Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 109
Текст из файла (страница 109)
е. пренебречь утечкой, то справа будет нуль. 587 таз! а ж. тгпигиаонои иилиннннн Составим сначала решение урзанснпя 151) о = Р(х), зависящее тотшсо от л, которое бы удовлетворяло предельным условиям (61). Дзя Р(х) получаем уравнение Т" (л) — Ь' Ь'(.г) = О (Ьа = )7А). В примере пз (19о) мы нашли решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям (61), а нменяо з1т Ь(Š— л) а!т Ы (65) и начальные условия ш)г в — — — Р(х), — ! =О. дю дт И-о (68) Дая сокращения письма перепишем уравнение (5!) двя ю в виде дав, д»в дш — — а' — — 2И вЂ” — Ьав =О дха дга дг (69) где ат=ЕС, 2И=ЕА+РС, Ьа=РА.
(70) Давыде идет обычное применение метода Фурье. Ищем решение уравнения (69) в виде произведения функции только от х на функцию только от г: ю = ХТ. Подставляя в уравнение (69) и отделяя переменные, повучим Х" а'Т +2ИТ'+ Ь»Т в"»' Т где в' — пока произвольная постоянная. Имеем два линейных уравнения с постоянными иозффнцнснтамп а'Т + 2ИТ'+ ( Ьа + —,) Т= О. Принимая во внимание предеаьные условия (67), берем решение первого уравнения в»х Хв = а 1п — ' (в = 1, 2, ... ) 1 и считаем в цеаым поаожитеаьным чясаом. Уравнение дая Т имеет общее решение Т =А е"юг+А„,е" мг, где Ав и Ав — произвовьиые постоянные, а а,„и»» — корни уравнения аЧа»а+ 2ИР»+ (ЬЧа + ваяв) =О, (7 1) Введем теперь вместо о(х, Г) новую иском>ю ф>нкцию э(х, т) по формуле ю(х, г) =о(х, г) — Р(х).
(66) Дзя э(х, Г) мы имеем то жс уравнение (51), однородные предельные усвоена та!» а=О, ш!„,=О (67) 588 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ причем мы считаем, что постоянные )с, А, С н А у цепи таковы, что это уравнение при всяком целом и имеет различные корни. Таким образом получаем бесчисленное множество решений, удовлетворяющих предельным условиям ют — — (Ате" щ~+ А е" щ~) з1п (72) Берем сумму этих решений щ ти= 1) (Ате'т'+А,„е" щ~)з(ив (73) т=! и подбираем постоянные Ащ и Ащ так, чтобы удовлетворялись начальные условия (68). Это дает нам Х,- (Ат+ Ат) а(п — = — го(х), (О <» С 1) ч щя» (ащ Ащ + атАт) в)п — =О. т ! Определяя обычнь.м образом коэффициенты Фурье, получим два уравнения для Ащ и А,„: Ащ + А,и — — — — Р (х) мп — а!х, 2 !..
щях (74) атАт+ащАщ =О Вставляя под знак интетрала функцию (65), мы сможем выполнить квад Ратуру и получим 2 1' . щях 2щя — Р(х) з1п — !У» = 1 ба!а + щ'я' Е. Решая систему двух уравнений (74), будем иметь 2щя ащ 2!ля ащ щ бага+ щаяа > т бей ( ща а щ ат ащ Подставив это в формулу (73), получим СО а„т а Š— а ем щяк (75) т ! ат ат Корни уравнения (71) будут нли вещественные отрицательные, или мнимые сопряженные с отрицательной вещественной частью.
Во всяком случае решение (75) буде~ ззтухающим при возрастании г. Оно определяет переходный процесс от пустой цепи к установившемуся состоянию, определяелюму функцией (65). Формула (66) дает нам окончательное выражение на» нряжения! Оа щг щ о щ В гв ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ чаа —,, Ьм= —, У ЬЧ" — лч(И'+глчяч). Ь 1 Подставляя в (76), можем представить зту формулу в виде Б(! Ь « — х) а)! Ы (78) — Ее ' ~~ ..., !с)!Ь 1+ — з)!й т)а1п — (79) лч 1 Определим теперь ! по способу, указанному в (199).
