Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Скалярное произведение етад у А есть произведение ! А ! на проекцию йтадУ на направление А, т. е. на производную от у по направлению вектора А. Итак, в данном случае будем иметь (73) «1а~дг~й 8~1 а~%~ 8 аг дгГдс~ Г дУ'1 Применяя (72) и дифференцируя (à — 11 по правилу дифференцирования ~дел сложных функций, мы и докажем справедливость формулы (73). Применяя аатем формулу Остроградского и прнпимая во внимание, что етадл(1аг) ~ 1 дг = — —, получим г дл' ~ ~~М/ 2~ ~~дУ~! дг (Ь> (й Подставляв вто выражение н выра(хе(п(е (71) в праву(о часть формулы(9) и принимая во внимание, что (((Ми т) = 1'(М„т), так как в точке М, мы нмеел( г= О, получим фора(улу Кирхгофа д— ( ., ) = — '~ Д вЂ” 'Я+ — 'Я вЂ” 'г -( ) — "~ .
( ) (~ дУ формула вта выражает У(М„() через запаздывающие значения У, и — — на поверхности (5). В данном случае, как и в формуле (9) для гармо- дУ дл 626 Гл. чп. уРАВнения матемАтичеекой Физики (ата получим 627 щг! % (з. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА в области О, и эта формула, кроые поверхностного интеграла, будет содер- жать и тройной д — „ 1 4 ),)1 [д ~ [декад ( )д 1 + (51 ц ( л( е, ( 1 (79) Применяя вту формулу к сфере с центром М, и радиусом ат для решения, удовлетворяющего нулевым начальным данным при с=О, получим формулу (91) из (18?). д(г ннческих фтнкпий, присутствие — не дает воэможности применять форда муау (74) непосредственно для решения задач, связанных с волновым уравнением. Формула (74), данная Кпрхгофом, тесно связана с принципом Гюйгенса. Положим, что (8) есть сфера с центром М, и радиусом г. В этом сауд д чае — = —, и формула (74) переписывается в виде дя дг' о = 4ягт ~ )! [дг~)+ а [д ~+( (5( или, полагая дЯ=г'а!пэ дэлу =г'дш 1(Л);, т)= — ~ Ц ~да+ — ~ ~[ — ~д.
(5( (51 (' Если взять радиус сферы равным г = ай то à — — =О, т. е. запаздываю- а щее значение сводится к значению функции при 1=0, и формула (75) дает формулу Пуассона (81) из (184), решающу(о задачу о распространении колебаний в безграничном пространстве при заданных начальных условиях '"- =Я 3(~')"++Й 1 1 "-ь '5а(> (5а(1 д(г причем значок нуль указывает что надо брать — и (г при т = О, и инте- Ф дт грирование производится по сфере с центром М, и радиусом ат.
Внд формулы Кирхгофа (74) ~сено связан с понятием зайаздыааюа(его аошенйиала. Выше мы видели, что при любом выборе функции а (г), имеющей непрерывные производные до второго порядка, функция — а т —— ! Г Г( (а) (77) г ( а~ г есть решение уравнения (68). При этом г есть расстояние от любой фиксированной точки пространства до переменной точки (188). Совершенно аналогично предыдущему можно построить формулу Кирхгофа и для любого решения неоднородного волнового уравнения -Э-а- — а' Ь (г+ Г(х, у, л, е) д'(г (78) 628 Гл.
чп, уРАвнения мАтемАтическои Физики 1 1$ В 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 213. Основные уравнения. Уравнение теплопроводности в од. породной среде, как мы видели, имеет вид где а= ~/ (2) й — коэффициент внутренней теплопроводности, с — теплоемкость ве- щества и р — плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при 1=0 исс-о=с(л, у, е) дгг д— +А(У вЂ” Уь)=0 (на 8), дп (4) где коэффициент пропорциональности Ь называется сговффггцгсентом внешней теплогграводносгли.
В случае распространения теплз в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль осп Х, вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение дгг дЧ/ — = а' —. де дх' (б) При такой форме уравнения не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью стержня н окружающим пространством.
Уравнение (5) можно получить также из уравнения (1), предполагая У не зависящей от у и г. Начальное условие в случае стержня Если тело ограничено поверхностью (8), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (о) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени.
В этом случае предельное условие сводится к заданию функции У на поверхности (8), причем эта заданная функция может зависеть и от времени Е Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспусканне в окружающую среду данной температуры УФ то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (8) пропорционален равности температур окружающего пространства и поверхности тела (Ю). Это дает предельное условие вида 629 214! 2 20.
