Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 98
Текст из файла (страница 98)
С точки зрения физической это продолжение сводится к определению такого начального возмущения бесконечной струны, чтобы движение ее участка (О,г) было то же, как если бы он был закреплен в концах, а оставшаяся часть струны была бы отброшена. Лодстазляя в правую часть (12) х=О и х=1 н приравнивая результат нулю, выразим предельные условия в виде 9,( — аг)+97(аг)=0, 1 9,(2 — аг)+97(г'+аг)=0, )г (21) нлн, обозначив переменный аргумент а! просто через х, 9( х)= 9( ), 9.,(1+. ) = — 9, (1 — х). Когда х изменяется в промежутке (О, 1), аргумент (1 — х) изменяетсч в этом же промежутке, н правые части равенств (28) нам известны.
1-1о при этом аргументы ( — х) и (1+х) изменяются соответственно в промежутках ( — У, 0) н (1, 21), и второе из уравнений (28) дает нам значення 9,(х) в промежутке (7, 21), а первое дает 8,(х) в про- ме>кутке ( — 1, О). Далее, прн нзмененил х в промежутке (1, 21) аргу- мент (1 — х) изменяется в промежутке ( — 1, 0), и правые части ра- венств (28) нам известны на основании предыдущего вычисления.
(29) где 9(х) и 9>>(х) заданы ирн Оч-.х~l (1>(0)=е>(0)=9(1)= =р>(г)=0), нужно удовлетворять еще предельным условиям >г!,,=О, и),,=0. (291 Решение Даламбера (12) п(х, М)=9>(х — а!)+97(х+а(), (12) конечно, годится в этом случае, но определение функций 9, и 97 по формулам (19) б26 Гл. нп. уРАвнения мАтеь!Атическон Физики 13Т) При этом аргументы ( — х) и (т+х) изменяются в промежутках ( — 2(, — 1) и (21, 31), так что формулы (28) да1от нам 6,(х) в промежутке (2г', 31) и 9,(х) в промежутке ( — 2/, — г). Продолжая так и дальше, мы убедимся в том, что формулы (28) дают нам определенные значения для функции 0,(х) при х(0 и 9,(х) при х)Е, что иам и надо для применения формулы (12) при С)0.
Совершенно так же, если менять х в промежутке ( — 1, 0), то левые части формул (28) известны, и мы получаем 0,(х) в промеакутке ( — г', 0) и О, (х) в промежутке (Е, 2г). Меняя затем х в промежутке ( — 2Е, — 1), получим Оя(х) в промежутке ( — 2(, — г) и О, (х) в промежутке (2У, 31) и т. д., т. е.
формулы (28) дают нам определенные значения 0,(х) и 9,(х) при всех вещественных х. Если мы заменим во втором из уравнений (28) х на (г'+х) и воспользуемся первым уравнением, то получим 6, (х + 2)) = — 9, ( — х) = 9, (х), т. е. оказывается, что функция 9,(х) имеет период 28 После этого первое из уравнений (28) покажет нам, что и функция 0,(х) имеет период 27.
Из этого вытекает, что для фактического знания 0,(х) и Оя(х) при всех вещественных х нам достаточно провести только первую из описанных выше операций продолжения этик функций, т. е. достаточно изменять х только в промежутке (О, У). Формулы (28) дадут нам 9,(х) в промежутке ( — Р, 0) и 9,(х) в промежутке (1, 2У), т. е. 6,(х) будет известно в промежутке ( — У,+г), а 9,(х)— в промежутке (О, 2г). Остальные аначения этик функций получаются из их периодичности.
Определив таким путем функции 0,(х) и 9.(х), нетрудно продолжить и функции Ф(х), Ф,(х), так кзк, в силу уравнений (26), мы имеем т (х) — Ог (х)+ Оя (х), — ~ |рг(а) г(з = Оа (х) — Ог (х), 1 'а т. е у, (х) = а [9,' (х) — О, (х)]. Заменяя в первом из уравнений (28) х на ( — х), а также дифферен. цируя, получим 0,(х)= — О, ( — х), 9;( х)= 9„' (х), 0', (х) = 0; ( Пользуясь этими соотношениями и первыми из уравнений (28), могкем написать р( — х) = 61( — х) + Оа( — х)= — 0,(х) — 6,(х) = — ср(х), Ф,( — х)= а [6;( — х) — 0; ( — х)[ = а [О;(х) — 9,' (х)) = — О,(х), 527 а !г. волновов увлвнвннв 1791 т. е.
