Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 117
Текст из файла (страница 117)
е. будем считать, что то яое количество тепла Я распределяется на все меньшем участке и в пределе сообщается стержшо в точке х, то будем иметь дело с мгновенных) источником шелла в ночке х=х, напряжения ф От наличия такого источника тепла в стержне получится распреде ление темперзтур по формуле 632 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ (зи то Еь-+хь при Ь-+О, и предыдущее вырзжение обратится в (х« — х)« () 1 ь««( е са 2аугчг Стало быть, функция (13) дает распределение температуры, которое вызывается мановенным ис)починкам тепла напряжения Я=ар, помещенным в начальный момент 1=0 в точке х=Е стержня (замена х, на Е). Решение (12) становится теперь очевидным.
Для того чтобы придать сечению Е стержня температуру у(Е) в начальный момент, мы должны распределить на малом элементе йЕ около этой точки количество теплз й( ) = ср~(Е) йЕ, или, что то же самое, поместить в точке Е мгновенный источник тепла напряжения йЯ; распределение температуры, вызываемое этим источником, согласно формуле (13), будет (( — х)« у(Е)йЕ е 2а У'чг Обшее же действие от начальной температуры г(Е) во всех точкзх стержня суммируется из этих отдельных элементов, что и даст нам полученное выше решение (12) (1 — х)« 1 и(х, ()= «) У(Е) — е йЕ.
Положим, что температура у(х) в начальный момент 1=0 равна нулю везде, кроме некоторого промежутка (а„а,), в котором она положительна. Решение (12) в данном случае будет (( — х) « «» и(х, 1)= ~ ~(Е) е ()Е. (14) 2а )г х( «« Если взять 1 сколь угодно близквм к нулю и х сколь угодно большим, т. е. если взять сколь угодно далекую точку стержня в момент, сколь угодно близкий к начальному, то формула (14) даст для сс(х, 1) положительное значение, так как подынтегральная функция положительна. Таким образом из формулы (12) вытекает то обстоятельство, что тепло распространяется не с какой-либо конечной скоростью, но мгновенно. Это сушественно отличзет урзвнение теплопроводности от волнового уравнения, которое мы получили при рассмотрении колебаний струны.
В случае распространения тепла в неограниченной трехмернои среде мы имеем дифференциальное уравнение (1) и начальное 633 Я141 а еь уРАВнение теплопРОВОдности условие (3), и вместо формулы (12) решение будет п(х, у> г, 1)= + СО + СО + СО (Е-х1>+>Ч-У)с+6-с1о = ~ ~ ~1($ т[ 1) „е '' с2117йс(5. (15) -СΠ— СΠ— СО 1 — х 2е)> с' Формула (12) после этого переписывается в виде +со и (х, г) = = 1 У(х + а2а[/с ) е '" с(а. )>я д (16) Напомним еше формулу [81]: +СО 1== ~е о сЬ. )/О (17) Умножим ее почленно на /(х) и вычтем из (16) +СО п(х, 1) — 1(х)== 1 [г(х+а2аЯ) — 1(х)[е "с(сь )/и .> откуда +О> [и (х, Г) — /(х) [ (= с [/(х+ а2а )/с) — У(х) [ е о а1а. (! 8) у д Кроме непрерывности и абсолютной интегрируемости, будем еще считзть г"(х) ограниченной, т. е.
[/(х)[~с, и таким образом при любых х, 1 и а мы имеем: [г(х+а2а[/1) — У(х)[~2е. Пусть г— заданное положительное число. Можно фиксировать столь большое положительное И, что -л СО 2с Г с 2с Г > о = ~ е с(ао~ — и = е с(а~ —,. у.-5 3 у;~" Проверим тот факт, что функция, определяемая формулой (12), удовлетворяет уравнению (5) и начальному условию (6). Первое утверждение непосредственно вытекает из того, что функция (12) удовлетворяет уравнению (5), и из возможности дифференцировать интеграл формулы (12) по г и х под знаком интеграла, если, например, г(х) непрерывна и абсолютно интегрируема по промежутку( — ОО, +ОО). Для проверки начального условия (6) введем вместо $ новую пере« пенную а по формуле 634 ГЛ.
ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 12! При этом из (18) будет следовать +Л ! и (х, () — А (х) ( ( — е + = 1 ~ у (х + «2а а/ г' ) — г (х) ( е " сЬ. )'е ( В силу непрерывности у(х), можем утверждать, что прн всех достаточно блнзквх к нулю, и при («)(И мы имеем )У(х+«2а у'1) — У(х)( ( -е, и последнее неравенство дает +де )ге(х, Т) — у(х)~( —.е+ — ° = ~ е ееае«, 2 е 1 з з'р,— и тем более +е» ! и (х, 1) — У (х) ~ = — л + — ° = ~ е-" ег'«, 2 е 1 з з ')г,— д т. е., в силу (17), мы имеем ~ и(х, 1) — у(х) ! =э при всех Е, достаточно близких к нулю, откуда, ввиду произвольности е, и следует 1пп и(х, 1)=У(х), г +э что и представляет собой начальное условие (6). Отметим, что стремится к нулю от положительных значений.
