Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Они дадут: +со +со ч(х)= ~ А(й)а(пйхдй, (у((х)= ~ адВ(й)а!«йхдй. (149) — со со Сравнивая вти формулы с формулой Фурье для нечетной функции +со со 1 у(Х) = — ~ ~ ~ у'(Г) ян ат дт1 ян аХ дас -оо о так называемые обобщенные решения. В томе [с) мы покзжем, что теорема единственности имеет место и в этом более широком классе обобщенных решений. 570 гл. чп. твдвнинни мдтвмдтнчвскои Фнзнкн мы определяем функции А(д) и В(д): ртзз А(й)=- ~ р(Е)япйраЕ, В(й)= — ~т,(Е)зйтйЕтРЕ, 1 Г 1 г и, подставляя в формулу (!48), получаем решение задачи 1 Г(ГГ 1 а(х, т)= — а!11)ьт(Е)сшайг+ — „Р,(Е)з!цайт 1а!ой! зшйха ~ атй, или, принимая во внимание четность подынтегральной функции, как функ ции от д: 2Гр ГГ 1 а(х, т)= — ! ~~ т(Е)созайр + — р,(Е)япадт ~ яп йраЕ ~ашдхдд.
предельную задачу для полуплоскостн у гм 0 с предельным условием н! и любыми начальными условиями ди! и! = р(х,у), — ~ = р,(х,у) !т о дт !т-о ( — со < х < + оз; у ~ 0). (150) (151) Нетрудно проверить, что решение задачи будет давать формула (80) прн условии нечетного продолжение функций Ч(х, у) и ч,(х, у) по аргументу у на промежуток ( — со, 0).
Действительно, при у =0 йервое слагаемое формулы (80) может быть написано в виде !' (1 тт (а, 8) ар аа, 2ла 1 Ь д ф' аттт — (а — Х)т — !)т и внутренний интеграл равен нулю при любых х и т, нбо подмнтегральная функция есть нечетная функция от Р. Совершенно аналогично и второе слзгасмое формулы (80) обрашается в нуль, так что условие (150) действительно выполнено.
Мы могли бы н для рассматриваемой задачи применить метод Фурье, используя представление функцнидвукпеременныкинтегралом Фурье. Проверка тождества полученного таким образом решения с решением, определяемым формулой(80), представляет ббльшие трудности, чем в линейном случае. Совершенно айалогично можно рассмотреть волновое уравнение в полупространстве л)0 при предельном условии я=О при Нетрудно, пользуясь формулой Фурье, убедиться в том, что правая часть втой формулы совпадает с правой частью формулы (!7) при условии нечстности р(х) и тт(х). Совершенно аналогично можно рассмотреть в случае уравнения 671 ты] а и.
твлегвлвнов ввлвнвннв ф 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 194. Основные уривиения. Оба изложенных выше способа: характеристик (Даламбера) и стоячих волн (Фурье) с успехом применяются и при исследовании так называемого телеграфного уравнения, которое илгеет основное значение в теории распространения квазистационарных электрических колебаний по кабелям. Пусть имеем цепь, состоящую из прямого и обратного проводников длины Е Мы будем считать, что по всей этой цепи равномерно распределены рассчитанные на единицу длины омическое сопротивление Я, самоиндукция л'., емкость С и утечка изоляции А, чем этот случай отличается от разобранного в [1, 181), когда мы имели сопротивление, самоиндукцию и емкость сосредоточенными лишь в отдельных точках цепи, а остальными ее частями мы пренебрегали.
Обозначим через о и 1 напряжение и силу тока в сечении цепи на расстоянии х от конца х=О. Эти функции от х и г связаны двумя дифференциальными уравнениями, которые мы сейчас выведем. Применяя закон индукции к элементу Ых цепи, мы должны написать, что падение напряжения в этом элементе дв о — (о+ гЬ) = — гЬ = — — зх дк складывается из омического )с г(х 1 в индуктивного ь0х —, или, д! разделяя на г(хс ~„+(. д, +)~(=О. (1) Далее, разность между токами, входящим и выходящим из элемента ах, т.е.
1 — (1 + й) = — вгг = — — Ых, дГ дк складывается из токов заражения Сдх — и утечки А г(х в что дв дг дает дГ дв дк дг +С вЂ” +А =О. (2) Весьма важное значение имеют предельные условия, которые должны выполняться на концах цепи. Если конец цепв открыт, то в этом конце мы должны иметь 1=О (при х=О или х=ф л = О. Метод Фурье применим и лля решения волнового уравнения для безграничного случая, когда имеются только начальные условия. Но его применения приводят к более сложным вычислениям, чем те, которые мы примеяяли выше. Вообще, если в конце цепи включенз внешняя злектродвижущзя сила Е, сопротивление г и самоиндукция Х, то в атом конце мы должны иметь и = Е+ г! + Х „— (при х = О или х = 1).
л1 (4) В частности, если, нзпример, один конец х=О поддерживается под напряжением Е, а другой х=у замкнут накоротко, мы имеем о)~-а=Е, о)„1 — — О. (б) 196. Установившиеся процессы. Скажем сперва несколько слов об установившихся процессах, когда внешние факторы, действующие на цепь, либо 1) постоянны, либо 2) являются синусоидальныии величинами, причем в первом случае мы будем считать э и 1 независящими от Е 1. В первом случае уравнения (1) и (2) дают нам — + )с1 = О; — + А о = О. (6) дифференцируя первое из зтих уравнений по х и принимая во внимание второе, получим л'о я'х' — — )САо= О.
