Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 105
Текст из файла (страница 105)
зрлвнннип млтимлхичпскои милики Интегрируя по частям, мы имеем Пту (!!ю ) у (й!я!г) — — уя(й,"'г) г !тг = гуа (й~"'г)— !тз» (д,я'г) !т (гЗя (й',я'г)( т(уя (й!а'г) !(г у (й!Я1.) у (й(Я) .), лу ((ы!г и точно так же и'у (й'юг) пу (йонг) l.(йг")г .= '„' У.(йЕг)— !уа (й',"'г) с(уя (й',"'г) (' !уул Ф'."Г) Отсюда выводим без труда! (дыр — й!"") l Фя'г) р (д'я'г) г Ф— !! (й!я)г) ц! ((нн ) г ! ] г о По самому определению чисел й!Я1, й!Я' мы имеем у„(й~."1!) = у„(й(,">!) = О, откуда следует, что правая часть написанного равенсхва обращается в нуль при г = !. Ввиду присутствия множителя г и конечности Уя(х) и Уя (х) при х = О можно утверждать, что правая часть обращается в нуль и на нижнем пределе г =О, но так как при ефт и йю! ~й~!1, ото!ода вытекает Уя(й~!1Г)Уя(й!Я1Г) Г т(Г = О, о что н требовалось доказать, После того как доказана формула (1Зб), определение коэффициентов Ам в разложении (135) не представлвет труда: умножив обе части равенства (135) на уя ф"'г), интегрируя по г ох О до ! и пользуясь формулой (136) мы находим сразу ! 1 (г) У„(й~" 1г) г я!г = Ар ~ У„(Д~"'г) г !тг а и Итак, мы можем сказать, что если разложение (135) возможно и его можно почленно интегрировать, хо козффициенты Ам опредеаяюхся по ~)~с ° с Ч~ $17.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ формулам ! у(Г) ул (йлщ Г) Г дГ Ат = ~1 (йсмл! г) г дг ! чо УаМ„г) гдг а Сс ! б В$ '"" ")'" '~4(~'ш ).~ -* с Х ~ $"' ""'~'ало ~. ~ Ул (Дт Г) С'дг — а с "~ъс,нч.~.,6 ьее ч„, в ~4 (ДСмю г) г дг — » Пользуясь теми же соображениями, мы определим и коэффициенты в'", З"' — нужно только заменить в предыдущих формулах ч, на е, и разделить соответствующие выражения на и Как и в случае прямоугольной мембраны, общее движение круглой мембраны складывается нз бесчисленного множества собственных гармонических колебаний, причем одной и той же частоте может соответствовать и бесчисленное множество различных случаев расположения узловых линий.
На рис. !30 изображены некоторые случаи расположения узловых линий с указанием соответствующей частоты, причем эа единицу принята частота основного тона; здесь же указаны и радиусы узловых линий, имеющих вид окружностей, и эти радиусы выражены в долях радиусз мембраны. При применении метода Фурье в случае любого контура можно выделить лишь множитель, зависвщий от С, согласно формуае (106), что приводит к уравнению 3 3 ч с $ с,ддд г,удд 74м 4ддб — ас-- /сч О 1 т 4 луl Рис. !ЗО. — + — +Д и=о, ((Зу) д"(7 дЧ/ дх' ду" ' и надо определить те значения параметра й, при которых написанное уравнение имеет решения, отличные от нуля, удовлетворяющие предельному Формулы.(!ЗЗ) и (!34) дают нам теперь следующие выражения для коэффициентов всс) и р~п 566 ГЛ.
ОП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 11Ы условию(102), а также сами этн решения. В предылущих примерах зто нам удавалось сделать при помощи дальнейшего рззделення переменных. В общеы случае этот метод неприменим, и надо рассматривать непосредственно уравнение (137). Задача, естественно, не решаетсв в явной форме. Теоретическое решение указанной задачи и некоторые качественные результаты, к ней относящиеся, будут даны в томе !Ч. Предельная задача для волнового уравнения в трехмерном пространстве в случае прямоугольного параллелепнйеда решается совершенно так же, как и в (190), но только мы приходим к рялам Фурье по трем переменным х, у и г.
