Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Для мембраны же может оказаться, что одной и той же частоте соответствует несколько фигур мембраны с различными положениями узловых линий, т. е. таких линий, на которых амплитуда колебаний приводится к нулю. Проще всего это можно исследовать на примере нвадратной мембраны ) =ю=г. В атом случае частота м,,, определяется по формуле м = — Г'а!+!!=а Уат+тт, (115) ая где а= — есть множителгь не зависящий от а и т. Полагая а=в= 1, по! лучзем основной тон и„мембраны с частотой ю,! —— а Г' 2: ип =А)! а!п (мпт+йм) аш — мп —.
ях . яу г г Узловых линий внутри мембраны при этои не имеется совсем. Полагая затем а =1, а =2 нли а =2, чая 1, имеем двз других тона одинаковой частоты м!! —— мт! —— а У 5, именно ях . 2 ау и!л = М! жп (мыт + тта) пп — ми —, г г 2 их . лу и>, — — тУ„в)п (мы!+ рщ) з)п — в)п —. Г Г Эти формулы суть не что иное, как разложения функций т! и т! в двойные ряды Фурье, и коэффициенты а и Р определяются, как нетрудно видеть, по формулам бб8 ГЛ. Ч[п УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ [|вт Узловые линни втих простейших колебаний суть соответственно г у= — илн х=— 2 2 По, кроме колебаний иы, и|п существует еще бесчисленное множество других колебаний той же частоты ьы, которые получаются линейной комбинацией иы и ию.
Полагаи дла пРостоты Ты — — Т»=О, мы полУчаЕм колебание вида лх, 2лу 2лх, яу 1 ип я[[А[ ип — а[п — + 7Ч ип — ып — [ г г ' г г!' где я =вы =на>, 1Ч> =|Ч>а н А>>=А[». При А» =7Ча узловые линии определяются из уравнения лх, 2лу . 2лх . лу . лх лу! лх лут О= ип — аш — + ип — ип — =2 ип — з|п — [соз — +сов — [> г г г г г г[1 г г[[> что дает узловую линию х+у =г. При [Ча = — >Ч> точно таким же путем найдем узловую линию: х — у =О >Ч -->У л | А>л А| I а л л Рис. !27 Эти простейшие случаи изображены на рис. !27. Более сложные узловые линии при той же частоте мы получим, когда АГ> ф.+- АГ, и А[„АГ> фО. Все они имеют уравнения вида лх лу [Часов — +1Ч> соз — =О.
г ' г Полагая теперь а=2, | =2, получаем единственный тон частоты ма> = а '[Г8> узловые линии которого суть (рис. 128): г г х= — и у=— 2 2 Следующий случай ч=1, ч=З, а=й, ч=! приводит опять к бесчисленному множеству колебаний одной и той же частоты в>|= ма| — — а [/[О. Ик узловые линии в простейших случаях, аналогнч- 559 тэа) % !7. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ // -д ял! -р! !Ул Л~ л л л ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! о/-!з)/д Рис. 128. от-и[дд Рис. 129 191. Круглая мембрана. Случай круглой мембраны дает нзм пример разложения данной функции по функциям Бесселя,— пример, который важен и потому, что такие разложения встречаются в других весьма взжных задачах математической физики.
Итак, мы исследуем свободные (собстагиние) колебания ггруглоб мембраны, контур которой есть окружность радиуса / с центром в начале координат. По-прежнему мы считаем, что на контуре мембрана не смещается. Вводя вместо прямоугольных координат (х, у) полярные (г, 6), мы имеем тогда и[,,=9. Как н в случае прямоугольной мембраны, будем искать частные решения уравнения (105) вида (а г+йа)п /)0 но только будем считать, что функция 0 выражена через (г, 6), а не через (х, у). Для функции 0 мй получим то же дифференциальное уравнение дЧ/ дЧ/ дх' ду' — + — +И0 О, (116) но только нужно преобразовать его к новым переменным (г, 8). Для этого достаточно выразить оператор Лапласа д а+ д0 д0 (!12) в полярных координатах. Мы знаем, что оператор Лапласа от трез леременных д'0 дЧ/ д'0 д0 ~+ -+д; —, выражается в пнлнндрическиз координатах в виде [1ЗЦ: Считая 0 независящим от л, выразим (117) через полярные координаты.
