Ла интегралы (5) будут меньше с по абсолсотной величине, пбо этим свойством, в салу абсолютной интегрируемости у(г), обладает интеграл (6). Но тогда интеграл (4) можно интегрировать по параметру а под знаком интеграла, что н дает нам + со -1- со Л а(Л, х)ао лса г (Г) соВа(à — х)сстоо ~ Г(Г)сгт$ лоза(т — х)суа, 1 г Р 1 о — о о Внутренний интеграл по а правой части формулы (3) можем вычислить непосредственно н получим + ос 1 ~ у(Г) В)пЛ(à — х) н Д т — х и нам остаетсн найти + со Вщ 1 (о т (Г) миЛ (С вЂ” х) сс,) т — х Разбив промелкуток интегрирования( — со, + со) на два промежутка ( — со, х), (х, +со) и введл вместо (С вЂ” х) переменную ( — а) в первом и л во втором Обозначал интеграл, стоящий в левой части, через у(Л, х), мы можем написать: 504 гд.
яд Ряды агрьв !ттз промежутке, мы перепишем (7) в виде ОО ОО 1Г апЛ» 1 Г а!п Лг 2 (Л, х) = — У(х — 2) — б» + — у (х+ г) — ~уг. лб) г я г Оба ати интеграла имеют вид интегралов Дирихле, но только с бегло. печными пределами. Тем не менее нетрудно показать, что оня обладают свойствамн обычных интегралов Днрихле, т. е. прн Л со должно получиться — ! У(х — 2) — "" г Фг — У(х — О), 1в,) г 2 — у(х+ 2) — л» вЂ” у(х+ О), г 2 после чего окажется действительно У(х+ О)+у(х — О) (8) что и долажет теорему Фурье.
Остается доказать формулы (8). Ограничимся доказательством пер. вой из зтих формул. Пусть в — любое заданное малое положительное числа ап Лг Прн 2~1 множитель — по абсолютной величине меньше единицы пря любом вещественном Л, а функция у(х — 2) по условию абсолютно интегрируема в промежутке (О, со) н, следовательно, существует такое число йу~ 1, что прн всяком Л ОЭ СО ~1~ апЛ« ) 1~ в 1 у(х — 2) — в!2 1 =- — ! !2(х — 2) ! Й< —, 2' Рассматривая интеграл Дирихле в яонечном промежутке и 1 — у(х — 2) а!п Лг О ) (х 2) л» у(х О) ~( —, 1~ 1 Г апЛг 1 в я г 2 2 ' Имеем очевидно 1 Г а!п Лг 1 — /(к — 2) 2!г — — у (х — О) =* я г 2 Г1 Г апЛ2 1 ! Г ап Лг [ — у(х — «) — — Пг — — у (х — О) 1+ — у(х — 2) — — г!2, ч г 2 я 2 можем утверждать, что он стремится к — У(х — О) при Л со, т. е.
при 1 всех достаточно больших Л СО !.~ у (х — я) — с(я — — у(х — О) ~ < — + — =,. г мил ! С а 2 2 2 Ввиду произвольной малости а зто и дает первую из формул (8). Вторая доказывается буквально так же. формула (2) может быть преобразована, если функция у(х) четная или нечетная. В самом деле, раскрывая сова(! — х), имеем СС*С" ООУС* — с) с ~ С [ [ ССО..О, О Ь 2 я + ~ у(!) в!п а! з!и ах с!!|, (О) причем оба интеграла по г имеют, очевидно, смысл ввиду абсолют- ной интегрнруемости у(!) в промежутке ( — оо, +со).
Если функция У(!) — четная, то функция у (!) соз ах — четная, а функция у(!) з$п ат — нечетная, н, следовательно, +СО СО У(!) сов ат с(! = 2 ~ у (!) соз а! с(г, Оэ о у(!) з!п а(с!!=О, так что СО СΠ— — соз ахсза у(!) сов а!с!с. 2 я Если же функция у(х) — нечетная, то тзким же образом получим СО СО + )+2~( ) = — з!п ахста у(!) в!п а!И. Если функция у(х) определена только в промежутке (О, оо), ее можно продолжить в соседний промежуток ( — со, 0) четным или нечетным образом и тогда мы для одной и той же функции у(х), ттз! в га интеграл еврьи н крдтнын ряды отрыл б05 откуда, в силу последних неравенств, при всех достаточно больших Л будем иметь 606 !па гл. ш.
