Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Нетрудно показать, что эта поверхность будет огибающей для семейства сфер, имеющих центры на поверхности (а) и радиус аб Постоянная а является, как мы видим, скоростью распросгпранснии фронта волна. 646 Гл. чп. ТРАВиения мАтемАтическОЙ Физики 1!за й(ы можем рассматривать это решение, оставаясь исключительно на плоскости ХОУ.
А(ля этого нам надо интегралы формулы (76,), которые берутся по сферам, преобразовать в интегралы по кругам на плоскости ХОг'. Возьмем точку М(х, у) на плоскости ХО)'. Точки с координатами (а, Р, 7), определяемыми по формулам (77) при а=О, суть переменные точки сферы (8„) с центром М(х, у, 0) и радиусом ай Элемент плошади поверхности этой сферы будет а(8„=»'Тай,а. Части этой сферы, находящиеся нзд и под плоскостью ХО); проектируются на плоскость ХО)' з виде круга (С»1) с центром М и радиусом ай Элемент плошади проекнии г(С»1 связан с элементом площади поверхности сферы лз„формулой [66]: аР »С соа (л, а) где л — направление нормали к (8»,), т.
е. радиуса этой сферы, образующее острый угол с осью ОУ. Если Ф вЂ” переменная точка сферы, Ж, — ее проекция на плоскость ХО); то из элементарных геометрических соображений ясно, что соз(л, 2) — =' ил~, )' Л4М где (», р) — координаты переменной точки круга (С„). Подставляя все это в первый из интегралов формулы (76,) и принимая во внимание, что круг (Са,) получится как от верхней, так и от нижней части сферы (С„), мы получим следующее преобразование первого интеграла формулы (76~): ТГГ 1 4 — ~ У(» 7)»1 =4 ааа~~'Г(» Р)»8.,= а <3 р 2»а ~,) у'аы1 (а х)а (р у)з ае 1 аг1 Применяя то же преобразование ко второму интегралу и обозначая элемент плошади»С„на плоскости ХОг' в виде г(»»р, мы получаем окончательно следующую формулу для искомой функции, удовлетворяющей уравнению (78) и условиям (79): ,1,) )/ аааа — (а — х)1 — (З вЂ” у)1 1 1 547 $17. ВолноВОВ уРАВнвннв Положим, что начальное возмущение огрзничивзется некоторой конечной областью (В) на плоскости ХО)' с контуром (!), т.
е. !р(х, у) и рг(х, у) равны нулю вне (В). Положим, что точка М лежит вне (В). !г Для моментов времени 1( —, где с( — кратчайшее рзсстояние от М до контура (7), круг (С,) не имеет общих точек с (В), функции р(х, у) и рг(х, у) равны нулю во всем круге (С„), и формула (80) И дает сс(х, у, г)=0. В момент 1= — в точку М придет передняя а 0 фронт волны. Для значений С) —, где Π— наибольшее расстояние от М до точек (7), круг (С„) будет содержать внутри себя всю область (В), и интегрирование в формуле (80) надо совершать просто по области (В), так как р(х, у) и рг(х, у) обращаются в нуль вне (В), т. е.
и(х,у, !) —,, + 2ва,],! )Г ялга (к х)л (Р у)а 'гв! 186. Случай и-мерного пространства. Полученные в [!84[ результаты непосредственно обобщаются на случай любого числа измерений. Мы будем рассматривать л-мерное пространство с координатами(ко х„ ...,х„). Объем сферы радиуса г в таком пространстве определяется формулой [97[: (2к) 2 ° 4 ° 6... (и — 2) ° л л+! л — ! 2ав в" (г) = 1. 8. б... (л — 2) и г (и — чети о), (и — нечетио). В данном случае, после прохождения заднего фронта волны в момент В т= — функция и(х, у, г) не обращается ни в нуль, как в случае трехмерного пространства, ни в постоянную, как в случае струны. Но ввиду присутствия лага в знаменателе мы можем все же утвер. ждзть, что и(х, у, !) будет стремиться к нулю при беспредельном возрастании б Говорят, что в рассматриваемом случае имеет место явление диффузии волн после прохождения заднего фронта. Мы провели все рассуждение, оставаясь на плоскости ХО)'.
В трехмерном пространстве уравнению (78) соответствуют так называемые цилиндрические волны. б48 ГЛ. Чн. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЭИКИ (тш )уифференцируя атн выражения по г, мы получим величину площади поверхности сферы: (2я) и-! 2 гт;6.) )) и+1 и — 1 2 2 2 я и 1 1 3 5...(п — 2) (я — четно), (я — нечетно). а, =.
с)мВП ат = аш О, с)м ОЯ а =япВ а!пз созВ1, аи-а — — Яп 01 а!и О, ... Яп В„а стя Ои а, а) 1 з!ПО)зшВ» ... шпет асозэ ли = ЯпВ) а1п01 ... а1пВи аз)па) где О.-ВА(я, О(6<2я. Элемент плошади поверхности единичной сферы (ат) будет д)а=з)П» 6)ЯП Оа .. ЯПОи тд0)дОа ... дзи лд!! н для сферы (аг) радиуса г: д а=ги 'д,а. Положим, что в пространстве )т задана функция и с непрерывными производными до второго порвдка. Ее среднее арифметическое по сфере с центром (х„..., хи) н рздиусом г будет определяться формулой 1 о(х), ха, ..., хи, г)= —, 1 ...
