Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Иа этого неравенства вытекает + е ,— ~ [г'( ) — у( )]' Ь(". Пусть п — порядок тригонометрического полинома, т. е. значение числа лг в формуле (33). Но при любом выборе тригонометрического полинома порядка не выше и величина интеграла (38) имеет наименьшее значение е'„„когда за тригонометрический полипом мы выбираем сумму первых (2л+ 1) членов ряда Фурье функции г (х).
Отсюда вытекает, что ее ( а, и ввиду того, что положительное а можно выбирать сколь угодно малым, отсюда следует, что а„, которое не увеличивается при возрастании л, должно стремиться к нулю при л со, а это, как известно [169], и равносильно формуле замкнутости для 7(х). Рассмотрим теперь более обший случай, когда г'(х) непрерывна в промежутке ( — и, и), но ее значения у( — и) и т(и) неодинаковы. мя1 $1а. ЛопОлнительные сведения из теОРии Рядов екяьв 489 Как всегда, существует такое положительное число М, что ) ~(х) ) ~ М при — и(х =и.
Пусть т) — произвольное заданное положительное число и пусть Ь вЂ” положительное число, удовлетворяющее неравенствам (ЬЛР' (39) Построим новую функцию Тл(х) по следующему правилу. В промежутке ( — в, я — Ь) функция Тл(х) совпадает с Т(х), в промежутке (и — Ь, к) график Тл(х) есть отрезок прямой, соединяющий точку х=и — ь, у=т'(к — ь) с точкой х=к, у=!( — и) (рис. 1!9).
Функция ул(х) есть непрерывная функция в промежутке ( — и, я), имеющая одинаковые вначения у( — и) при х=+.и, и мы иллеем, очевидно, как и для Т (х), ) Тл (х) ! ( М. В силу доказанного выше, при любом ваданном положительном можно найти такой тригонометрический полином, что + Я вЂ” ~ [Тл(х) — Т(х))~л!х( —, (40) Ргс. !19.
Принимая во внимание, что У(х)=Т1(х) в промежутке ( — и, и — Ь), имеем + Ф 6 ~ [~(х) — ул (х))'Ых= — $ ~(х) — 11(х)) Ых. Откуда, принимая во внвмаиве, что )У (х) — Ул (х) ! ( / у(х) ) + ) ул (х) ! ~ 2М, можем написать + Ф к — ~ !Т'(х) — гл (х))' ллх ~— 1 Г 2Мл Г 2М'а Я „3, или, в силу (39), !Т" (х) — Тл (х)!" с(х ( — ". (4!) 1Па ГЛ. Ш, РЯДЫ ОГЯЬВ 400 Состзвим интеграл + й +й $ [у(х) — 7(х)]~ ох= — ~ [[У(х) — У~(х)[+ (71(х) — Т(хя~ах. Принимая во внимание очевидное неравенство (а -[- Ь)" =.
2(ая.+ Ьт), можем написать + к ~ У( ) — 7(~)Га~( +к +% — ~ [.тт(Х) — т'т(Х))'О1Х+ — ' ~ [Л(Х) — Т(Х)[е,(Х, а отсюда, в силу (40) и (41), следует ,— ' ~ [У( ) — 7( ))'Ь<~. Обозначая через и порядок тригонометрического полинома Т(х) и рассуждая, как и выше, получим отсюда е„'~ 4, и ввиду произвольной малости т! имеем е„0 при л оо, т. е. формула замкнутости имеет место и для у(х) с укаэанными выше свойствами. Совершенно так же можно доказать, что формула замкнутости имеет место в том случае, когда 7(х) ограничена в промежутке ( — я, и) и имеет конечное число точек разрыва.
Если все точки разрыва суть точки разрыва первого рода, то не надо оговаривать ограниченности функции. Чтобы провести доказательство, можно выделить точки разрыва достаточно узенькими промежутками и построить новую функцию ут(х), непрерывную в промежутке ( — я, и), совпадающую с у(х) вне упомянутых промежутков и имеющую прямолинейные графики внутри этих промежутков. Для ут (х) моткно по предыдущему построить тригонометрическип полипом Т(х), удовлетворяюший неравенству (40), а упомянутые промежутки можно выбрать настолько узенькими, чтобы гыполнялось неравенство (41).
В остальном доказательство проводится, как и выше. Итак, формула замкнутости доказана нами для всех функции, имеюших конечное число разрывов первого рода (или непрерывных). Заметим, что она имеет место и для гораздо более широкого класса функции. 170. Характер сходимости рядов Фурье. Ряды, которые мы получили в [156[, обладает тем недостатком, что они плохо сходятся.
Некоторыс из иих нс будут абсол1опю и равномерно сходящимися, например, ряд (!О) (166! па! а ю. дополнительные сведение из теории рядов Фзрье 491 к при х = — обращаетсн в ряд 2 пе абсошотпо сходящийся; ряд (!О), кроме того, не может быть и равномерно сходящимся, так как представляет прерывную функцию. Таким же недостатком обладает н ряд, представляющий прерывную функцию, имеющую значения г, и с,. Существует зависимость 11ежду характероы гладкосп1 разлагасмой фуйкции и ее рядом Фурье. Эту зависимость мы исследуем здесь более подробно.
