Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Заметим, что область (Р) может быть как конечной, так и бесконечной. В последнем случае она лежит вне (Я). В случае конечной области мы имеем внутреннюю задачу Дирпхле, а в случае бесконечной — внешнюю задачу Дирлхле. В последней задаче ставится еше то условие, чтобы функции стремилась к нулю при беспредельном удалении точки, или, как говорят, функция должна обращаться в нуль на бесконечности. Предельное условие в задаче Дирихле записывают в виде 0~(в,— — )(М), (з) где у(М) — заданная непрерывная функция на поверхности (8) и М вЂ переменн точка этой поверхности.
Аналогично формулируется внутренняя задача Дирихле и применительно к уравнению (2) для плоской области, причем предельным условием является задание 0 на контуре области. В случае внешней задачи Днрихле на плоскости требуется, чтобы функция имела конечный предел при беспредельном удалении точки. б94 гл. Уп. уРАВнения мАтемАтическог1 Физики 1261 Укажем еще на один тпп предельного условия, а именно иа тот случай, когда на поверхности (8) задается значение нормальной производной (4) Задача нахождения гармонической функции, удовлетворяющей та. кому предельному условию, называется задачегй Оайлгана. Онавстречается в гидродинамике при рассмотрении движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости.
Предельное условие (4) выражает при этом совпадение нормальной составляющей скорости точки д4 поверхности (8) тела и жидкой частицы, прилегающей к точке М. Задача Неймана может быть формулирована и для уравнения (2). Прежде чем переходить к выяснению свойств гармонических функций, мы приведем вывод некоторых формул, необходимых нам в дальнейшем. 203. Формула Грина.
Пусть (г)) — некоторое ограниченное тело, ($) — его поверхность, У и )г — две функции, непрерывные и имеющие непрерывные производные до второго порядка в облзсти (0) вплоть до его поверхности (8). рассмотрим интеграл 1о1 = ~ ~ $ ягаб У етад Ъгйо. (и) Применяя очевидное тождество д0 дР д дЭ' дР и два аналогичных тождества для — и —, можем переписать инд д ду дг' тегрзл в виде )= ~ ~ ~ ф~Уф)++ ~У ~~~++ ~У '~~1г— 1П1 — ~ ~ ~ Уймой.
1Ь Преобразуем первое из слагаемых в правой части по формуле Острогрздского 1= ') ~ ~У ~ со (л, Х)+У д о (л, )')+ дР дг' дх ду 1З1 + У д сов(л, 2)~йЮ ~ ~ ~ уцуи'о 1Ь1 595 $19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА или [120]: ду (Ф (5) где (и) — направление нормали в точках поверхности (Я), вяешнеп по отношению к телу (Р).
Таким образом мы приходим к так называемой лредвартссельной формуле Грина (Пс = ~ ~ ~2га((У егад '(с(Ь= ~ ~У вЂ” с(8 — ~ 1 ~УЬ)састн (5) (Ь (зс (О( Левая часть этого равенства не меняется при перестановке функции У и (с, а потому то сье относится и к правой части, т.
е. мы можем нзписать ~ ~ уд~дЗ ~ ~ ~ уд)гас ~ ~ ~сдУА(~ ~ ~ ~ )с дус(о (Зс (О( Ю (5( откуда и получается форлсула Грина в окончательно(У форме ~ ~( дл дя) (о) оп Иногда пользуются не внешней, а внутренней нормалью. При этом надо только изменить знаки у производных по нормали в правой части формулы, и для случая внутренней нормали формула Грина будет выглядеть так д д ) ('о) (З( где и, — направление нормали внутрь (Р). Область (Р) может быть ограничена н несколькими поверхностями (Я). Формула Грина применима и в этом случае, но только поверхностный интеграл, стоящий в правой части этой формулы, надо брать по всем поверхностям, ограничивающим область (Р). Заметим, что при этом нормаль (п), внешняя по отношению к объему (Р), будет на поверхностях, ограничивающих этот объем изнутри, направлена внутрь поверхностей. Как мы упоминали, при выводе формулы Грина (6) достаточно потребовать, чтобы функпии У и И были непрерывны вместе с производнымн до второго порядка вплоть до (8).
Необходимо, конечно, 596 ГЛ. УП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ паз предъявить некоторые требования и к поверхности (Ю). Можно при этом сослзться на те условия, при которых была выведена формула Остроградского [66). Эти условия сводились к следующему: поверхность (8) может быть разбита нз конечное число кусков так, что на каждом куске, вплоть до его границы, имеется непрерывно меняющаяся касательная плоскость. Такие поверхности называются обычно кусочно-гладкими.
Ребра поверхности, являющиеся границами упомянутых кусков, должны быть кусочно-гладкими линиями. Это условие, налагаемое на поверхность, может быть выражено и в аналитической форме. Следствием формулы Грина является важнзя в приложениях формула, дающая выражение значения функции в любой точке Ма внутри (О) в виде суммы некоторого поверхност(а) ного и некоторого объемного интеграла, Пусть У(М) — функция, определенная в об- 18) Щ ласти (О) и непрерывная с производными до гв второго порядка вплоть до (8). (,.) Применим формулу Грина к этой функага 1 ции и к функции 1Г= †, где г — расстояние г' от определенной точки МФ лежащей внутри Рвс 13З (О), до переменной точки М.
