Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Отметим, что интегралы в формулах (12) н (13) не содержат производных второго порядка функции Ц и для применимости этих формул достаточно предположить, что гзрмоническая фушгцяя непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (8). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжзть поверхность (8), написать формулы (12) н (13) для сжатой области (Р'), в которой имеется непрерывность н производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (Р) до (Р). Сжатие можно произвести, напрямер, откладывая на внутренней нормали к (8) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 3.
Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (8) должна быть такой, что описанное преобразование прн всех достаточно малых 3 приводит к поверхности, которая не пересекает сэма себя н является кусочно-гладкой [203]. Этот вопрос будет подробно наложен в томе 1Ч. Применяя формулу (13) к частному случаю обл>сти, а именно к сфере с центром в Лбь н радпусом )х, счятая, конечно, что 600 ГЛ.
Уи, УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ тпч функция У гармоническая в этой сфере и непрерывна с проиавод. ными первого порядка вплоть до ее поверхности (~'„ ). В данном случае направление внешней нормали и совпадает в направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь дН д( — ) дп дг г' ' и формула (13) дает ( ь) 4ч ),) 1г да+ гь 1ап1 Но на поверхности сферы ~ величина г имеет постоянное значение )с, так что у(М,)= —,' ~~ ',~ бг+ —,', ~~ уйо; или, в силу (12), будем иметь окончательно ~~ Уйг (аф 4ч11ь Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическолгу значению этой функции на поверхности сферы, т.
е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на плоьцадь этой поверхности. Из этого своиства почти с очевидностью вытекает следуюшее четвертое своиство гармоническои функции: Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме пього случая, когда в'та функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этогр утверждения. Пусть У(М) достигзет наибольшего значения в некоторой внутренней точке М, тои облзсти О, где У(М)— гармоническая функция. Построим сферу 2,, с центром М, и радиусом р, принадлежащую,0, применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию у ее наибольшим значением у1 ьп на г сфере ~„"к Таким образом получим У(М,)=е; У1 *ю причем знак равенства имеет место только в том случзе, когда У на сфере ~', есть постоянная, равная У(М,).
Поскольку по предположению 67(М,) есть наибольшее значение У(М) в О, мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно, а ш. хилвнвнне лапласа 601 (15) (16) У(М) рзвнз постоянной внутри и нз поверхности всякой сферы с центром Ми принадлежашей О. Покажем, что отсюда следует, что У(М) есть постоянная и во всей области О. Пусть Ж вЂ” любзя точка, лежашая внутри О. Нам надо показать, что У(И)= У(Мг). Соединим М1 с ДГ линией 1 конечной длины, нзпример ломаной линией, лежашей внутри О, и пусть а' — крзтчзйшее рзсстояние 1 от границы 8 области О (Ы вЂ” положительное число). В силу доказанного выше У(М) равна постоянной У(М,) в шаре с центром М, и радиусом И.
Пусть Ма — последняя точка пересечения линии 1 с поверхностью упомянутого шзра, если считать от Ми Мы имеем У(Ма) = У(М,), и по доказанному выше У(М) равна постоянной У(М,) и в шаре с центром М, и радиусом А Пусть М, — последняя точка пересечения 1 с поверхностью этого шара. Как и выше, функция У(М) равна постоянной У(М1) и в шаре с центром М, и радиусом И и т.
д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что У(М)=У(М1), что и требовалось доказать. Можно показать также, что У(М) не может иметь внутри 0 ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гзрмонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в [202), может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции Ц(М) и У,(М), гармонические внутри Р н принимающие на поверхности 8 этой области одни и те же предельные значения г(М), то разность Ъ'(М)=У,(М) — У,(М) будет также удовлетворять внутри 0 уравнению Лапласа, т.
е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 8 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказзнного выше, непосредственно следует, что К(М) обращается в нуль тождественно во всей области О, ибо в противном случае онз должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно.
Таким образом два решения Ц (М) и Уа(М) задачи Дирихле должны совпадать во всей области О. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирнхле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обрашаться в нуль. Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости.
В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу У(М)= — 1 ~У вЂ” 12 — ) да ! Г! д1яг дУ'1 2в ) 1 дл дл ) О и теорема о среднем будет выражаться в виде У (Мь) = ~ У сЬ, 1 л, 602 ГЛ. ЕП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОП ФИЗИКИ 1204 где ).л — окружность с центром М, и радиусом й. Для впешнец аадачи Дприхле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывагь иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе 1Ч, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.
Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функцгя, удовлегзоряющая предельному условию дУ~ откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением дгГ задачи Неймана с теми же предельными значениями —, т. е. решедп' нпе задачи Неймана определяется с точностью до проиавольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функш1я у(М), входящая в предельное условие внутреннеп задачи Неймана, пе моакет быть произвольной, но должна удовлетворять условшо сп В ааключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда У(М) есть гармоническая функция в бесконечной облагглп, образованной частью пространства, находяшепся вне поверхности 8.
При этом надо только сделать предположение о порядке малости У(М) на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства )с! У(М)!«=А, гс'! !(А, где )с — расстояние от М до начала или какой-либо другой определенной точки пространства, А — численная постоянная и 1 в произвольное направление в пространстве. Для доказательства формулы (13) для безграничной области при указанных условиях достаточно применить формулу (13) для конечной области, ограниченной поверхностью 8 и сферой с центром, например, в точке М, и достзточио большим радиусом.
При стремлении этого радиуса к бесконечности интеграл по поверхности сферы будет стремиться к нулю в силу приведенных выше условий, и мы получим формулу (13) для любой точки МФ лежащей вне 8. Как мы увидим 'в томе 1Ч, условия (я) наверно выполняются, если У(М) стремится к нулю при беспредельном удалении точки М. СОЗ % 19.
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА таз/ 205. Реп/ение задачи Дирнхле для круга. В предыдущем параграфе мы в1щели, что задача Дприхле может иметь только одно решение, но мы еще не знаем, имеет ли она вообще решение. Не рассматривая этого вопроса в общем случае, мы ограничимся лишь частными случаями.
Прп этом ыы применим к решешно задачи различные методы. Начнем с плоского случая, Пусть требуется найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на окрузсностн этого круга наперед заданные значения. Пусть /с — радиус этого круга, и примем центр круга за начало координат. При этом заданные предельные значения на окружности круга будут представлять собою некоторую известну1о непрерывную функцию полярного угла на окружноспи /(0). Берем внутри круга переменную точку Л1 с полярными координатами (г, О). Искомая функция дол1кна удовлетворять уравнению Лапласа 1131)1 ;(;)+-д —,. = д д(/ 1 дЧ/ нлп г' —,+г — + — У=О. дЧ/ д// дЧ/ (17) дг' дг Применим в данном случае метод Фурье и будем искать решение уравнения (17) в виде произведения функции только от 0 на функцию только от г: и= Х (0) (г). (18) Подставляем это выражение в уравнение (17): гаш" (г) у (О) + гш' (г) у (О) + т" (О) ш (г) = О или Х" (В) г'ю" (г) + гш' (г) (18 ) Х(В) ш(г) ( 1) Левая часть написанного уравнения содержит одну независимую переменную О, а правая — независимую переменную г и, следовательно, обе части должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через ( — /г').
Таким образом получаем два уравнения ()+ 'Х(0)=О н гтш"(,)+,ш( Первое из них при /а ф О дает у (О) = А соз 00+ В з/п /10. Второе — есть уравнение Эйлера [42). Ищем его решение в виде ш(г)= г: г' ° т (т — 1) г '+ гтг ' — /гтг = О, откуда, сокращая на г, получаем та — //а=О, т. е. гл= — -1-/г, и общий интеграл уравнения будет ш(г)=Сга+ (уг ", 604 Гл. ни. КРАвнения мАтемАтическоп Физики 1аоа если только постоянная 8 отлична от нуля. Подставив в формулу (18), получим для (Г выражение и=(А соз 88-~-Ва)пГо8)(сга+ Ог ").
При 8 = 0 будем иметь уравнения (19) у" (8)=0 и гм" (г)+м'(г)=0, и, как нетрудно показать, получим и=(А+В8)(С+ В 18 г). (19,) и„(г, 8) =(А„соз л8-~-В„Е1пл8)(С„г"-(- П„г-™) (в=1, 2, ...), (Го (г, 8) = Ао (Со+ Во 18 г) причем постоянные могут быть различными при различных значениях целого числа п, почему мы и снабдили их значками. Обращаясь теперь ко второму множителю, аависящему от г, заметим, что искомое решение должно быть конечным и непрерывным в центре круга, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