Уравнение (2) дает нам д! з(! Ь« — х) дх з)! Ы ач 1 Ъч 2жа l ч 1, гаях + СЕе-' т ! Ь,„— — ) з1! Ь„г яп— д ! ЬЧ'+л!'а' ~ " Ьщ) т=! илн, замечая, что, в силу (78), ЬЧ'+ лра' ч длч ачв полтчим, интсгрирув по х и принимая во внимание, что а' = ЕС! АЕ с!чЬ« — х) Ь айЫ лч 1 + — е "' у — з)т Ь„,т соа — ' — + В(т). (80) 2Е, 'ст 1 шах Подставляя в уравнение (1), получаем уравнение для определения В(е)! ЕВ' (г) + ВВ (г) = О, откуда — — ! и в«)=в,е (81) где В, — произвольная постоянная, кагору!о надо определить из того условия, что 1 при Е = 0 равно нулю влоль всей цепи.
Подставляя выражение (81) в формулу (80) и полагая затем Е = 0 и 1 = О, получим АЕ с1т Ь « — х) 'С~ 1 глях лч ! Решая квадратное уравнение (71), получим для его корней выражения вида ащ —— — ч+д, ащ —— — '! — Ьщ, (77) где 590 ГЛ. Чп. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ [2а! Но, разлагая первое слагаемое, стоящее справа, в ряд Фурье, в нромеягутке О<к<1 по косинусам, мы получаем АЕ с1! Ь (à — х) АЕ Ь 212 Ьг 1Ь« = — + 2АЕ1 2яях Л ЬЧ +ш." соя — (О (А (г), т=! н условие (82) дает АЕ Е В = —— а — 1Ь! так что г л Е с В (г) = — — в г«1 Подставляя ато выраженно В(Г) в формулу (89), получаем окончательное выражение силы тока.
Подробное исследовании нрпяеденного метода решения можно найти в статье акал. А. Н. Крылова «О распространении тока по кабелюь (Журнал прикладной физики, том У1, вып. 2, стр. 66, 1929). (83) (84) 201. Обобщенное волновое уравнение. В [1981 мы рассмотрели обобщенное волновое уравнение в линейном случае, т.
е. с двумя независииыми переменными. Пользуясь тем же методом, можно рассмотреть обобщенное волновое уравнение с тремя и четырьмя независимыми переменными. 1(ля упрощения дальнейших формул мы будем считать, что в волновом уравнении скорость а=1. Чтобы из полученных ниже формул перейти к формулам с любым а, достаточно ззменить в них 1 на аг. Рассмотрим для безграничной плоскости уравнение д'а д'а д'а дт«дх' ду' — = — + — + с'и с начзльными условиями и! =О, д"1 =.('у). Поставим вместо этой задачи — новую, а именно задачу интегрирования волнового уравнения с начальными условиями тв ~ =О, — ) =ы(х, у)в". дгв г=о ' дг г-о Эта задача непосредственно решается формулой Пуассона: 2« св = — ~ ~ ы (х + 1 з1 п 6 соз ср, у+ 1 з1п 6 з1п р) е«!л+с «" 21 з! п С а!С гур.
8 8 В1ы можем переписать эту формулу в виде ти(х, у, г, 1)=е" п(х, у, 1), З 1З. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ тзп где и(х, у, Г)= 4я — м (х+ г з1п О соз Ф, у+ г з1п О з1п р) ем "' з з1п О Г(О зьр, (85) о О и, совершенно так же, как и в [198], доказывается, что зта функция удовлетворяет уравнению (83) и начальным условиям (84).
Преобразуем теперь формулу (85) к более простому виду. Введем вместо О новую переменную интегрировзния р по формуле: 1соз О=О, откуда (з1п О 4(О = — Ыр и згп О = 1/ 1 — Р— — — Р Интегрировзние по О в формуле (85) в новой переменной будет иметь вид +à — и (х+ 1/ Р— р' соз ~р, у + )У З' — р' з1п р) е" 1тр, или, разбивая промежуток интегрирования на два: ( — 1, 0) и (О, 1) и заменяя в первом промежутке р на ( — р), мы сможем записать последний интеграл в виде 1 2 г — ~ и (х+ 3/'Р— р' соз ~р, у+ )УР— р' з1п р) с(т ср 1(р, и таким образом формула (85) запишется в виде и(х, у, 1)= с т г1 — Ф (х+ )гР— р' соз р, у+ )гР— р' з1п Ф) ыр1 сп ср Г(Р. д Ь Интегрирование по Ф в втой формуле дает нам среднее арифметическое значений функций Ф(х, у) по окружности на плоскости ХОУ с центром (х, у) и радиусом у'т' — р'. Обозначая это среднее арифметическое через Т„;; — а ( м(х, у)), мы можем написать окончательно формулу (85) в виде Г п(х, у, 1)= ~ Ту,т — -,т (Ф(х, у))сиср1тр.
