Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Соответствующее явление назовем распроепараненпела обратной волны. Величина а ееиь скорость распространенлл созмугценпй или «олебаний (поперечных), Формула (4) показывает, что Р т. е. что скоросгпь распространенна поперечных колебаний обрагпно пропорциональна корню квадратному из плотности струны и прямо пропорциональна корню квадратному из натяжеенпл. Указанное выше решение (18), которое является срелним арифметическим прямой волны 7(х — а() и такси м е обратной волны 7(х+а(), может быть получено следующим образом: строям тва одинаковых экземпляра графика и=7(х) при 1=0 и вообразим, что они налегают друг на друга, а ватсм раздвигаются в обе стороны со скоростью а.
График и в момент 1 полу ются как средняя грнфметическая раздвинутых таким образом грзфиков, т. е. этот график в момент Г булет делить пополам отрезки ординат ме>хду рзадвннутыми гргфикамн. пи) % П. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 521 Отметим, что в последующем примере не выполнено то условие малости 1Е а, которое предполагалось при выаоле Уравнения 161, и этот пример имеет качественный характер. Пусть, например, график т(х) имеет вил, изображенный на рис.
121: 0 вне промежутка ( — а, а), т(х)= х+а при — а(х О, х -а „й. а — х+а при О(х(а, эа На рис. 122 изображены графики а(х, Г) в моменты т а 2а Зл а ба 2а г= —, ла 4а' 4а' 4а' а ' 4а' а Проведем на плоскости две вззимно перпендикулярные оси: одну для переменной х и другую для й На рис. 123 нани отмечена однз ось Х. Всякая точкз нзшей плоскости определяется двумя координатами (х, Г), т. е.
такая точка характеризует определенную точку струны х н определенный момент времени й -а ~й. а г - а а га -га -ь — йаа а га га Рис. 122. -а' р гт Рис. 121. Нетрудно при этом определить грзфически те точки струны, начзльные воамунгениа которых дошли в момент гэ до точки х,. Это будут, аг Р= Рис. 123.
согласно предыдущему, точки с абсциссаыи хэ-г-а1э, так как а есть скорость распространения колебаний. Для нахождения нх на оси Х б22 Гл. Ун. уРАВнения МАтемАтическои Физики [1ж достаточно провести через точку (хм [,) две прямые х — а[ = ха — а[Ф х+ а[= х,+ а[„) (20) в+ег и (х, [) = ~— ) т'1 (е) [тг. 1 (21) и в пересечении их с осью ОХ и получатся искомые точки. Прямые(20) называются характерисигиками в точке (х, [ь).
Вдоль первой из этих прямых Ф(х — а[) сохраняет постоянное значение, т. е. эта прямая дает те значения (х, !), при которых прямая волна дает то же отклонение, что и при значениях (х, сь). Вторая из прямых (20) играет ту же роль для обратной волны. Можно сказать коротко, что возмущения распространяются по характерисаигкам. Применяя указанное построение„можем обнаружить следующие факты. Пусть начальное возмущение [гьгелось лишь в некотором промежутке (ан а,) струны (рис. 123), т. е. у(х)=0 вне этого промежутка. Ограничиваясь лишь верхней полуплоскостью (х, [), т.
е. [)О, которая одна имеет физический смысл, проведем характеристики из точек а, и аь оси ОХ, начерченные сплошными линиями. Эти характеристики разобьют всю полуплоскость на тесть областей. Область (!) соответствует таким точкам, до которых в данный момент доходит как прямая, так и обратные волны.
Область (!1) соответствует тем точкам, до которых в данный момент доходит только обратная волна; в область же (Ш), наоборот, доходит только прямая волна. Точки областей ([Ч) и (Ч) таковы, что к данному моменту до них возмущение еще не дошло. Наконец, до точек области (у'1) возмущение успело дойти и пройти через них, и в данный момент они находятся в состоянии покоя. Это ясно из того, что если через какую-нибудь из точек М этой области провести характеристики, то они пересекут ось ОХ в некоторой точке х= с вне отрезка начального возмущения, и, следовательно, значения ~р(х -[- а[)=[г(с) будут равны нулю. Кроме того, если провести через М прямую, перпендикулярную оси ОХ, то нижняя часть этой прямой, которой соответствуют при неизменном х более ранние моменты времени, пересечет по крайней мере одну из областей (!), (1!), (!П), а верхняя часть этой прямой, которой соответствуют более поздние моменты времени, будет вся находиться в области (Н!).
Этим замечательным свойством — приходить к первоначальному состоянию после прохождения волн — струна обладает не при всяком начальном возмущении, как будет видно ниже. 2. )тачальное смещен[ге равно нулю и имеется только начальный импульс. Мы получим тогда решение $17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 523 Если обозначим какой-нибудь неопределенный интегрзл функция 1 — р1(х) через Ф,(х), то получим п(х, !)=Фг(х+а!) — Ф,(х — а8), (22) т. е. также будем иметь дело с распространением прямой и обратной волны. Если начальное возмушение ограничивалось лишь промежутком (аь а,), мы получаем то же построение, что н в случае 1, с тем, однако, важным различием, что в области (Ч!) смешение будет уже отлично от нуля и будет выражаться интегралом «« 1 1" 2а,) гг( ) а~ )(ействительно, для точек облзсти (Ч!), по самому построению этой области, мы имеем х+с!)а, и х — ас(я„т.
