Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 113
Текст из файла (страница 113)
1(злее оказывается, что при г-«! сумма ряда (36) стремится к г(В), т. е. к той функции, от которой произошел ряд Фурье (34), который может быть и расходящимся рядом. Применим эту же идею к любому ряду 610 Гл. Ун. уРАВнения. мАтемАтической Физики мат щегося ряда (36) в смысле Абеля, и ~оворят, что ряд (36) сумлгпруем ло Абелю. Из сказанного выше непосредственно вытекает, что для сходящегося ряда эта обобщенная сумма существует н совпадает с обычной суммой ряда.
Полученные выше результаты об интеграле Пуассона можноформулнровать так; ряд Фурье непрерывной лерподпческой функцпп У(0) ирп всяком О суммируем ло Абелю п плгеет обобщенную сумму, равную Г'(О). Отметим еще, что при исследовании интеграла Пуассона мы стремили точку (г,О) к предельной точке (1,80) не обязательно по радиусу, а любым образом. Положим, что в интеграле (26) г)1. Совершенно так же как и выше, мы убеждаемся в том, что интеграл (26) дает гармоническую функцию вне окружности г=1.
Для исследования его предельных знзченнй перепишем его в виде '-(+3' Ц(г, 0) = — — ~ у(() — » бй (26,) 1 — 2 — сов (à — О)+ ~ — ~ г г1 Написанный интеграл совпадает с интегралом (26), если в этом последнем заменить г на 1:г, причем, в силу г)!,мы имеем!:г(1. Таким образом, к интегралу, входящему в формулу (26,), применимы все предыдущие рассуждения с заменой г на 1:г, и функция (26,) прн стремлении точки (г,О) к точке (1, Оа) извне .окружности стремится к — г (Оа). Мы можем таким образом утверждать, что функция +п 1 Г г* — 1 2 1 нг 2»-5~- дает решение задачи Днрихле для части плоскости, находящейся вне окружности г= 1 с предельными аначенияии г (О). При беспредельном удалении точки (г,0) функция У(г,0), как это видно из последней формулы, имеет конечный предел я» 11ш У(г, О) = —, ~ г" (Г) с(Е ! »о Как мы.
упоминали выше, решение задачи Днрнхле п(М) для бесконечной части плоскости, находящейся вне замкнутого контура 4 единственно, если предположить, что искомая функция стремится к конечному пределу прн беспредельном удалении точки М (см. том 17). 207. Задача Дирнхле для сферы. Пусть )с — радиус сферы(Х) и г (М) — заданные предельные значения гармонической функция на поверхности сферы, причем М' — перемешия точка этой поверх- 611 %!а. уРАВнение лАплАсА яат! ом, омг=В (39) Точка МР лежагцая вне сферы (2,'), называется иногда симметрич- ной с М, относительно (2;). Обозначим через г, расстояние пере- менной точки М до МР Если М находится на поверхности (2;) в не- которой точке М', то величины г и г, Я связаны простой зависимостью, которую мы сейчас и выведем.
Заметим, что треугольники ОМ,М и ОМ,М подобны, так как они иооеют общий угол при вершине 0 и стороны, образуюшие эти углы, пропорциональны в силу (39). Из подобия вытекает !Мо М'! !Омо! г !О.~а! откуда ! Р ! г, Л' г' (40) Рис. !34. где р = !Ома! есть длина радиуса-вектора из центра сферы в точку Мь 1 Функция — внутри сферы з бесконечность не обрашается, ибо М, г, лежит вне сферы, и есть, следовательно, функция, гармоническая внутри сферы !131). Формула (40) дает предельные значения этой функции на поверхности сферы.