для ~у(х) и ~О,(х) получаем чрезвычайно простой закон продолжения: они продолжаются нз промежутка (О, 7) в промежуток ( — 7, О) по закону нечетности, а затеи с периодом 2Л Если при этом мы получим на всей оси х функции у(х) и в,(х) такие, что О~(х) имеет непрерывные производные у'(х) и ~О" (х), а у, (х) — непрерывную производную в',(х), то, согласно формуле (17), мы будем иметь дважды непрерывно дифференцируемое решение нашей задачи. Обращаемся вновь к плоскости хб Ввиду ограниченности струны, надо рассматривать только полосу верхней полуплоскости 1) О, заключающуюся между прямыми х = О, х=l (рис.
124). Выясним физический смысл решения (12), в котором функции О,(х) и Оа(х) определены уже при всех значениях х, как указано выше. Проведя через точки 0 и 7. характеристики до встречи с противоположными границами полосы, через полученные точки пересечения опять проводим характеристики до встречи с противополож- ~~ у уг ными границзми полосы и т. д. й й Мы разобьем таким обрззом полосу на области (!), (П), (!П),...
Точки области (!) ау Я жг соответствуют тем точкам струны, до ко- /~ г торых успели дойти возмущения лишь от г г внутренних точек, а потому фиктивно добзвленные бесконечные части струны здесь Рис. 124. нз движение не влияют. В точках вне области (П) мы имеем уже возмущение, дошедшее от фиктивной части струны; возьмем, например, точку Ма (х„1,) в области (П). Так как «(хи !а)=О,(х, — а!а)+О,(х,-+п(а), то в этой точке имеются две волны: одна — прямая, дошедшая от начально возмущенной точки М, струны с абсциссой х=ха — а1а, другав — обРатнаЯ из точки М, с абсциссой х =ха + ага, пРичем, в данном случаеМ, есть реальная точка из промежутка (О, 7), М, — фиктивная.
Нетрудно заменить ее реальной точкой, заметив, что, в силу (28), Оя (х, + а(а) = Оя (У+ ха + ага — У) = — Ог (27 — ха — а(а), и таким образом обратная волна О,(х,+а!,) есть не что иное, как прямая волна — О,(27 — ха — ага) от начально возмущенной точки М;(27 — ха — аС,) (симметричной с Мя относительно точки Е), когорая, дойдя до конца струны х. в момент г — (21 — хо — а!о) ха + ага — 1 529 ГЛ.
Чн. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ г179 то вместо второго из уравнений (27) мы получили бы 8; (( — аг) + б; ((+ аг) = О, пли, заменяя опять аг' на х, Е;Р+х)= В;(( х). .Интегрируя это соотношение, имеем очевидно Е,(У+ )=б,(2 — )+С, где С вЂ” некоторая постоянная, которую, не ограничивая общности, можно считать равной нулю, в чем предоставляем убедиться читателю. Таким обра- ЗОМ Л1Ы ИЛ1ЕЕМ 69 (у+ х) = 01 (Š— х).
(29) Физический смысл этого условия сводится также к отразкенлю от конца х=г', но с сохраненлелг и знака и величины смещения. ь „у.,~~~, 'ь. ь. Ф' Ф Аг Рпс. !25 Особенно простой првмер применения изложенного выше способа характеристик и отражений дает нам „защепленнал струна", которая в начальный момент была оттящ та зь одну из ее точен без начальной скорости. Читатель без труда докажет япл1еслелующий способ определения фвуры струны в л1обой мо- мс1И Г по се начальной фш уре.