Функция 1 1'= — обращается в бесконечность, если г точка М совпадает с М„и мы не можем применять формулу Грина ко всему телу (О). Выделим из этого тела малую сферу с центром М, и малым радиусом р и обозначим через (О,) оставшуюся часть тела (О) и через (~'„,) — поверхность выделенной сферы (рис. 133). В области (О,) функции Ог и (г= — обладают требуемым свойством 1 непрерывности, и, применяя к этой области формулу Грина, мы по- лучин причем интегрирование совершается по обеим поверхностям (8) и (Д;р), 1 ограничивзющим тело (О,).
Но, кзк мы видели, функция удовлетворяет урзвнению Лапласа, т. е. Ь вЂ” =0 (131). Кроме того, 1 г 597 вм> $!9. УРАВНЕНИИ ЛАПЛАСА на сфере (~р) нормаль и направлена внутрь сферы прямо противоположно направлению радиуса г, так что производная по нормали под знаком интеграла по (~, ') есть взятая с обратным знаком производная по г. Принимая во внимание все сказанное, мы можем переписать формулу (7) в виде д 1 1 ~ — ""+1 И' — "--' — "1"'+ <Ьд (з> +~ ~ ', и,(8 ~ ~ — ' — ~ко=О. (8) >зр> >зр> Будем теперь стремить радиус р выделенной сферы к нулю. При ятом первое из слагаемых в написанной формуле будет стремиться к объемному интегралу по всему телу (0).
Второе слагаемое от р не зависит. Пока>кем, что третье из написанных слагаемых стремится к пределу 4ли(мя). Принимая во внимание, что на (~',) величина г имеет постоянное значение р, можем написать ~~ — „', и(м) ы= —,',~ ~и(м)(8. >з,> >з > Применяя теорему о среднем, будем иметь — и(М)>>8= —, и(Мр) 4яра=4яи(М,), ,,> г> Р ь,> где М, — некоторая точка на поверхности сферы (~,).
Эта точка стремится к М, при р -ь О, откуда видно, что написанное выше выражение стремится к 4яи(М,). Точно так же применение теоремы о среднем к последнему слагаемому дает ди > гг ди > ди>, ди~ — ~ ~ — — л>8= — — ~ — Ю= — — — ~ 4яра = — — ~ 4лр. ,,) г дл р ) ~ дл р дл !м дл ~м '>зр> Производные первого порядка функции и по любому направлению при стремлении Мр к М, остаются ограниченными, так как по предположению функция и везде внутри (()) имеет непрерывные производные до второго порядка. Множитель 4гр стремится к нулю при р-ьО.
Отс>ода видно, что последнее слагаемое в формуле (8) стремится к нулю. Окончательно формулз (8) в пределе даст нам г99 гл. чн, угавнения математической Физики искомое следствие формулы Грина ) ~ ~ — <хо+ ) ~~У д — — д ~ <то+ 4яУ(Ма)=0 «У (г) 1 д0 ('и< (з< нлп д— У(М,)= —,~ ~[ — „—,„— У,„" ]д — —,~ ~~ — „Ь. (9) (5< (й< Заметим еще раз, что эта формула справедлива для любой функции У, непрерывной в области (О) вплоть до Ю вместе со своими производными до второго порядка. Совершенно аналогичные формулы имеют место и для случая плоскости. Мы приведем их, не останавливаясь на их доказательстве.
Пусть (В) — некоторая область на плоскости, (/) — контур этой области и л — направление нормали к этому контуру, внешней по отношению к (В). Оператор Лапласа для случая плоскости имеет в декартовых координатах вид: дЧ/ дЧI ЬУ= — +— дх" ду" Аналогично формуле (6), мы будем иметь на плоскости формулу ~ ~(уАр — 1 иу)~з=~~,и —",„— р дУ~да.
(19) '<в) <н В отношении формулы (9) аналогия не будет полной, а именно 1 при выводе формулы (9) было существенным, что функция — удог влетворяет уравнению Лапласа. Для случая плоскости это не будет 1 иметь места, и вместо функции — решение уравнения Лапласа надо г 1 будет брать в виде 19г или 1а — = — 1аг, где г — расстояние от г каков-либо постоянной точки плоскости до переменнои точки М. Таким образом вместо формулы (9) мы на плоскости будем иметь формулу У(М,)= —,' ЦУ'(дн") — 19 — ',„~д + —,' ~~АУ 19 дг, (И) (н <в< где М, — любая фиксированная точка внутри (В) и г — расстояние переменнон точки М до точки Мм Заметим, что тройной интеграл в формуле (9) есть интеграл несобственный, так как подынтегральная функция обращается в бес- грй ам,>плвнянпг.
лапласа аз>1 конечность в точке Лы Но этот интеграл, очев>шио, сходится, так как подынтегральная,функция по абсолютной величине меньше вы- А раженнз — при р=1. Апзлогичное замечание писет место и по гг отношеняю к формуле (11). 204. Основные свойства гармонических функций. Рассмотрим функцию (>', гар>юпическую в сгрзниченной области (Р) с поверх- ностью (Я). Считая, что У непрерывна вместе с производн>амн вто- рого порядка вплоть до (8) н применяя формулу Грнна (6) к этой функции с>' н к гзрмонической функции У= 1, получим, в снлу д >>= а (1) = О я д — — О ~~ — ",~ бай=О, (з> т.
е. имеем первое свойство гармонической <1>ункции> интеграл от. норлгальной производной гара>оштеской функции по поверхности области равен нулю. Если применим к гармонической функции (> формулу (9), то, в силу цс>'=О, получим ( ю) 4я 13(г дп дп'~ 1 1 дР (г~ >3> (13) Это дает нам второе свойство гармонической функция: значение гарлгонпческой функции в любой точке внутри области выражается через значения атой функции и ее портальной производной на поверхности облас>пн фора>улой (13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