Случай сферы опять приводит к функциял1 Бесселя. Мы булем говорить об этом в томе Щ в связи с более полробным изложением теории функций Бесселя. Подробное исследование схолимостн рядов Фурье, получаемых прн решении предельных задач для волнового уравнения в случае многих пространственных переменных будет дано в томе 1Ч. 192. Теорема единственности. Докажем теперь единственность решения волнового уравнения как в случае безграничного пространства, при заданных начальных условиях,так и при наличии еще предельных условий. Для простоты письма будем считать скорость а = 1, чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравнении 1 на а 11. Для определенности возьмем случай трех независимых переменных, т.
е. волновое уравнение дат дх'+ ду' ' (138) и начнем с рассмотрения задачи с одними начальными условиями, заданными на всей плоскости: д«1 Ут(х У) (139) «)т-о=р(х, у), и« о=0, (140) Надо показать, что при этом «должно тождественно равняться нулю при любых значениях (х, у) и при любом 1)0. Рассмотрим трехмерное пространство (х, у, 1) и возьмем в нем некоторую точку 7Ч(хо, у„ 1,) такую, что 1о) О. Из этой точки, как вершины, проведем коническую поверхность (х хо) +(у уо) (1 (о) =0 (141) до ее пересечения с плоскостью 1=0. Проведем еще плоскость 1=1« где 0(11(1о, и пусть лу — трехмерная область, ограничен- Мы уже имели раньше решение этой задачи 11881.
Из самого метода этого решения можно было бы получить и единственность. Мы дадим сейчас другое доказательство единственности, которое будет применимо и для задачи с предельным условием. Если уравнение (138) с начальными условиями (139) имеет два решению и, и и„ то разность и, — и, должна удовлетворять уравнению (138) и однородным начальным условиям 361 % 1т. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕННВ сю! ная боковой поверхностью Г упомянутого конуса н частями плоскостеи 1=0 и 1=1„ находящимися внутри конуса (Π†усеченн конус). Нетрудно проверить следующее элементарное тождество: дс (дР дх' ду') дс ((дх)+(ду)+(дс )1 Проинтегрируем его обе части по упомянутой области О. Интеграл от левой части должен обращаться в нуль, поскольку и является решением уравнения (138). Интеграл правой части мы можем преобразовать в интеграл по поверхности области О, пользуясь формулой Остроградского: ~ ~ $( — ) +( — ) +( — ) ~соа(п,1)— — 2 — — соз (и, х) — 2 — — соя (п, у)) ~й.
(143) ди ди ди ди дс дх дс ду На нижнем основании усеченного конуса О функция сс и все ее частные производные первого порядка, в силу (140), равны нулю, и интеграл (143) по нижнему основанию равен нулю. На верхнемосновании (и), лежащем в плоскости 1=11, мы имеем соз(п, х)=сов(п, у)=0 и соз(п, 1)=1. На боковой поверхности Г конуса направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению соа (сс, с) — соз (и, х) — с05 (и, у)=0 и интеграл (143) по Г может быть переписан в виде ди 11 у= ~ 1 ~~ — соа(п,с) — — соа(п, х) 1+ ,) сов(и, с! 1( дх ' дс г с ди ди + — соз (и, с) — — соа (и, у) сса, и мы получим окончательно +) ) ~~д'„) +(ди) +(-~~-Яда=0. (ы! На поверхности Г имеем соа(п, 1))0, и, следовательно, у~б„а потому 568 гл.