ияды эм ье сштая ее для простоты непрерывной, получим две формулы У(х)= — ~ соз ахи»а ~ У(!) соз Ий (х)0), (10) 'о Ъ у(х)= — 1 з1п ах»та ~у(!) з!п Ый (х)0). (11) 2 Г д Нужно только помнить, что для первой из них функция Г"(х), про- должаясь четно, дает непрерывную функцию от х, так что первая фор- мула верна и при х=О; во второй все формуле, если У(0) ф О, мы получим разрыв, и правая часть при х = 0 равняется не у(0), а нулю. В формуле (9) первое интегрирование совершается по 1, и, введя две функции +о» А(а) = — ~ ~(!) соз а! й, 1 мы можем переписать формулу (9) в виде г (х) = (А (а) соз ах+ В(а) з1п ах) с(а, считая для простоты у(х) непрерывной. В этой формуле мы имеем разложение г (х) в бесконечном промежутке ( — оо, +со) на гармо- нические колебания, причем частоты а этих колебаний непрерывно меняются от 0 до +со, а функции А(а) и В(а) дают закон рас- пределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты а.
1»а для конечного промежутка ( — с', у) мы имели частоты а =— л (л=О, 1, ...), образующие грифметическую прогрессию. Если в формуле (10) положить У! (и) = ~/ ~ Г (!) соз а! й, ч +С» В(а)= — ~ Я) з1п а(й, (12,) (12») то ее поясно переписать в виде У(х) = ~/ — ) Лс(а) соз ахсрп »с2 1 Л о В этих двух формулах г (х) и ~,(а) совершенно одинаково выражаются одна через другую. Если считать в формуле (12,) У(х) заданной и У,(а) — искомой, то формула (12,) представляет собою так называемое интегральное уравнение для у»(а), поскольку эта функция входит под знак интеграла (интегральное уравнение Фурье). Формула (12,) дает решение 1731 $1а.
интеГРАл ФуРье и кРАтные Ряды Фурье б07 71 (а) = ~/ — ~ г (!) в 1п а! Л, 'а у(х) = ~/ — ~ 71(а) а!И ахгга. Ь (1Зс) (!з„) П р и и е р ы. 1, В форм> лс (!0) положим (! прп 0(х~1, )О при х)1. Мы получим тогда для интеграла, стоящего в правой части равенства (10); СО СО СО 1 ОЭ -.'(ссс .«-) .* ° ) .и~=" —— с совах з!и а Ь и следовательно !при 0(х(1, 2 Г сов«хипа 1 — -СГ«= — при х=! 2 0 при х> 1. 2. Полагая в формуле (11) у(х) = а-! ' (р ) 0), мы в вравой части имеем интеграл — з!п ах с(а е с~ а!п «Г сст = — ~ Ь и получаем таким образом СО я Ь а а(п «х —, е !» при — — с'а= 2 «с+ РС 0 при 3. Точно тал жс, полагая в формуле (1О) г" (х) = е Р» (Р ) О), «плах — Сса ас + Рс х)0, х=О.
найдем —., «а = — е-г» соз ах я . «' + Ра 2р Часто формулу Фурье пишут в комплексной форме +с« +СО л'(х+ 0) Ч У(х — 0) ! 2 2я (14) этого интегрального уравнения. Совершенно так зке формулу (11) мы можем представить в виде следующих формул: !!тз 508 ГЛ. Ч!.
РЯДЫ ФУРЬЕ Нетрудно получить эту формулу из формулы (2). Заменяя под интегралом е"н ""=сова(1 — х)+! з!и а(1 — х), получим два интеграла +со +со +оэ +со — !та ~ у(!) соз а(1 — х)!(г и — ~ с(а ~ у(т) з!и а(1 — х)И. 1 Г Г 1 Во втором из них переменная а входит под знак синуса, так что подынтегральная функция есть нечетная функция от а и, следова- тельно, интегрируя по а в промежутке ( — со, + оо), мы получим О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