Пусть (г'(М) — искомое решение за- дачи Дирихле. Формула (!3) дает д— аяоа-~! ! ( —,' аоа — и,„' )оо. ~а! (4!) С другой стороны, применяя формулу (6) к гармоническим функ! циам О и !г= —, получим г,' (42) ности. Мы предполагаем, что г (М') — непрерывная на поверхности сферы функция. Рассмотрим какую-либо, но определенную точку М, внутри (2;) и обозначим через г расстояние переменной точки пространства М до Ме Наряду с точкой М, рассмотрим точку М„ лежашую на продолжении радиуса сферы Ом, и таку!о, что (рис !34) 612 ГЛ.
УП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 13п Умножая обе части (42) на постоянное число — и вычитав й 4кр д0 из (41), мы, в силу (40), исключим —; дл ' д( — ) д( — )1 ~Е) Но значения У на (~) представляют собою заданную функцию у'(М) и мы можем написать "[) (-,)1 ~~ла= — „) ~г(ю[; ~ — 1„' ]~я, (4ч д [ †) д (†) Точно так же д[ — ) — = — — соя(г,, л), дл г," где г и г, под знаком косинуса обозначают направления М М и М,М. Это дает й 'Й [.) — — =-, соз(г, л) — — '. соз(г„л). р дл дл г' ' Рг"; йа Вводя величину р,=( ОМ1(= —, можем написать из треуголь- Р ОММР и ОММР ря = йя+ г' — 2йг соз (г, л), р', = й'+ г', — 2йг, соз (г„л).
Определяя отсюда сов(г, л), сов(гн и) и подставляя в выражвние (44), будем иметь, в силу (40) и определения рр д~ — ) д~--) (44) ~Р Формула эта и решает задачу Лирихле для сферы, так как под знаком интеграла стоят известные величины. Преобразуем раз ность, стояшую в квадратных скобках. Заметим прежде всего, что поверхности г = сопз1 суть сферы с центром МФ тзк что вагаб г есть вектор длины единица, имеюший направление М,М, и, следовательно, д — „—— етаб„г = соз (г, л) дг 613 В!9.
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА и формула (43) может быть переписана в виде и(М,) = —,'„~ ~ У(М') ~' „, ' (г, и! или, если ввести угол ), образованный радиусом-вектором ОМ! с переменным радиусом-вектором ОМ, угловые сферические коорди- наты (0', !р') точки М и сферические координаты (ри Ои !ра) точки М, с началом в точке О: ак и О(Р Вм !ра)= Г(0 9), „З!П!у!В0'и!у', (46) 4Я У а ' (!Ра 2РРРсоат+р!)'И ВР а Полученное интегральное представление (Р(М,) аналогично интегралу Пуассона в случае плоскости. )(ля того чтобы показать, что интеграл, входяшнй в формулу (45), дает гармоническую функцию, достаточно показать, что при фиксированной точке М' дробь (Я' — р'):га есть гармоническая функция от Ми Введем сферическую систему координат с началом в точке М' и с осью Л, направленной от М к О, и обозначим, как всегда в сферической системе, 0 = ~ ОМ'Мм При этом р'=йа — 2йг соя 8+та и Л' — р' 2Й соа В ! г' г' г ' Подставляя эту разность в уравнение Лапласа, выраженное в сферических координатах, убедимся в том, что упомянутая дробь есть гармоническая функция точки Ми Докажем теперь, что при любом положении М, внутри сферы имеет место формула Введем сферическую систему координат с началом в точке О и с осью 2, направленной из О в М„ причем в данном случае 0= ~М,ОМ' и г'=гся — 2)яр сов О+р'.
Интеграл, входящий в формулу (*), будет я~ рр1 — р (' (' !!р~ а1п В ЛВ ЛЧ 4я)Р ~ 0) (рр- — 2ррр соя з+р')Н' ~с (Аг Р)рг (' Япзаа ~ (РР! — 2РРР соя В+ р')!И рр! В 1В ЯЯ вЂ” 2рй соз 0+ра) 2р 8 к 614 тл чп уРАВнения мАтемлтической Физики или, принимзя во внимание, что р()с, получим формулу (в): Дальнейшее доказательство того, что интеграл (45) имеет на сфере предельные значения у(М), проводится так же, как и В случае интеграла Г!уассона. Решение внешней задачи Дирихле с предельными аначениями У(М) дается формулой (451) в )'вв (т(р йв 9~) = 4— , у(0 Й, „з1п 0'вт0'птр', (46,) ля Л .! ()Св 2Е)З Свн 1+ ав)вгв гдер=!ОМа! г=!МвМ'! и 1= х' МвОМ, но в даннол1 случае р))с.