В дальнейшем длину радиуса-вектора мы буден обозначать буквой г ных случаю с частотой аы = ал! =а )/5, изображены на рис. 129. Все зги фигуры представляют собою не что иное, как известные из акустики хладниевы 1ригуры. Вынужденные колебания мгл!драны исследуются совершенно так же, как и вынужденные колебания струны, с тою лишь разницей, что внешняя сила /г(х, у, Г) разлагается не в простой, а в двойной ряд Фурье. 560 ГЛ.
ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гтэ! вместо р, а полярный угол — буквой Е вместо Ч: дЧ/ д'0 д'0 1 д0 ! д'0 + — в- = — + — — + — —. ах' ду дг' г дг г' де' ' Уравнение (116) перепишется так: дЧ/ 1 д0 1 д 0 дг' г дг г' дев — + — + — — + Вв0=0. Ищем его частные решения в виде произведения что дает г' Тс" (г)+ г/Г' (г)+ Авг'К(г) К (г) и, наконец, т (Е) + Лат(е) = О, 1 Лвт /1 (г) .(- — Д' (г) + ! Ав — — в ) /1(г) = О.
г г') (118! (! !9) Уравнение (!18) имеет общее решение вида т(В) = С сов ЛЕ+овтп ЛВ, и так как функция 0 по самому смыслу залачи должна быть однозначной периодической функцией от В с периодом 2к, то тем же свойством должна обладать и функйия Т(Е), что возможно лишь при условии, что Л есть число целое. Ограничившись только положительными значениями Л, мы должны считать Л=О, 1, 2, ..., и, ... и соответствующие выражения для функций Т(Е) и /Г(г) обозначим через Т,(В), Т,(е), Т, (Е), ..., Т„ (е), ...; /Гв (г), Р, Гг), /1в (г), ..., /Гв (г), ... Таким путем мы получаем бесчисленное л~ножество решений уравнения (105) вида (» сов нт+ 8 ип ьт) (С сов пэ + 0 в(п яе) /Га (г) (и = ад). (120) Функция Ка(г) удовлетворяет уравнению (1!9), если там заменить Л на л: тел (г)+ — /са(г)+ (А' — -в) ыя(г)=0.
(121) Как мы виделн в (49$, общий интеграл этого уравнения будет Дв(г) = Ст/ (Вг)+ СвКл(дг! (! 22) где /„(х) — функция Бесселя и К„(х) — второе решение уравнения Бесселя, которое обращается в бесконечность при х=О; так как по самому смыслу задачи искомые решения должны оставаться ограниченными во всех точках мембраны, в том числе и в начале координат г=О, то в предыдущей формуле длв /Гв(г) член сКя(йг) должен отсутстаоэаттч т.е.
С, = О. Не ограничивая общности, мы можем считать С, = 1, т. е. положить /Гя(г) =/я(дг), (123) т(еф» (г)+ или Т" (В) Т (В) 0(г, В) = Т(В) ° /Г(г), †, /Т (г) + А' /Г.(г) ~ + †, т" (Е) /2(г) = О, 1 1 1 561 8 Н ВОЛНОВОЕ РРДВНЕНИВ тв~ н тогда предельное условие дает (124) Положнв йт = р, мы получаем трансцендентное уравнение для определенна р (125) которое, как зто доказывается в теории функций Бесселя, имеет бесчисленное множество положнтельных корней (л) (л) (л) (л) (126) которым соответствуют значения (л) ) (л) ! (л) й(л) й(л) ! м а "л л) парзметра Д н, в силу (107), значения «,а=ай'") (Я=О, 1, 2, „ш=!, 2, ...) (127) (128) частоты м, Первые девять корней первых шести функций Бесселя дани в нрнлагаемой таблице Следу)ощне корни могут быть вычислены по прнблнженной формуле: = — л (2« — 1 + 4Г«)— (л) 4«' — ! и 4 я(2л — 1+ 4ш)' (129) которая прн данном л будет тем точнее, чем больше ш.