Всли ле и Л4 †границы значении Х(х), т. е. лг (у(х) ( М, то из (16) следует +ее +ее = е еег(«(п(х, 1) == ~ е ее(«, 215. Стержень, ограниченный с одного конца. Пусть это будет конец л=О стержня х)0; мы допустилз что на этом конце илееется лучеисяусканяе в окружающую среду с температурой 0'. В этом случае мы имеем, кроме начального условия (6), предельное условие = *ли ди дх~к О ~к 0 (19) н„с другой стороны, решение (12) непосредственно не годится, так яак в силу начального условия подынтегральная функция у(х) определена только и, в силу (17), имееле иасап(х, 1)(Л, т.
е. температура п(х, 1) при всех положительных 1 лежит в тех же границах, что и начальная температура. Совершенно так же, как и выше, может быть проверена и формула (16). в(л! Л В>. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ в промежутке (О, со). Стало быть, для применения формулы (!2) надлежит продолжить фунйцию у(х) в промежуток ( — со, О). Для этой цели перепив>ем формулу (!2) в виде (х — с)с (х+Н» 1 и(х, Г)= ~ ~у(Е)е +у( — Е)е с(Ь (20) 2а )«в( о + о> фсо что можно легко показать, разбив ~ на два: ~ и ~ и заменив в первом Е на ( — Е). Для подстановки в формулу (19) вычпсляев со (х — О> с>» дх 2а Ьгвт д! ~ 2»Ч 2а»Г При х=О отсюда выводим и! о=, —, ~ е (у(Е)+у( Е))дЕ "Ь со Е» — = е ' (у'(Е) — У( — Е)! —,.
Е иЕ дх (х о 2а )l" ят ~ 2а»Л Интегрируя по частям, мы имеем') о> (» 4 -~) о со 1» со т» «-(»со "нсс=сь>с><.)с(с>. ~«с Ь точно так же д г ( — Е) е —" = У( — 0) — 1 у' ( — Е) е 4» гдф 2а»Г )Ыы предло»отлив, что у(х) продолжена непрерывно в промежуток ( — со, 0). Тогда очевидно у(+ 0) =г( — 0) =У(0), н со Н ди 1 р 4»ч,( + дх .с о 2а ТГкт ~ (» ') Предполагается, что е 4» г у(Е) 0 при Е со. 636 гл. чп. рплвннния млтпмлтичискои Физики (ша З слооие (19) превращается в сь Р 1 = ~ е " ' ((Г (Е)+Г ( — Е)) — и (У(Е) +У( — Е))) пЕ = О, 2а ф' а( которое наверно удовлетворяется, если положить Г ( — Е) + Г (Е) = Л (У ( — Е) + Г(Е)! плн, обозначив пока Ф (Е) =У( — с), Ф'(Е) = — Г( — Е), определить неиззестяую функцию Ф (Е) из дифференциального уравнения Ф' (Е) + Л Ф (Е) =Г (Е) — йу(Е) (Е та 0).
Интегрируя зто уравнение, получаем Ф(Е)=е-ла~С+ ~ еае(Г(Е) лГ(Е))аЕ~ д Полагая Е = О, определяем постоянную С: С=Ф(О) =Г(О), и так как а а емГ (Е) г(Е =Г(Е) е"е / — й еаЕГ(Е) гГЕ = еле Г(Е) — Г(0) д вас Г(Е),Га Ь Е о то а Г( — Е) = Ф (Е) = у(Е) — 2де ла 1 елЕГ(Е) г(Е. Ь Подставляя зто выражение для Г( — Е) в формулу (20), мы и получаем окончательное решение нашей задачи. Залгетим, что нз последней формулы при Е +О вытекает Г( — 0)=Г(+0), т.
е. нейрерывное продолжение Г(х) в промежуток ( — оо, 0), что мы предполагали выше. Если, например, начальная температура постоянна: Г(х)=и, при х~о, то мы имеем У( — х)=и,— 2де "" п,еллгГх=и (2е лл 1) н формула (20) дает (Š— ли оэ (Е-~-ли еа [$+х~~ и(х, Г)= ' ~ ~ е аŠ— ~ е са ~ аЕ+2~ е там Е~. о о (21) 637 $ Ю. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ йа) Читатель без труда покажет, чхо это решение можех быть выражено через функцию Более простой результат поаучается, если на конце х = 0 отсутствует лучеиспускание, н этот конец поддерживается прн температуре О'.
