Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Формула Пуассона. По аналогии с бесконечной струной займемся теперь решением общего волнового уравнения д'и 2 ! Оли длп для 1 ды 1 д.тл дул дя! г (67) в безгрзипчном пространстве при заданных начальных условиях. Прелварительно выведем одно вспомогательное предложение. Для удобства записи дальнейших формул обозначич координаты (х,у,г) через (х!,хя,ха).
Пусть и (х„х,,ха) — любая функпия, непрерывная со своими производными до второго порядка в некоторой области 0 или во всем пространстве. Все дальнейшие рассуждшпш будуг относиться к втой области, Рассмотрим значения функпии и пз поверхности С, (хл,х„х!) сферы с дентром в точке (хихя,ха) и радиусом г. Координаты точек этой сферы могут быть Выраясены по фсрмулам 'сл=х!+а!г, ':.=х,+ а г, ',,=х,+а г, где (апа„аа) — направляющие косинусы радиусов упомянутой сферы. Мы их можем записать в внле а,= 21п 0 соя и, ая= 21п 621п и, аз= сов О, прячем угол О меняется от О до к и угол и — от О ло 2к. Обозначим через Ы!а элемент площади сферы единичного рздпусз и через !Г,а алел:ент площади сферы радиуса г: 2(,а= зш Оа!Ог)и, г(,а=газ',а=г! Вйп Оь!Ольл. пли 1 и (л !, хт, ха, г) = — „! ~ ~ и (х! + а,г; ха+ алг; ха + алг) да. 'с Докажем, что при любом выборе функции и функппя и удовлетворяет одному н тому же уравнению с чзшными производными, а шшнно д'и 2 — — Ьи+ — и =О дг! / Э (69) Рассмотрвм среднее арифметическое зна:ений функции и по псверхпости сферы С,(х„х,,х!), т.
е. интеграл от функпии и (хпхмх,) по поверхности упомянутой сферы, деленный на плошадь этой поверхности. Величина етого интеграла зависит, очевидно, от выбора нентра (хпх,,ха) и радиуса г сферы, т. е. упомянутое среднее арифметическое будет фупкнией четырех переменных (хи х,,ха,г). Мы можем записать это среднее арифметическое двоякии образом: аа к 1 и(хохл,х,,г)= — ~ ~ м(хл+а,г; хя+алг; х,+а„г) !7ла (68) о 542 ГЛ. УП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ где, как всегда, [2а2 д'Р даа д'э й= — + — +— дх,' дх„'дх," В формуле (68) интегрирование совершается по поверхности единич- ной сферы, и мы можем дифференцировать по х! под знаком интег- рала. Таким образом мы имеем 2к а Ьп= — ~ ~ дм(х2+а!г) вге 1 о о 2с и 3 б оь-! *с, а-! и, применяя формулу Остроградского, мы получим (70) где П, есть сфеРа с центРом (хв хи х,) и РадиУсом г.
Последнее выражение есть произведение двух функций от г: дроби 1:4пг' и интеграла. Производная по г от тройного интеграла по сфере Рг равна интегралу от той все подынтегральной функции по поверхности С„этой сферы. Чтобы убедиться в этом, достаточно, напримеР, выразить интеграл по 17, через сферические координаты, Таким образом дифференцируя еще раз по г, получим: г с, Подставляя все указанные выше выражения для производных в уравнение (69), мы убедимся непосредственно в том, что это урзвнение действительно удовлетворено. Если г -ь О, то из фор мулы (68) непосредственно вытекает, что п(хн хэ х,) стремится к м(хэ х„х,).
а из (70) вытекает, что — стремится к нулю, та до к дг как тройной интеграл формулы (70), согласно теореме о среднем имеет порядок г', а в знаменателе стоит га. мы приходим таким образом к следующей теореме: Последний интеграл мы можем преобразовать в интеграл по поверх- ности сферы С,(хп хм Аа): 643 а 17. ВОлнОВОе уРАВнение а41 Теорема. При люболс выборе функции а, допускающей непрерывные производные до второго порядка, функция о, олределнелтя равенством (68), удовлетворяет уравнению (69) и начальныж даннылс до ! о! =а(хь хь хз) д 1е 0 г к=з (71) Покажем, пользуясь этой теоремой, что функция и (хь хь ха ь) — (о(хо ха хз а() (72) удовлетворяет волновому уравнению (73) и начальным условиям и! =О, и о Действительно, мы имеем да ! дь и=з — ! = а (х„х„ха). (74) ди о (х1 хь ха а") + аа до(х„хь хь аг) дьи до(х„х., х„аг),, д'о(х„хо х„аМ) Ьп=1йо(х„х„хь а1), где, например, " " " есть значениепроизводной до (х„хь х„аь) дг дг при г=аМ. Подставляя предыдущие выражения в уравнение (73), мы получаем для о уравнение (69) при г=а1, которое, как дока- зано выше, действительно имеет место.