Мы не можем здесь входить в обоснование формулы (129), Из формулы (12О) вытекает, что полученные намн частные решения можно представить в виде («м «с(м«м, лт + «ми' л а!и ««ь лт) сов«8 2«(йл Г)+ + (рм, л соз «ль «Г+ Рм, л зш м«, лт) мп пв ул (йщм~г) (130) (ж, м=1, 2,...), Заметим еще, что прн Л =0 уравнение (!18) ннеет решения — постоян- ное н 8 Второе рсшснне не годятся, как не перноднческое. В нервом 2,404 5,520 8,654 11,792 14,931 18,076 21,212 27,494 3,832 7,0! 6 10,173 13,323 16,470 19,6! 6 22,760 25,903 29,04? 5,135 8,417 11,620 14,796 ! 7,960 21,! 17 24,270 27,42! 30,571 6,379 9,760 13,0! 7 16,224 19,4!0 22,583 25,749 28,909 32,050 7,586 11,064 14,373 176!6 20,827 24,018 27,200 30,371 33,5! 2 8,?80 12,339 15,700 18,982 22,220 25,431 28,628 31,813 34,983 662 ГЛ.
Чп. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ 113! случае формула (120) дает решение (а1щ О соз ащнс+ а1щ1оз(п ащ,а с) Уэ (йщю !'). Это ешение также имеет вид (130) (при я=0). ам остается теперь только удовлетворить начальным условиям ди ~ «1! о т1(г~ 6) — ! -Та(г 6). дС ~! о (131) С втой келью, приняв во внимание полученные частные решения, мы ищем и в виде двойного ряда п(г, В, с)=* ~ , '(а!11„соя ащ,и с+ и!а! О)п а,и!)совий ° У (61и1г)+ и О щ 1 ОЪ + ~ 6)~~ соа ащщ С+3!а!и ми ам и!) пп пз ° Уи(й~~~г).
и О щ ! Вычислив СО ащ и (и~~и соа ащ,и! — ищ и аш ащщ С) совий ° 1и ("щ г)+ дС аы и "О щ 1 .( '~~ а„„(61З! СОЗа,иС вЂ” 3111„а!Паж,иг)ай!яй у, (й'„и'Г) о щ 1 1,(Г, 6)= ~ (и! ! СОЗЛВ+р! !и а!ППО)Г' (61и! Г), и О щ ! <О 6~(г, 6)= ~ ащи(и!!,с1мпВ+31з!иайапй)/„(й!и!г). и=о щ 1 (132) разлагая функпню ч!(г, В), как периодическую функпию ох В, в обыкновенный ряд Фурье, мй имеем 601 6,(~, 6)иа — + ~ «рн' оа О+ф~~~а)~ ВЕ и 1 где 6~,1= — 1 В,(г, 6)созпВЕО, 61,'= — 1 В!(г, 6)мппздз (п=й, 1,2,„,). (133) 1 р и ° д!' и положив в этих формулах С=О, мы, в силу (131), приходим к разложению данных функпий ч,(г, 6) н Та(г, 6) в двойные ряды вида 563 тэц % !т. ВОлнОВОе уРАВнение Сравнивая это разложение с первой из формул (132), находим без труда и=! и Г л! =! (134) Коэффициенты Е™ и ф'и очевидно зависят от г, как это показывают их выражения (133).
Мы приходим таким образом к задаче о разложении данной функции от г в ряд по функциям ул(Айаг) — прн фиксированном и. Имея эти разложения, мы определим коэффициенты к и р, и поставленная задача будет решена, Итак, пусть требуется разложить данную функцию г"(г) в ряд вида л! ! (135) Допустив, что разложение это возможно и может быть иятегрируемо почленно, мы покажем только, как определить коэффициенты А . Для этой цели мы докажем, что функции У (А!а! ) У (! !л! ) а, фл! .) обладают свойством обобщенной орл!огонлльности, а именно: /„(д!ал г) Ул (А!!! г) г !тг = О при а ф т. (136) Действительно, уравнение (!21), если в нем заменить да на А!ар и А!,"' и соответственно )сл(г) на Ул(А!"! г) и Ул(Д~"!г), дает нам л( а )+! л( а )+(А!л!а и )у (д!л! !ага г туг а Га л ° т(аУ„(Д!л! г) 1,(Ул (й!л! ! ), „а т!г' г !)г Га) л а умножив первое уравнение на г/л(д!л!г), второе на г/л(дш!г), вычитая и интегрируя по г от О до 6 получим 564 гд. чп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