Мы имеем тогда предельное условие и( о —— О, (23) которое можно получить и из (19), разделив на И и затем переходя к пределу при И со. Решение можно найти из формулы (22) прн И со, но проще поступать, непосредственно продолжая функцию у(х) в промежуток ( — оо, 0) так, чтобы выполнялось условие са и) о = = е ' (у(с)+у( — с)) д(=0, 1 2о )l яг о дая чего достаточно положить У( — Я) = — У(4) т.
е. надо продолжить у(х) нечетным образом. формула (20) примет тогда внд са )я — Х)а )х+1)а ! о и(х, Х)== ~У(6)[е ' — е а )да, 2о)" 1сс о (24) и если и!с о — — г"(х) =па, она обратится в гаУс и(, Х)= 'х' ~ е Н(с=,О ( х ). (25) ге У) Рассмотрим теперь стержень, ограниченный с одного конца х = О, который поддержиеается при заданной температуре и =а(с).
Допусхим сперва, чхо начальная темперахура есхь 0; т. в. и)с о=О, (26) и начнем с частного саучая ч(г)= 1, т. е. «(.с о (2?) я О(х) = =аде дх 2 „а следующим образом: н(, г)=и,О~ )+и, а~и~с+их~) — О( х + И)УхЯ1. (22) Нетрулно получить решение уравнения (5), удовлетворяющее условняч (25) и (27). Для етого мы положим и=о+ (; фэнкция о будет также решением уравнения (5), но должна удовлетворять )славины "!х-о=О о)с-о= так что получится сразу по форлсуле (25), если положить там и,= — ), о(лЧ Г)= — О~ — ) и и(х, Г)=1 — 81 ), х с х 2а РгГ) 2а )/ Г Определим теперь распределение температур, если на конце х=й температура поддерживалась равной О' до момента т, а затем поддерживалась равной 1'.
Это распределение мы обозначим через и,(х, 1). Очевидно, что до лшмента с =' т мы будем иметь и, = О; после же этого момента и, совпадает с решением, полученным выше, если начать отсчитывать С не от О, а от т, т. е. заменить в выражении (28) т на г — т, что даст нам (28) О при г<т, "(" ')ах ! — О( ' ) при Г».. Но тогда очевидно, что если на конце х=б температура 1' поддержи- валась только в течение промежутка (т, с+дт), а все остальное время она была О', то соответствующее.
распределение температур будет ди, и,(Х, т) — и,+а,(Х, Г)хх — — 'дж если же она поддерживалась в течение промежутка (к с+дт) на темпера- туре Т(т), а не ); то получим решение ди, — о(т) — ' дт, дт откуда ясно, что если поддерживать конец х=О на температуре Т(т) при всех т» О, то при изменении т от О до г мы получим полный эффект, сло- жив все элементарные эффекты, что дает нам искомое решение задачи в виде ди, и (х, 1) = — ~ Т (т) — л дт, 5 нли, так как при т»ж х га У~:т он, д с х ! д 2 л" л 1'1 — — е" дх= дт дт (2а )с С вЂ” т) дт у я кя х 2а Рг (С вЂ” )"' то окончательно Кк и(х, т)==, е ит.
Х 1' Е (т) са'-'(С вЂ” кс 2аукя~ (1 — т)с" (29) 638 ГД. Чп. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ (г1з 639 яза1 а ш. тглвнениз теплопговодности Для того чтобы получить решение, которое сверх предельного условна и! к=а тОО удовлетворяет не (26), а начальному условию общего вида и 1, а =У(х), очевидно, достаточно прибавить к решению (29) полученное выше решение (24). 216.
Стержень, ограниченный с обоих концов. Мы исследуем один из наиболее типичных случаев, когда на конце х=О поддер. живается температура 0'. гг(„з=О; (30) на конце х=Е тепло излучается в окружающую среду с темпера- турой нуль: д (31) начальная температура: гз! г-о=У(х) (О ( х ~ 2). (32) (33) условиям (ЗО) и (31), что дает нам Х(0)=0, т.
е. А=О, Х'Я= — )зХ(з), откуда имеем, отбрасывая постоянный множитель В, Х(х) = з!и Лх и Л соз ЛЕ= — Ь з!и ЛЛ (34) (35) Полагая Л1= о, получаелз трансцендентное уравнение 1 !6о=ео, где е= — — ° Ы (36) Это уравнение имеет бесчисленное иножество вещественных корней (37], из которых мы обратим внимание только на положительные: оь оз оз ° ° ° ел ° ° ° (37) Эшш корням соответствует бесчисленное множество значений Л: Л„Л„Лз, ..., Л,„..., где Л„= — "". (38) Задача вта решается весьма просто по способу Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
