Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 100
Текст из файла (страница 100)
(53) л ! Функция у(х, !), рассматриваемая как функция от е, может быть разложена в промежупсе 0(л(1 в ряд Фурье в виде т (х !) = ХУ,(!) з!п 1, л ! дам даи! др длл ' и!]„а=о, тя],~=0, дэ! =У(л), д— ,] = Р!(х) и дает свободное колебание. Составив сумму и=о+ю, мы убедимся без труда, что она дает решение нашей задачи, т. е. уравнений (46), (47) и (48).
Методы нахождения свободных колебаний и! были указаны в предыдущих номерах, так что здесь мы остановимся только на нахождении функции тх Как и в случае свободных колебаний, мы будем искать функцию э в виде ряда э(х, !)= ~~~~ Т„(!) з!и —, (52) л ! 586 Гл. чп. уРАВиения мАтемАтическои Физики !газ коэффициенты которого 7"„(!), определяемые по формулам ! Тл(!) ! ~ У(2, !) з!п — гт2, о (55) зависят от Е Сравнивая разложения (53) и (о4) для одной и той же функции 1(х, 1), мы получаем ряд уравнений Т„"(г)+ы„х Т„(!)=У„(!) (л=1, 2,...,), (56) определяюших функции Т,(!), Т,(!),... При таком определении Тл(!) функция (52) удовлетворяет дифференциальному уравнению (49) и предельным условиям (50). Для удовлетворения же оставшимся начальным условиям (51) достаточно подчинить функции Тл(!) этим условиям, т.
е. положить Тл (0) = О, Т„(0) = О, (57) ибо тогда ясно, что о! = ~' Т,(0) а!п — '= О, — ~ = т~ Т„'(0)зш —,' = О. ! о =,~, л - ! — ° дт!, о=а~„л л ! л ! Решение уравнения (56) и (57) было указано в [291, откуда не!рудин вывести с Тл(!)= — ~ Тл(т) Згп мл(! — Ч)«-~ 1 лл д или, подставляя выра!кение (55) для У„(т)! ! ! 2 !' с ллг Тл(!) =:д! ОГЧ д!Т(2, т) З!ПФ,(à — !) З!П вЂ”" а(2. л а а (58) Мы рассиогрии этот случаи неоднородности в предельных условиях в томе !Ъ'. Подставив это в (52), мы и получим выражение о(х, !).
Нетрудно показать, что если 7(х, !) имеет непрерывные производные до второго порядка и у(0, Г)=Т(/, !)=О, то сумма ряда (52) есть решение задачи (49) — (5!). До спх пор мы рассматривали неоднородность или в начальных условиях (у фуикппп ти), илп в дифференциальном уравнении (у функ- в!и о). Естественно рассмотреть пеоднородносгь и в предельных услсьпях. С ппая уравнение н начальные условия однородныии и обозначая искомую фупкцшо опять буквою и, мы получим следуюшую задачу: д'и .,д'и ! ! ди ~ —,=ао — л и! =Ф(!), и! =аа (!), и! = — ~ =О. д!' дли ~~х=о ' !х=-! ' !г-о дг !г-о 587 тзз) аст. ВОлнОВОе уРАВнение 183.
Сосредоточенная сила. Исследуем формулу (58) дая силы, сосредоточенной в одной точке С (х = с). Всдичнну этой силы мы обозначим не через Р, как это мы делали в (176], а через ЕР. Как было указано [178), этот случай люксно рассматривать как предеаьный того случая, когда сила Р действует только на малом промежутке (с — Ь, с + Ь) и тем самым равна нужо вне этого промежутка, причем полная величина силы с+а Р (а, С) с(г 1Р (С) прн Ь О. с — а По формуле (4) имеем с-(.а Х(7 Г) с( Р(г) лги з О.
с — а Принимая во внимание, что по условисо у'(-,С) равна нулю вне промежутка с — Ь~г(с+Ь, и пользуясь первой теоремой о среднем 11, 85), причем предполагается, что Г(а, С) зпакопостоянна в промежутке с — Ь(а(с+Ь, получим с с+а ягг пяз пяб Т(г, с) з)п — оса = ~ у(т, с) а)п — сса = ап — ~ г'(г, г) с)а, о с — а с-а где 5 есть пекоторос зссачснпе из промежутка (с — Ь, с+а). В пределе, нри Ь О: пяг пас у'(л, С) з)п С с(а Р(С) а)п С ° о и тогда функция Т„(с), определяемая как предел выражения в правой части (58) прн Ь О, обратится в с 2 .
пяс Г Т„ (С) = — ып С ~ Р (т) з)п кя (à — т) Кт, о а выпулсдсннос колебание определится по формуле Чт 2 ляг Г яях о(х,т) = 7 — ап — ~ Р(т) з!ссма(С вЂ” т) сут ° з)п —. (59) Эта формула показывает, что в вынуждснссых колебаниях могут отсутствовать некоторые обертоны, пмсгио те, длз коих асп — = О. ! т. е.
те, которые нмсют узел в точке С приложения силы. 838 Гп. ЧП. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ паз Остановимся на случае гармонически колебл!ощейся вын) жаающей силы, когда нужно будет положить Р (!) — Ро зн! (кт + Чо) Р (!) = Р, яп кт. Формула для Т„(!) даст тогда Р, . пкс о" Тл (Г) = — ' 5|п — ~ 2 яп кт 5)п к„(à — т) о(т =* Р, . »шс о" 51п ~ (с05)кяг (кя и) т! соз(ко! ("»а+ н) т))»(тек ~кл о — 2кРо . лкс 2Р,, лкс о 51П вЂ” 51П Клт + а 5!П вЂ” 51П К$'. )кл (кл к ) )(кк к ) Если частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из частот кк собственных колебаяий, все знзменатели (к„— яо) отличны от нуля; но если к приближается к одной нз частот ью соответствующий знаменатель уменьшается и член Т„(!) становится весьма большим по сравнению с прочими, т.