(7) Функция э определяется сразу по способу, указанному в (26~, и мы находим о (х) = С,ела+ С,е- к (8) где Ь= у'йА. Определив э, находим 1 из первого из уравнений (6) 1(х)= — — — = — - (С,е — Се ). 1 г(о а гл -ал ддх )г При мер ы. 1. В случае пепи под постоянным напряжением Е на одном конце и накоротко замкнутой на другом мы имеем условия (5), нз которых определятся произвольные постоянные, втоляя1ие в формулу (8): С + С = Е, Сглы + С е- ы — О откуда Ела1 Сл — — ы — е ыэ Е Ел- а1 С л'а' — ! еаг — ел и и, подставляя в формулу (8), получим ла П-Ы л-а Н-М Е зн Ь(à — х) (1о,) айы 672 гл.
чп. твлвнения мАтемАтическон Физики 11И 573 э 1з. твлвгрданов кэдвнвнне и формула (9) дает Е -1/А ей Ь(1 — х) (10,) Ь' Я зЫЬ 2. Пусть теперь на нашу цепь действует синусоидальная внешння влектродвижушая сила определенной частоты а; мы можем тогда перейти от действительных физических величин к векторам, как это было сделано в (1, 180), и под вынужденныьпг колебаниями будем понимать синусоидальные колебания напряжения и тока цепи той же частоты и.
Вспомнив правила из (1, 180) и введя векторы тока 1 и напряжения Ч, которые в рассматриваемом случае зависят от х, мы перепишем систему дифференциальных уравнений (1) и (2) в виде — +()1+ 1«ь)1=0; (11) Дифференцируя первое из этих уравнений по х и пользуясь вторым. исключим 1 и получим д«Ч —, — (Р + га).) (А + 1«С) Ч = О, дха и совершенно такое же уравнение, как нетрудно показать, можно получить и для !. Стало быть,! и Ч являются решениями одного и того же дифференциального уравнения 2-го порядка. Применяя способ (28) и положив ()2 + 1«Е) (А + Ь«С) = к', (12) имеем Ч = А е»»+ А е-«» (13) гле А, и А,— произвольные постоянные векторы.
Подставив это в первое из уравненйй (11), определим вектор — — = ~l . (А,е «» — А,е*») 1 дЧ /А+1«С (14) )(+Ыд У' )1+Ы Для окончательного решения задачи нужно определить постоянные векторы А, и А„что можно сделзть, воспользовзвшись двумя предельнымп условиями (о начальных условиях здесь, конечно, говорить не приходится), причем вместо того, чтобы дать по одному условию для каждого конца в отдельности, можно ведать два условия для одного н того же конца, например, задать там и вектор напряжения и вектор тока. Как бы то ни было, формулы (13) и (14) определяют векторы вынужденных колебаний, которые зависят от х, т.
е. меняются вдоль цепи как по ампдитуде, так и по фазе. Изображая каждый вектор (ш + и1) точкой на плоскости комплексной переменной н меняя х от 0 до А мы получим для Ч и ! две кривые — векглорныг дяаграымы напряжения и шока. При определении вида втих кривых нужно помнить, что х есть, вообще говоря, число комплексное; положив к=а+ЕЬ, мы имеем Ч = А,а«»(соз Ьх+1а1п Ьх)+ А,е «»(сов Ьх — 1 пи Ьх). Каждое из слагаемых в правой части дает спираль (1, 183), и Ч получается путем „геометрического сложения" этих двух спиралей; радиус-вектор точки кривой Ч, соответствующий какому-нибудь значению х, равен геометрнческой сумме радиусов-векторов точек зтих двух спиралей при том же значении х. То же можно сказать и относительно вектора !. Вводя мно- житель -, /)!+ !чА '= Г А+1 С ° (15) который называется волновым еопроюивлением, можно написать выражение для Ч и ! в виде Ч =А,е" з+ А,е ", ! = — (А,е "л — А,е* ).
1 (!6) ч Если мы перейдем от векторной формы к обычной, то получим для ис- комых функций о и ! выражения вида о = У(х) а]п [ив+ ф(х)], 1=!(х) а]п [ив+у (х)], (17) которые и дают гармонические колебания той же частоты ч, что и у внеш- ней силы, и в которых амплитуды У(х) и !(х) и фазы ф(х) и т(х) зависят от положения рассматриваемого сеченив цепи. 3, Цепь лод еинуеоидальным напряжением на одном конце и оюкры- юая на другом.
Данный на конце х=О вектор напряжения обозначим че- рез Ч. Кроме уравнений (11), мы имеем еще предельные условия Ч] =Чы !] =О, которые, в силу формул (16), дают нам Аз+Аз — — Чз Азе "1 — А,е"1=0 Решая ати уравнения и подставляя в (16), находим без труда Ч=Ч, Ч спх(! — х) Чз Бйу.(à — х) з сыч! ' т сйа! При х=О мы получаем комплексное сопротивление в точке х=О в виде с11 х! тз — ч зал! ' !96. Устанавливающиеся процессы. Сравним между собой два типа вынужденных колебаний в одной и той же цепи под действием различных внешних факторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
