Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Возможность применения втих интегральных формул треб>ет особых доказательств, которые основаны на изучении поведения производных при приближении к поверхности (58 Эта формула и дает решение задачи Дирихле, если известна функция О, (М,'М,). Разность, стоящая в квадратных скобках; 616 гл. чп. уРАВнения млтемлтическои Физики 1эм Строгое доказательство формулы (47) при широких предположениях относительно поверхности (8) и функции 0(М) на (Ю) было впервые дано А. М. Ляпуновым. Совершенно аналогично для случая плоскости мы имеем формулу для решения внутренней задачи Дирихле: (47,) О1 где функция Грина 0(М;М,) для области с контуром (7) и с полюсом М, должна обладать следующими двумя свойствами: !.
0(М; М,) есть гармоническая функция внутри (1), кроме точки Мм где она обращается в бесконечность, причем разность 0(М;М,) — 1п— 1 г есть гармоническая функция и в точке М,. 2. Предельные значения 0(М;М,) на контуре (7) равны нулю. Нетрудно видеть, что может существовать только одна функция с указанными двумя свойствами. Действительно, если бы их было две: 0 '" (М; М,) и 0'о(М;М,), то их разность 0'а'(М;М,) — 0'о(М; М,) была бы гармонической везде внутри (3) или (7) и имела бы нулевые йредельные значения на(8) или (1), т.
е. была бы тождественно равной нулю внутри (5) нли 0). 209. Случай полупространствв. В качестве примера применения фор- мулы (47) рассмотрим задачу Дирихле для полупространства. Требуется найти функцию сг(х, у, «), гармоническую в полупространстве я ) О, если известны ее предельные значения у(х, у) на плоскости « =О: 01«=о =,у(х, у). (50) Пусть г — расстояние от переменной точки М до точки Ма(ха, уа, «а), причем «, ) О, и г, — расстояние от переменной точки М до точки М,'(хм у„— «,), симметричной с М, относительно плоскости « =О.
Дробь ! — есть гармоническая функция точки М в полупространстае « ) О, ибо М' г, а лежит вне зтого полупространства. Если М находится на плоскости « =О, 1 1 то, очевидно, — = — ° Таким образом функция Грина в рассматриваемом ' г, г случае имеет вид 1 1 0(М;М)= — — — = « ут 1 1 !«(х — л,)*+ (ч — у,)'+ (« — «,)' )«(х — х,)'+(у — у«)'+ («+ «,)' ' Направление нормали к плоскости «=О, внешней по отношению к полдтпространству « ~ О, есть направление, йротивоположное оси ОЕ, т. е.
д дл д« ' — = — —, и формула (47) даст +ь«+со 1 0(»м у. «а)= — ! ! 1(»у) д« ~рг(х — х )'+ (у — у )«+ (« — «)' 1 дх ду. рг (х — х,)'+(у — у,)'+ («+«,)" )~=о ма) 617 $1З. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА После дифференцирования нвадратной скобки надо положить в=О. Производя несложные выкладки, получим окончательно +со +со и( и ум *,) = — т лт у(х, у) 2" .] .] ](х — х,)'+(у — у,)'+л,']"" (51) Мы не будем проверить, что правая часть представляет гарионическую функцию и имеет предельные значения у(х, у), когда (х„ у„, а,) стремится к (х, у, О). В данном случае бесконечно далекая точка лежит на поверхности области, и нетрудно проверить, что построенное решение обладает следующим свойством: если у(х, у) непрерывна и на бесконечности, т.
е. если У(х, у) ииеет конечный определенный предел а при беспредельном удалении точки (х, у) на плоскости з = О, то и ()(х„ ум з,) имеет тот же предел а при любом беспредельном удалении точки (х„ у„ з,) в полупространстве з ) О. Иначе говоря, построенное решение имеет требуемое предельное значение и в бесконечно далекой точке плоскости, если у(х, у) непрерывна в втой точке.
Совершенно аналогично при решении задачи Лирихле для полуплоскости у ~ 0 функция Грина имеет вид 1 1 1 ! 1я — — 1й — = 1й 1й 1 т Р' (х — х )т + (у — у )т Рг(х — х ) т+ (у +у )т и формула (47,) при предельных значениях Ц]у о=у(х) (52) дает решение задачи и(хм У).=У ~ У(-) дх "д (» — »)т+ут (53) Подробное рассмотрение задачи Неймана мы относим к тому !тт. 210. Потенциал обьемных масс. Рассмотрим неоднородное уравнение Лапласа дт!) дЧ/ дЧI дх' + дут + да' (54) в конечной области (О) с поверхностью (8).
Обптее решение этого уравнения есть сумма какого-либо частного его решения и гармонической в () функции. Пусть имеется решение уравнения (54), к которому применимз формула (9). Поскольку производнзя от — по 1 любому фиксированному направлению удовлетворяет уравнению Лапласа, то подынтегральпая функция в поверхностном интеграле формулы (9) и сам этот интеграл суть гармонические функции в О. Таким образол1 тройной интеграл должен удовлетворять уравнению (54). Но в силу (54) в этом интеграле Ь(7 можно заменить на р(х, у, г), и таким образом мы получаем частное решение 618 ГЛ. УИ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 12!ь уравнения (54) вида и(х, у, е) = — 4- ~ ~ ~ ""„' " б (55) 15) [г =]г'(( — х)' + ()1 — у)' + (С вЂ” г)я].