е. происходит явление резонанса. Наконец, если к =ко, то предыдущее выражение для Т„(Г) теряет смысл и должно быть заменейо другим. Подставив полученные выражения Т„(!) в орормулу (82), имеем пкс 51П— ), лкх о ЯП о»л! 51П вЂ” + о о л к — 2кР, жт ! «(» !) — о лу' ! л=! Первое слагаемое в правой части имеет вид свободных колебаний, второе же имеет ту же частоту, что и возмущающая силз. Отнеся первое слагаемое к свободным колебаниям ю(х, т), мы займемся только вторым слаоаемым, обозначив его через !»(х, !)! лкс 5!П— ! лкх 5)П вЂ”, ко ! а !'(Х, !) = — ' 5)П к! 2Р» л-! ко)о нлн положив а' =— » а'ко ' лкс яп— 2Р,! . Ът ! . пкх ) (Х, !)= о 5)пк)~~ ащ а'к' л" — к' л ! (ОО) илп, считая для простоты фазу э, = О, лкс " яп— 2Ро ~ч ! + — ' 5)Пк! ~» „51П— ! А,й , " ,о ! я=1 639 !еа! в н.
волновои врдвнкннв Сумма пке з(ив пях 3!и— па — ал 1 я=! (6!) так как внешних сил внутри промежутков (О, с) н (г, 1) не имеется. Далее, мы имеем условия закрепления концов: и, [„ о — — О, и, [„ , = О, (62) условие непрерывности струны в точке х = е: и1 1„=, = и. [„= „ (68) и, наконец, условие равновесия сил, действующих в точке х = с [176[: — — — = — — Р Я= — — РЯ'). диэ! ди,! р 1 (64) дх )~=~ дх )~=~ Т, аа Мы ограничимся только случаем гармонической силы Р Я = Р, яп шс и из вынужденных колебаний, ею вызываемых, выделим колебания той же частоты ш. Эти колебания мы ищем в виде и (х, 1) = Х(х) яп шт, где, однако, функция Х(х) должна иметь различные выражения в промежут- ках (О, с) и (с, 1), и в связи с этим мы положим: и,=Х,(х)япшг, и,=Х,(х)япшр.
(65) Подставив що в уравнения (6!) и (61,), мы имеем — ш' яп шгХ, (х) = а' Х'; (х) 3!п шг, то есть Х,"( )+ —, Х, (х) =О, ') В формуле (7) [176! при наших теперешних обозначениях нужно ди, ди, написать рРЯ вместо Р и — ', — ' вместо !т — ! дх ' дх 'тдх1».' (дх1-' может быть вычислена по способу, указанному в [172[, но мы, не останавли- вавсь на этом, укажем другое решение той же задачй, рассматривая сосре- доточенную силу не как предельный случай непрерывно распределенной, а непосредственно. Точка С приложения силы разбивает струну на два участка (О, с) и (с,1). Рассматривая оба эти куска отдельно, обозначим ординату первого участка чеРез и,(х, 1), втоРого же — чеРез и,(х, 1).
Дла этих фУнкций и, и иа мы получаем следующие уравнения ...: д'и, , д'и, — =а' — при О(х(с дР дх' ! —,=а' —, при е(х(1, (61,) 540 гл. чп. > Пдвнпннп млтпмдтнчпскон Физики (155 и аналогично »,>О Х: (х)+ —, Х,(х) =О, откуда О> О> и и Х,(х)=С;соз — х+С;яп — х; Х,(х)=С;сов — х+С„'5!п — х. Условия (62) да>от нач С; =О, С;со5 — +С;яп — =О, шг, . о»! а ' а и можно положить »11 С; = — С, сов — ' а ' ш (! — Х) Х, (х) = С, в>п— О вх Х, (х) = С, яп —, а Условие непрерывности (63) дзет тогда: вс и (1 — с) С 51П вЂ” яП о>! = С 51П а О а 51П О>1.
Остается только удовлетворить последнему условию (64), из которого получается в в(1 — с) и вс Р, — — С, сов 5!п в! — С> с>м яп в! О Яп вс, О а а а а' Итак, постоянные С, и С, определяются пз системы уравнений С, Яп — — Сз 5(п вс в (1 — с)»ос в (1 — с) Р =0; С,соз — +С,соз а О ' ' а а ав' откуда в (1 — с) Р 5!П о С,=— аш и! з(п— а вс 51П— Ро а С = —" ав в! в!п— а и Формулы (65) дадут тогда реп>ение зада >и в внле: и (! — с) 51П Р, а яп — 'япш! Прп 0 <х<с, а в! яп— а (бб) и(х, !) = вс 51П— и .
в(! — х) — яп Яп ис, ш! а яп— а прн с <х С!. Читатель проверит без труда тождественность реп>сияй (бб) и (60) длл У(х, !), разлаган (66) в ряд Фурье по синусам. »»! С; =Сов>ив а где С,— произвольная постоянная. Обозначая для симметрии произвольиув> постоянную С', через Сн мы получзсм 541 %!7. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ии1 184.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