е. в формуле (21) интегрирование нздо производить по промежутку, заключа1ощему (я„яя) внутри себя. Но по условию вне (яэ и,) функция ч1(а) равна нулю, так что остается интеграл лишь по (аи а,), и мы получаем для п(х, !) выражение (23), которое представляет собою некоторую постоянную. Таким образом действие начального импульса приводится к тому, что с течением времени точки струны будут сдвигзться на отрезок, длина которого Выражается интегралом (23), н оставаться без движения в этом новом положении. Можно истолковать еше формулу (2!) следующим образом, Пусгь точка х лежит правее промежутка (я„а,), т. е.
х)ая. При 1=0 промежуток интегрирования (х — аг, х+а!) вырождается в точку х, а затем, при увеличении 1, он расширяется в обе стороны со скоростью а. При !('— ' он не будет иметь общих точек с (ии а,), а функция яг (а) будет в нем равна нулю, и формула (21) даст и(х, !)=О, т. е. покой в точке х. Начиная с момента промежуток (х — ас, х+а!) будет налегать на промежуток (аь а,), в котором эг (а) отлично от нуля, и точка х начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку х). Наконец, при 8) — ' промежуток (х — ас, х+а!) будет содержать целиком промежуток (аэ а,), интегрирование по промежутку (х — ас, х+а!) будет сводиться к интегрировзнию по (я„я,), так как вне этого последнего промежутка э1(а) по условию обращается в нуль, т.
е. при 8) ' мы имеем постоянное значение п(х, Г), определяемое выражением (23). Момент С= ' есть л1оменг про я хождения заднего фронта волны через точку х. 524 ГЛ. Нп. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [! 79 Сделаем некоторые замечания по поводу общего случая. Отметим, что в общем случае может оказаться, что прямая илн обратная волна вовсе отсутствует. Действительно, положим, например, что функции !>(х) и ~р>(х), входящие в начальные условия, удовлетворя>от соотношению (24) При этом, в силу второй из форл>ул (16), фупкш>я 0,(х) будет тождественно равна пулю, и в общем решении (!2) обратная волна будет отсутс>вовать. Если в правой части (24) мы вместо нуля поставим постоянную, то 9>(х) обратится в постоянную, а в формуле (12). это постоянное слагаемое можно отнести к О> (х — а1), т.
е. обратная волна также будет отсутствовать. Вернемся к примеру, рассмотренному нами в случае 1. Рис. 12! дает график начального отклонения (начальная скорость равна повсюду нулю). Последний пз рис. 122 дает график струны в некоторый момент ! = 1„состоящий из двух отде»ьных кусков.
Правый кусок, соответствующий промежутку (с, Зс), будет передвигаться направо, а левый кусок— налево со скорость>о а. Но мы можем описывать дальнейшие явления при !)1л, приняв момент 1=(л за начальный момент, подсчитав для ди этого момента отклонения и и скорости — и применяя общую форд! мулу (17), в которой надо только в правой части заменить ! на (! — (л), так как (л принято за начальный момент времени. В данном случае начальные условия будут отличны от нуля только на промежутках ( — Зс, — с) и (с, Зс). В общем случае возмущения на каждом из этих промежутков дали бы и прямую и обратную волны.
Но в данном случае, как мы видели выше, возмущения, например на промемгутке (с, Зс), дают только прямую волну. Это происходит потому, что на этом проме>кутке, кроме начальных отклонений, изобра>кеиных на последнем из рис. 122, возникнут в результате колебаний такие скорости при 1=1л, что обратная волна будет отсутствовать. Совершенно так же возмущение на участке ( — Зс, — с) не ласт прямой волны. Это явление соответствует одной из формулировок приншшз Г>ойгенса.
179, Ограниченная струпа. Пусть имеется конечная струив, закрепленная на концах, и пусть абсциссы концов струны будут х=б их=а Кроме начальных условий (8) 7791 625 %!7. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 9>(х) = 2 9> (х) — 2 — ~ '97 (а) >(з, 1 1 9 (20) 2т( )+2а 1>>( ) ! 1 Г Й 1 встречает здесь то ватрудненне, что функции е(х) н у>(х), а следовательно я 9,(х) н 9,(х), определены лишь в промежутке (О,l) согласно физическому смыслу задачн, а аргументы (х.+-а!) в формуле (12) могут лежать н вне этого промежутка. Стало быть, для возмоя<ности применення способа характеристяк нужно продолжнть функции 8,(х), 9,(х) илн, что вполне эквивалентно, функции 9(х), 7>>(х) вне промежутка (О,!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