Мы получили этот результат, предполагая, что уравнение (54) имеет решение, к которому применима формула (9). Пля полного решения задачи нам надо более подробно исследовать объемный потенциал (55) при определенных предположениях относительно функции р(Д)). Мы положим )с(Лг)= — Р(Дг): 4в и будем исследовать следующий потенциал обаелгных масс (66) или (Г(х, у, )= ~ ~ ~ Р(1' '' С) бо. )Ь' (56,) Положим, что Р(И) непрерывна в (О) вплоть до (о).
Как мы уже упоминали, интеграл (56) является собственным интегралом, если М лежит вне (О). В этом случае функция )г(М) имеет частные произ- водные всех порядков. Эти производные могут быть получены диф- ференцированием под знаком интеграла, и (г(М) удовлетворяет урав- нению Лапласа Ь(г=О. Если М принадлежит (О), то существует несобственный интеграл (56) и существует также интеграл, получен- ный путем дифференцирования подынтегральной функции, например, по х [90]. Но не было доказано, что он дает частную произ- водну1о от (г по х.
)Аокажем по поводу интеграла (56) две теоремы: Теорема 1. Если р(1)Г) непрерывна в области (О) вплоть до (о), то (Г(М) и ее частные производные первого нарядна непре- рывны во всем пространстве, и упомянутые частные производ- ные могут быть получены дифференцированием под знаком ин- теграла. Локазательство будем проводить при любом положении М отно- 1 сительно области (О).
Вместо — введем новую функцию, которая отг 1 личзется от — лишь при г(ь, где ь — зздзнное положительное г число, но которая сама непрерывна н имеет непрерывные произвол- 1 иые по координатам вплоть до г = О. Для этого заменим — при г(а г полиномом: а+ ргя = а+ р [(ч — х)'+ (т) — у)'+ (с — г)'], выбрав ч и р так, чтобы при г=ь иметь ч а+ рьч = — и 2[)а = — —,, 619 $!Я. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА ма! 1 и я+ ргв, 1 что дает непрерывность производных на стьнсе функции 3 т. е.
при г=а. Написзнные формулы лают в= —, в3= приходим к функции л,(г), определенной равенствами — —,и мы 2вв ' 8,(г)=-„ 1 при г)а, 3 1 8,(г)= — — —,г' при гч" а. (57) Подставляя эту функцию вместо — в интеграл (б6), получим вме- 1 сто (г(М) новую функцию )г, (М) = 1 1 1 1в (Ж) 8, (г) д~, (о) (58) непрерывную во всем пространстве и с непрерывными частными производными, которые могут быть получены дифференцировзнием под знаком интеграла, поскольку подынтегральная функция интеграла формулы (58)' сама непрерывна и имеет непрерывные производные при г РО.
Мы можем, например, написать дх ~ ),) ~ ( )дхвв( ) <Ь (59) Составим равность )г(М) — (г,(М)= ) 1 1 р(д1)г — К,Ф . (60) (Щ (61) и вне сферы (а,) подынтегральная функция, как указано выше, обраишется в нуль. Если мы проинтегрируем положительную функцию, стоящую в правой части (61), по всей сфере (а,), то получим. Поскольку — и л,(г) совпадают при г)е, разность, стоящая справа, 1 равна нулю для всех точек ввв, лежащих вне сферы (а,) с центром М и радиусом а. Если, например, М лежит вне (0) и е меньше расстояния от М до (0), то интеграл, стоящий в правой части (60), равен нулю. В других случаях сфера (в,) может частично или целиком попадать в (О).
Обозначая через лт наибольшее абсолютное значение )в(ввв') в (0) и принимая во внимание, что и,(г) положительная функция, мы получим для подынтегральнон функции правой части опенку Оао ГЛ. ОП. УРАВНЕНИЯ Л1АТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл!о очевидно, следуюшую оценку: Ф аль > оро — 2лло>~ ((~[-'~д ()~ ' оооворо, о Е Подставляя вместо е,(г) вторую из формул (57) и выполняя ква- дратуры, получим ~ )г(М) — 12, (М) ~ < — зае'.
Отсюда видно, что при о-эО непрерывные функции 12,(М) равно- мерно по отношению к положению точки М стремятся к (г(М), а потому )г(М) есть также непрерывная функция [1, 144~. Лля исследования частных производных функции Ъ'(М) составим инте. грал, который получается дифференцированием интеграла формулы (56) по х под знаком интеграла, и обозначим полученную функцию через йг(М): )д () '~й~ Составим, как и выше, разность дх ~ 1,) 1 ( «(дх(г) д в'( )1 '<о~ Принимая во внимание, что для любой функции 72(г) мы имеем дх дг г — 72(г) = д да(г) х — 1 х — 1 и что ~ — (1, можем для подынтегральной функции последнего г интеграла написать неравенство !1 ( )~ — (-) — — е,( )1/(ла ~ —,—+ ( ~' !~, и, совершенно так же, как и выше ~ (уг(М) — д( О ~ т 11 1 [„—,+! '() Цг'з1 ОЛдво(г. оо д Принимая во внимание, что, в "силу (57), де,(г) ! г — — — при г(е, и выполняя квадратуры, получим (Г(М) — — — ! (5п ла, дЬ', (М) дх дЬ', (М) откуда следует, что при о -+ О производная ' равномерно от.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