Начальные условия (74) непосредственно получаются из (71). Поскольку уравнение (73) есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, мы ди можем утверждать, что функция и,= — также удовлетворяет этому дс уравнению. Определим ее начальные данные при 1=0.
Принимая во внимание начальные условия (74), мы получим непосредственно ди для функции и,= —, дС ' и,! =а(хь х„х,). и-о да, д'и Для производной — '= —, мы имеем, в силу (73), 644 ГЛ. ЧСС. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [Зал или, дифференцируя первое из начальных условий (74) по координатам, мы получим отсюда Тзким образом производная по Т от построенного выше решения волнового уравнения (73), удовлетворяющего начальным условиям (74), является решением того же уравнения и удовлетворяет начальным условиям ди, ~ ис! = ш(х„хл хл) — '~ =О. !со ' ' ' дс !ссо (74 с) Возвращаясь к прежним обозначениям координат и взяв в первом случае начальных условий (74) за ш(х, у, г) некоторую функцию срс(х, у, г), и во втором случае начальных условий (74,) взяв аа ш(х, у, г) какую-либо другую функцию р(х, у, г) и сложив таким образом построенные решения, будем иметь решение уравнения (67), удовлетворяющее начальным условиям сс~ =ср(х, у, г), — ~ =ср,(х, у, г).
(76) Обозначая для краткости письма через Т,!ш(М) ! — среднее арифметическое от функции ш по сфере с центром М(х. у, г) и радиусом г, мы можем написать, согласно сказанному выше, упомянутое решение уравнения (67), удовлетворяющее начальным условиям (75), в виде и(М С)=~.ссГрс(М))+ — (ГТяс(р(М))!. (76) Эта форлсула называется обычно формулой Пуассона. Ее можно, очевидно, записать в виде Я»» 2% % с..»*.а=у„-! !»с л,1с», -ли!'4 —,'$~ьл.1с», !. 76,с Г Г ирг Г 'о где с(са = з(п 9 с(0 с(р и (а, Р, 7) — координаты переменной точки вышеупомянутой сферы: а = х+ аГ з(п 0 соз ср, р =у+ ар з!и 0 з!и ср, 7 = г+ ас соз 9.
(77) Предыдущие рассужцения показывают, что функция и, определенная формулой (76), действительно удовлетворяет уравнению (67) н условиям (75), если срс(х, у, г) имеет непрерывные производные до второго порядка и ср(х, у, «) до третьего порядка. Последнее обстоятельство связано с теи, что в формуле (76) второе слагаемое содержит дифференцирование по й Однако, если ср(х, у, г) и срс(х, у, г) обладают более плохими дифференциальными свойствами, как зто бывает, например, в зада- 545 185! я и.
волновое явлвненне 185. Пилиндрические волны. Отнесем прострзнство к прямолинейныи прямоугольным осям и предположим, что функции у(х, у, г) и у, (х, у, г) зависят только от х и у, т. е. сохраняют постоянное значение на всякой прямой, параллельной оси 02.
Если передвигать точку М (х, у, г) параллельно оси 02, то, очевидно, правая часть формулы (76,) не будет менять своего значения, т. е. функция и (х, у, г, с) также не будет зависеть от г, и формула (76,) даст нам решение уравнения при начальных условиях да 1 а~ = а(х, у), — ~ = р,(х, у). и-ь ' ' дс!г ь (78) чах с сосредоточенными начзльнымн возмущениями, то и тогла естественно считать, что формула (76,) дает решение задачи. Только в этом случае решение будет не классическим, а обобщенным (см. том (и). В дальнейшем мы увидим, что поставленная задача может иметь только одно решение.
Положим, что начальное возмущение сосредоточено в некотором ограниченном объеме (в) с поверхностью (а), т. е. что у(М) и 7,(М) д равны нулю вне (о), и пусть точка М находится вне (и). При с( —, а где с( — кратчайшее расстояние от М до (а), сфера (8ы) находится вне (и), обе вышеупомянутые функции равны нулю на (осн), и формула (76) дает и(М, г)=0, т. е. покой в точке М. В момент и ь = — поверхность (Ят) коснется (а), и передний фронт волны прой- 0 дет через М.
Наконец, при с ) —, где с) — наибольшее рзсстояние от М до точек поверхности (а), сфера (5„) будет опять находиться вне (и) (весь объем (в) будет внутри (о,с)], и формула (76) опять В дает п(М, г)=0. Моменту г= — соответствует прохождение зада него фронта волны через точку М, после чего з этой точке и(М, 1) обращается в нуль, а не в постоянную, как это было для струны (т. е. для плоской волны). Передний фронт волны в заданный момент г представляет собою поверхность, отделяющую точки, которые еще не нзчзли колебаться, от точек, которые уже колеблются. Из предыдущего вытекзет, что все точки этой поверхности имеют кратчайшее расстояние от (а), равное ас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