~ и(х,+ а,г, ха+ааг, ..., хи+ аиг)д а (ат) или 1 и(х), ха, ..., хи, г) = — ~ .. ° ~ и(х)+ а)г ха+ ааг хи+ аиг)д а. и г) (а ) Совершенно так же, как и выше, мы можем показать, что функция о удовлетворяет дифференциальному уравнению д'о и — 1 до — — До+ — — = О дг' г дг и начальным условиям до1 о! =и(хн ..., хи), —.~ =О. !г в ог~ в Пользуясь указанным результатом, можно получить окончательные формулы для волнового уравнения с любым числом независимых переменных.
Мы приведем в общем случае лишь окончательные результаты. НапРавлЯющие косин)сы ал РадиУсов сфеРы выРажаютсл чеРез (и — 1) У)лов по формулам 549 %!7. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Решение волнового уравнения д'и , д'и д'и д'и « (8!) прп начальных условиях ди! =а(Хо Ха ..., Х«) дт!р в и~ =о, при нечетном и имеет лил «-з и(х7,..., х«, т) = ! 8 2 ' «-л (т ' Т«7 (а(х!))) (82 ) 2 д д (гл) где Тр (а(х!)) — среднее арифметическое от .функции а(хо ха ...,х„) по сфере с центром (хп ха..., х„) и радиусом р. )(ля проверки формул (82,) и (82«) нам достаточно потребовать, чтобы функция а(ха ха...,х„! имела и+1 при нечетном н непрерывные производные до порядка — и при чезпоч н 2 и+2 до порядка — .
2 (87. Неоднородное Волновое уравнение. Рассмотрич неоднооодное волновое уравнение (83) в безграничном пространстве, и буден искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям и! =О, — / =О. (84) Добавляя к этому решению решение однородного уравнения, удовлетворяюшее начальным условиям (75), получим решение уравнения (83), удовлетворяющее условиям (75).
Для решения поставленной выше задачи рассмотрим решение однородного уравнения (85) и при четном и и(ха..., хга т)аа « — т ар 2 а д 2 4... (н — 2) дл,) в г д з а (г™ Тг (а (х!))) дг, (82«) т« — гр д (г') х 560 ГЛ. Чи, УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ пат где а1=З1пбсоаср, аа=а1пйа!по, а,=соаб. (88) Отметим, что функция в, кроме обычных независимых ных (х, у, 2, (), зависит от параметра т. Определим теперь и(х, у, 2, () формулой и(х, у, 2, () = ~ в(х, у, 2, (; т)е1т о перемен- функцию (89) и покажем, что она удовлетворяет неоднородному уравнению (83) и нулевым начальным условиям (84).
Мы имеем 1 — — в1ч+~(х, у, 2, Ф, т)! Ь Внеинтегральный член равен нулю в силу первого из условий (86). Дифференцируя еще раз по 1, получим д'и (' д'го(х, у, 2, 6 т) дго(х, у, а, Г; а) причем полученный внеинтегральный член равен 7(х, у, 2, г) в силу второго из условий (86), т. е. д'и Р д'га(х, у, 2, Г; а) дта ~ дта ~+1 (Х, У, 2, а).
Прн дифференцировании выражения (89) по координатам доста- точно дифференцировать подынтегральную функцию I Ди=)ДЮ(х, у, 2, Т; )дт. а удовлетворяющее начальным условиям ) =0, ф) =У(, у...), (86) причем в качестве начального момента взято не 8 = О, а г = т, где т — некоторый параметр. функция ы будет выражаться формулой Пуассона, но только в этой формуле мы должны заменить г на (1 — т), поскольку начальныи моментом времени является не ~= О, а 1 = т.
Мы будем иметь таким образом га'(х, у, 2, (; '1)= ~ ~ 7 [х+ а1а (1 — т), у+ вал (( — т), 2+ ааа (1 — т), т) а11о, (87) Ъ о 551 вп. волновое квдвненнв Из двух последних формул и уравнения (85) непосредственно вытекает, что и удовлетворяет уравнению (83). Начальные условия (84) непосредственно следуют из формул (89) и (90), если принять во внимание, что в формуле (90) внеинтегральный член равен нулю, как было указано выше. Таким образом формула (89) дает решение уравнения (83) при начальных условиях (84). Подставляя в (89) вместо функции тв(х, у, л, 1с.ч) ее выражение (87), получии и(х, у, л, 1)= =.-1«- 11) '-«- ' — '"«- ~ 1' 1 Г о Это выражение для и преобразуем к другому виду.
Вместо т введем новую переменную интегрирования: г= а(1 — т). Совершая замену переменных, получим и(х, у, л, 1)= 1 ГГГ га =4 —, ~ Д ~ У~х+а,г, у+аяг, и+ ааг, Š— — ) Гз!пз ЙГЫ) 6(у, о или, умножая и деля на г; и(х, у, з, 1)= ш а~ ~у х+а~г, у+а г а+а~г 'г.ьвю. еЕ я) о Принимая во внимание формулы (88) для а„и вспоминая выражение для элемента объема в сферических координатзх, мы видим, что входящие в последнюю формулу три квздратуры равносильны тронному интегралу по сфере Р„ с центром (х, у, г) н радиусом ак Вводя переменную точку Е=х+а,г, '4=У+аяг, ь=з+а,г, и, принимая во внимание, что а1+а1+а)=1„получим г=) (1 — х)я+(4 — у)'+(С вЂ” з)', и выражение для и запишется окончательно в виде г) и(х,у, л, 1)= — „~ ~ ~ ~ аl ги (91) "маг 552 ГЛ. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ 11ат где неравенство г а=а1 характеризует упомянутую выше сферу Р„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