(86) О Заметим, что если с — чисто мнимое с=с11, то ей со= сов с1о. д:1 Дифференцируя построенное решение по Г, получим ре1пение и, = — ' дт 692 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям ди, [ и,=! = (х, у), — '! =О. 11-о ' ' дг 11-о Совершенно так же для интегрирования уравнения д'и д'и д'и д-'и — = — + — + — + с'и д1' дх' ду' да' (87) при начальных условиях 0 д ~ (х у ) да (88) надо использовать формулу (82,) из [186] при и=4, заменяя Ф на е(х„х„ха)е'"е Проделывая некоторые простые преобразования, л1ы получим решение уравнения (87) при начальных условиях (88) в виде: = — дг Р'Уо((гУт' — Р') Уг [ Ф(хю у~ е) ] а(Р 1 д Р тле ур[м(х, у, я) ] есть, как всегда, среднее от функции Ф(х, у, г) по сфере с центром (х, у, г) и радиусом р.
6 19, УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 20Х Гармонические функции. В настоящем параграфе мы рас. смотрим уравнение с частными производными вида дЧ7 дЧ/ дЧl — -[- — -] — =о дх' ду' да' где (7 есть функция от х, у и г. Уравнение (1), как мы уже упоминали, называется уравнением Лапласа. Левая часть уравнения (1) обозначается, как мы видели выше, символом ЬУ и называется олераиаоролг Лапласа над функцией (Г. В [90] мы видели, что уравнению (1) должен удовлетворять потенциал сил тяготения или сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся вне притягивающих масс нли вне зарядов, создающих поле. Уравнение вида (1) встречалось также в [126]. Этому уравнению должен удовлетворять потенциал скорости невихревого течения несжимаемой жидкости.
В [129] мы показали, что уравнению (1)должна удовлетворять температура в однородном теле, если теплообмен является стационарным, т. е. температура ц зависит только от места, но не от времени. Точно так же в [130] мы получили уравнение Лапласа при рассмотрении стационарного электромагнитного поля. $ М. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 593 Вели функция У не зависит от одной из координат, например, от в, то уравнение (1) приводится к виду У0 дг0 — +-д-~ =' (2) В этом случае У сохраняет одно и то же значение на всякой прямой, параллельной оси Е, или, иначе говоря, картина значений У в плоскостях, параллельных плоскости ХО); одна и та же, так что достаточно рассмотреть лишь плоскость ХО)'. Функция, непрерывная со своими производными до второго порядка в некотором объеме (трехмерной области) (Р) и удовлетворяющая там уравнению (1), называется гармонической в (Р) функдаей.
Такой термин применяется и з отношении уравнения (2) для области в плоскости ХО)'. В дальнейшем мы выясним некоторые свойства гармонических функций. Обычно в задачах математической физики функция У, кроме уравнения (1), должна подчиняться некоторому предельному условию. Начальные условия в данном случае, конечно, отсутствуют. Основной предельной задачей для уравнения (1) является следующая задача: определить функцию, гармоническую в области (Р), если заданы ее значения на поверхности (8) этой области.
Задача эта называется обычно задачей Дирихле. В формулировке задачи под значениями 0 на поверхности (8) подразумеваются те предельные значения, которые получает У при приближеняи изнутри области (Р) к точкам поверхности (8). Более точно можно формулировать задачу так: ишется функция У, гармоническая внутри (Р) и непрерывная в области (Р), включая ее границу (Я), причем заданы значения У на (Я. Эта заданная на (8) функция должна быть, конечно, непрерывной. Будем для простоты считать, что граница (Р) есть одна замкнутая поверхность (8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