уРАВнение теплопРОВОдности будет (с'!с =а = Т (х). (6) Если стержень ограничен, то на обоих концах мы имеем предельное условие. Как и выше, конец может поддерживаться при определенной температуре. Е случае лученспускания предельное условие (4) будет иметь вид д.е '~'т- )с (и — и,) = О ( це), (7) причем знак ( — ) имеет место для левого конца, с наименьшеп абсциссоп х, а знак (+) — для правого конца, и )с есть поломсительная постоянная. 214.
Неограниченный стержень. Мы начнем с неограниченного елсержнл, для которого, кроме уравнения (5), нужно только удовлетворить начальному условию (6). По способу Фурье мы пшеи прежде всего частное решение уравнения (5) в впде т(!).Х(х), что дает нам Т' (с) Х (х) = а" Т(!) Х" (х), или Т' (С) Х" (х) а' ТОО Х(х) где Ля — постоянная. Мы получаеьс таким путем Т'(2)+ ЛсаяТ(с) =О, Х" (х)+ ),' Х(х) = О, откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении Т(!): ТЯ = е ~, Х(х) = А соз? х+ В з!п Лх; постоянные А и В могут зависеть от ),. Так как никаких предельных условии мы здесь не имеем, то параметр ), остается совершенно произвольныи, и при составлении функции п(х, 2) в виде суммы ~~~~е 'н !А (Л) соз Лх+ В(!) а!п Лх] слс все значения Л для нас равноценны.
Естественно поэтому ааменить еулслсу по отдельным значениям Л вЂ” сснлсегралолс, взятыи по параметру Л от ( — ОО) до (+со), т. е. положить 'с(х с)= ~ е "'(А(Л) сов Лх+В(Л) а!и Лх)!с(Л. (Ол -ОЭ бйц гл, чн, уРАВнения мАтемАтическои Физики Применяя формулу дифференцирования под знаком определенного интеграла, убедимся без труда, что написанная функция дает действительно решение уравнения (5). Переходим теперь к начальному условию (6), которое дает нам и [,,=т(х)= $ [А(Л)созЛх+В(Л)з!пЛх[с(Л.
(19) Сравнивая интеграл в правой части с формулой Фурье для функции ! (х): /(х)= — ~ г(Л ~т(Е) сов Л(Š— х)лсЕ= 1 2О СО СО СΠ— ~ [соя Лх ~У(Е) соз ЛЕЙ+ 5!и Лх ~У(Е) 31П ЛЕ с(1~ лЛ, мы видим, что можно удовлетворить условию (10), положив А (Л) = — ~ у (Е) соз ЛЕ с2Е, В(Л) = 2 ~ у(Е) зш ЛЕ с(Е. Подставляя полученные выражения для А(Л) и В(Л) в (9Л получаем п(х! !)= — ~У(е)В!с ~ е О [созлесозлх+ з!влез!и лх[всл= СО ОО = — 1У(Е)!(Е ~ в "" 'соя Л(Š— х)с(Л= = — ~ у(Е)г(Е ~ е ~' 'соя Л(Š— х) зсЛ, (11) — СО о СО АО С О а е ' сов уЛвсЛ= — е !Ос, 2а причем мы использовали тот факт, что подынтегрзльная функция есть четная функция от Л.
Формула (! 1) дает решение нашей задачи, но может быть упрощена, Для этого достаточно заметить, что [84) 631 аз). уРАВнение теплопРОВОдности зеп а потому )) — х)о — Е а' СОЗ Л('. — Х)Ю,= Е 4«44 2а г' аг после чего формула (11) принимает вид и — «')* п(х г)= 1 1(1) е 4«н .) 2а)/ аг (12) «о о П вЂ” х)» 1 1пп — в "а" аЪ 4 - а 2сра)о'ат 2З хо -о Так кзк по теореме о среднеи о+О ц-.)о и,— .)о — В 4«44 А=а оам, Гдв ХΠ— Ь(Ь (Х +Ь, о "о Во всея предыдущих вычислениях и дальше мы считаем, конечно, 1 положительным. Представленное в такой форме решение получает важный физический смысл.
Заметим прежде всего, что функция )à — .«)о ( 1 3) рассматриваемая как функция от (х, 1), есть также решение уравнения (5), как это ясно и из самого способа ее получения и может быть проверено непосрелственным дифференцированием. Каков же физический смысл этого решенияу Выделим мзлый элемент стержня (хо — Ь, хо+3) около точки х„, и пусть функция у(х) равна нулю вне промежутка (хо — Ь, х +Ь) и имеет постоянное значение У внутри него. Физически можно представить себе дело так, что мы в начальный момент сообщили этому элементу количество тепла Я= 2ЬерУ„которое вызвало повышение температуры нз Уо в этом участке. В последующие моменты распределение температуры в стержне дается формулой (12), которая в нашем случае принимает вид «о+о и — «П «о+о ц — «а хо «о -4 Если мы будем теперь приближать Ь к О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