нп. РРАвнения мАтемАтическои Физики 1392 откуда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной АГ(х„ у,, 1,) частные производные первого порядка функции а равны нулю, и, следовательно, сама функция и †постоян. На основании конуса она равна нулю в силу (140), а следовательно, н равно нулю н в точке Ф. Приведенное доказательство теоремы единственности без труда может быть распространено и на случай предельной задачи для уравнения (138). Положим, ищется решение уравнения (138) в некоторой области В плоскости (х, у) при заданных начальных и предельных условиях, причем предельные условия относятся к контуру 1 области В.
Построим цилиндр с основанием В и с образующими, параллельными оси Е Каждой точке этого цилиндра соответствует определенная точка в области В и определенный момент времени Е Положим, что в области В мы имеем нулевые начальные данные (140) и пусть на контуре 1 области В мы имеем однородное предельное условие и (, = О. (144) Докажем, что функция и равна нулю во всех точках упомянутого выше цилиндра. Возьмем такую точку М и проведем через нее конус (141). Пусть Р— тело, ограниченное боковой поверхностью этого конуса, упомянутого выше цилиндра и плоскостями 1=0 и 1=(Р Проинтегрируем опять обе части тождества (142) по этой области.
Все рассуждения останутся прежними, но только в правую часть войдет интеграл по боковой поверхности цилиндра. Если этот интеграл окажется равным нулю, то прежнее доказательство теоремы единственности сохранится полностью..В .интеграле по боковой поверхности цилиндра подынтегральная функция совпадзет с подынтегральной функцией интеграла (143). Но на боковой поверхности цилиндра мы имеем соа(л, 1)= О, и, кроме того, на этой поверхди ности — = О. Последнее равенство непосредственно вытекзет из дг того факта, что точки боковой поверхности цилиндра представляют собою точки контура г' в различные моменты времени 1, а на контуре 1 мы имеем при всяком 1 однородное прсдельное условие (144). Таким образом подынтегральная функция интеграла (143) обращается в нуль на всей боковой поверхности цилиндра, и приведенное выше доказательство теоремы единственности сохрзняется полностью и для формулированной только что предельной задачи.
При доказательстве теоремы единственности нам приходилось интегрировать правую часть выражения (142) по области Р и применять формулу Остроградского. Эти операции являются вполне законными, если мы предположим, например, что функция и имеет непрерывные производные до второго поряцка в Р вплоть до грзницы. Выше мы упоминали, что при исследовании практически интересных задач сталкиваются с необходимостью вводить в рассмотрение б69 а гх волновое ввдвненнв ттв) 193. Применение интеграла Фурье. Рассмотрим волновое уравнение в линейном случае д'и „ д'и дтс дхс (145) для полубескопечной области х)0 с начальными условиями «[ а=у(х) — =т (х) (х-О) ди[ да[с=о и предельным условиеяс (146) «[, з=о.
Нетрудно решить вту задачу методом, указанным в [179[. Действительно, достаточно продолжить функции 7 (х) и 7( (х), заданные в промемс утке (О,+сю), на промежуток ( — со, 0) по закону йечетностн и затем применить формулу (17) для бесконечной струны. Полагая в втой формуле х=О, мы получим (147) +ос 2~-..ж+у.а'( ( с -ас и оба сдагаемых обращаются в нуль в силу нечетности продолжения т(л) и ос(л), так что предельное условие наверно удовлетворено. Если применим к поставленной задаче метод Фурье, то вместо ряда Фурье получим интеграл Фурье. Как мы видели в [190[, применение метода фурье с учетом предельного условия приводит к решениям вида и=(А сов ада+ Вял айг) яп йх.
Второго предельного условия нет, а потому все значения параметра й являются допустимыми, т. е. мы приходим к сплошному спектру возможных частот Д полубесконечной струны. Вместо суммирования по дискретным значениям Д, которое мы применяли в [190[, мы в рассматриваемом случае должны применить интегрированна по параметру й, считал, конечно, А и В функциями й. Таким образом мы получим: +со и(х, т) = ~ [А(д)сов«да+ В(д) яп адг[яп ах ил, (148) функции А(й) и В(Д) должны определвться из начальных условий (146).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