Как и выше, мы убедимся в том, что интеграл формулы (45,) дает гармоническую функцию вне сферы. Для того чтобы убедиться, что предельные значения (/(ма) равны )"(м), перепишем (461) в виде и(р, 0,, р,) = в в (46я) и, принимая во внимание, что р -ь)(', можем утверждать, что и правая часть формулы (46,) стремится к у"(М), что мы и хотели доказать. Отметим еше, что в силу (46,) (Г(р, 0„рв) стрелвится к нулю, когда М, удаляется на бесконечность, т. е, когда р -+ со. Это следует из того, что под знаком интеграла формулы (46,) числитель содержит р', а знаменатель имеет, очевидно, порядок р". 208.
Функция Грина. Из приведенного решения задачи Днрихле для сферы можно вывести >казания и для общего случая внутренней задачи Лнрихле для любой поверхности (6). Формула (13) непосредственно не лает где р'=р ' и )с =)с '. При этом р'()х', и когда точка (р, О,, ~ра) стремится к точке М()с,0, р), лежащей на сфере ч', то (р', Оа, ра) стремится к (К0, р).
В силу результата, полученного для внутренности сферы, мы имеем — ) т(0',ф) Е, з1п0" вт0'Ир'-+у(М), в 616 З 19. УРАВНЕНИЕ ЛАОЛАСА решения ззлачп, так как ппд знак двойного интеграла вхолит не только да само О, гшя которого значения на поверхности заданы, но н —. Надо дп ' исключить последнюю величину, чтобы получить решение задачи. Пусть ̄— фиксированная точка внутри (5). Пусть нам известна функция 0,(м; М,), обладающая следующими двумя свойствами: 1) как функция переменной точки М, вто есть гармоническая (рункция внутри (5); 2) на поверхности (5) ее пре- 1 дельные значения равны —, где г — расстояние переменной точки (5) до М г' ь Пусть 0(М) — искомое решение задачи Дирихле.
Применяя формулу (6) к гармоническим ф>нкциям (/(М) и 0,(М; М,), можем написать ~ [0(М) да~(М.мс) а (М.М) д(С(М) ] 5 (З или в силу п(>едельных условий для 0,(М; М,): о= ~ ~ ~и(м) да (М( М' — — ' да(А4) ~ б5 да г дп (еч ! Умножая зто равенство на — и складывая с (13), получим 4я а (м,) = — — ~ ~ 0(м) — ~~ — — а,(м; м,) ~ б5. ю 4я ) „) дп~ г (47) Ю а(М; М,) аа — — а,(М; М,), 1 0 г (48) называется функцией Грина для области, ограниченной поверхностью (5) с нолюсолс в (почке М,. Из определения 0,(М; М,) вытекают два основных свойствз функции Грийа: 1.
0 (М;М„) есть гармоническая функция внутри (5), кроме точки М„ 1 где она обращается в бесконечность, причем разность 0(м; М,) — — остается конечной и является везде внутри (5) гармонической функцией. 2. Предельные значения 0(м;М„) на поверхности (5) равны нулю. В случае сферы, в силу формулы (26), функция 0,(м;М,) будет равна )7 1 — — и функция Грина будет р г, 0 (М! Мо) = 1 )7 1 г г г, (46) Мы подучили формучу (47), пользуясь формулой (13) и примепля интегральную формулу Грина к (С(М) и 0,(М;М,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