изменила свое направление и знак на обратные и к моменту гь дошла в таком виде до точки Мь; дРУгими словами, дейсгнвгге закрепленного конца х=й свелось к онграакенню волны смещения, гтпзанному с переменой знака смещенгся и с сохранением его абсолюнгной величины. То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших до конца х=О; в точках области (Ш) мы будем иметь две волны: обратную н прямую, отраженную от конца х=О. В точках областей (1гг), (Ч), (у!), ... получим волны, которые претерпели несколько таких отражений от обоих коннов струны. Если бы вместо предельно~о условия (25) мы, например, в конце х.=- 1 имели бы условие ог29 % !с.
ВОлнОВОе уРАВнение На рис. 125 линией ОАА изображена начальная форма струны, пупктпр- ной — симметричное сс изображение относительно середины струны х = ;,-. Опустим на Ой перпендикуляр АР до встречи его с прямой А'Г. в точке В', находим середин! С отрсзка АВ' и определяем таким образом направлснйс ГС. Фигура стрьны в а!обои момент получится, если ы буд ! Переда!, сскущую, пара..с. ую капрал- д пению ьС, от то скп А к точке А", в частности в моьияы ь, С-Л с — струна займет по!ох!снос пунктирной ломки иой ОА'Г..
(', На рнс. 126 изображены послсдоватсльныс формы, прнниьсасмыс стр1'иой в ми!!сити: б Б 1 1 3 4 ' 2 ' 4 4 (33) и= Т(С)Х(х). Подставив это в (30), имеем Х(х) Т" (С) = а' Т(Г) Х" (х) Т" (с) Х (х) или и" Т (С) Х (х) В левой части полученного уравнения стоит функвш, занисяпсля только от С, н правой лсе — только от х, и равенство возможно т шь 180. Способ Фурье.
Поперечные колебания струны, закрепленной в конках, могут быть трак- б товзны и с помощью рядов фурье, и хотя в этом чзстном случае этот способ и ие так прост, как ! Т предыдущий, мы его изложим, так как он применяется во многих других задачах, к которым способ характеристик не применяется. Напишем еще - "ч',т раз уравнения нашей задачи в другом порядке: Ь д'и д'и г- т Д' т=" д ° ° (30) и~„~=О, сс~ =О, (3!) =Р(х) д ! = !ус(х). (32) -т Вместо того, чтобы искзть общее решение уравнения (30), будем искать частное его решение в виде произведения двух функций, из которых одна завпссни только олс С, а другая только от хс в том случае, если и левая и правая части не зависят ни от г, ни от х, т. е. представляют собой одну и ту же постоянную.
Обозначим эту постоянную через ( — ла): 1 ОО Х (л) г а'1(Г) Х(л) откуда получаем два урзвнення Х" (х) +йа Х(х) = О, ?" (1)+ а'?га ТЯ = О. Общие интегралы этих уравнений при л ~ О будут [28) Х(х)=Ссоз ах+0 з|п |гх, Т(Г)=А сов аИ+В з|п аИ, (35) где А, В, С, Р— произвольные постоянные.
Согласно (33) для сг получим и =(А соз аИ+ В з|п аИ)(С соз йх+ 0 з|п ?гх). (36) Будем теперь подбирать постоянные так, чтобы удовлетворялись предельные условия (31), т. е. чтобы в выражении (36) множитель, содержащий х, сбращался в нуль прн х=О и х=?. Это дает С 1+0 О=О, СсозИ+Р з!п И=О. Йз первого уравнения следует С=О, и второе дает Р з|п И=О. Если считать 0=0, то, в силу С=0=О, решение (36) будет тождественный нуль. Такое решение не представляет для нас интереса. Поэтому мы должны считать Рфб, но сйп И=О.
Мы получаем таким сбразом уравнение для определения параметра ?г, который до снх пор оставался совершенно произвольным'): з|п И=О, (3 7) Если мы подставим в (36) ?г= — или ?г= — —, то равнина на Лк ! ! ' будет лишь в знаке у синусов, и ввиду наличия произвольных постоянных мнолгителей эти два решения будут по существу одинаковыми. Таким образом из значений (37) для и достаточно взять лишь положительные. Полагая в формуле (36) С=О н обозначая произвольные постоянные АР и ВР через А и В, получим п=(А сов аИ+ВзшаИ) з|п ?гх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