Относительно функции у(х) 11ы предположим раз навсегда,что она сама н ее последовательные производные, о которых будет говориться, суть функции, удовлетворяющие условичм )Гирилле, и периодически продолжаются вовне промежутка ( — я, и). Обозначим через ~о~ ~оь А~ ХА, Хз, ..., Х-.,— 1 точки разрыва функции у(х) внутри ( — я, я), через хь ха,..., х„— 1 точки разрыва ее производной У" (х) внутри ( — я, я) и вообще через хГау, хГЛГ ...
хГ"У 1' а'"'' т( — 1 точки разрыва производной у'в'(х). К точкам же разрыва нужно будет при- соединить и концы промежутка ( — я, я), если предельные значении У(т. я -1-0), У'(т-я -1-0), ..., У™(т. я ч-О) 11ежду собой не совпадают. Обозначим длв симметрии хам = — и и х,'" = я и аналогично для произ- ЯА водныл. Наше предыдущее условие для производных сводится к тому, что внутри всякого промежутка (х1, ХА,+1 ) (а=0, 1, ..., та — 1) существует непрерывная производная у'л'(х).
В силу условий )(ирилле зта производная будет иметь определенные предельные значения и на концах промежутка 11реобразусм теперь вырая1ения для коэффициентов Фурье функции у(х). Начнем с козффициента +» 1 а„= — ~ г"(х) соз лх АГХ. Разобьем промехсуток и1пегрировання ( — и, я) на отдельные части в каждой из которых функция у(х) непрерывна. Интегрируя по частям, мы имеем 51П ЛХ ! А" Г(х)соа лх АГХ вЂ” у(х) — — ~ Г (х) Яп лх лАх, Л и 0 492 117з ГЛ. Ч1. РЯДЫ ФУРЬЕ Так как, с другой стороны, к!о' о кс — °" оо у(х)асмп»ах= !пп ~ у(х)сом ахах= к'!' °,о" +о к,' ' 1 кс" !+о о~ о~ кс всц лХ ск кс 11ш — У(х) ~ — — ~ У'(») а)п и» ас», о',е" +а .е к ~~ 1+о' и о— о~ ке — 1 то, принимая во внимание непрерывность функции з1п пх, мы получим »10 1 З1Н ПХС у(х)соз и»сух= У(х'," — 0) — У(х' 1+0)— з)п пхс" и и "е -1 <ое ос 1 — у'(х) аш их с(х.
и ее! кС-! Суммируя по 1 от 1 до тв окончательно будем иметь а„= — — (з!п пх"'(г(»ее+0) — у(хее — 0)!+ ... +з!пих",,'(г(хо'+0)— +о -Сг(»,"' — Он ) — — ~ у' (х) а1н и» сухо ПРИЧЕМ Х'„в= — и, Х',в=+и, И, В СИЛУ ПЕрИОдИЧНОСтИ Г(Х), Г(Х"'+0) = о оо =у(хв'+0). В данном случае з!п пх,"„'=О, но мы сохраняем соответствующее слагаемое для симметрии с дальнейшими формулами. Обозначим для краткости скачки функции у'(х) в точках разрыва х,'"', х"', ..., х',в соответственно через а~о~ к(»~в ! О) лк(кев О) а ое к(»~о~ ( О) к(»~в О) Предыдущал формула перепишется тогда в виде а = — -- у о'.вппих'.в — —" (42) е 1 сле а'„и Ь„' обозначают нозффициенты Фурье производной /'(»), Точно так хсс, исходя нз формулы С (») ПП яЛ.
С1» = — — — Г" (»)+ т( Г" (Х)СОЗ ПХ а»е соз пх и 'а Ь„= — у ж!' соз пхн' + —. ил »~с (43) Форыулы (42) и (43) важны сани по себе, так как они показывают, что если периодическая функция у(х) имеет скачки, во сс коэффициенты 1 Фурье при и со будут порядка — и притом елааныс часа!и козффин циснвое а и Ь„будут соовасвстлснко равны т ы ! ст — Ь' соа пх' ' кп Ьм ащ пхн> 1 кт кл а'с 1 остаток лкс будет порядка выше, чсм —.
В самом деле, остаток этот будет вида л л пс н( величины же а'„иЬ„', как коэффициенты Фурье функции у'(х), стремятся к О при и со, т. е. будут величинами бесконечно малыми при и со. Но формулы (42) и (43) важны еще и потому, что, пользуясь ими, мы сможем выделив» из коэффициентов Фурье а„и Ь„, которые стремятся к нулю при 1 п — со составляющие различных порядков малости по сравнению с —.
! и Для этой цели обозначим вообще через а!»', Ь!»' коэффициенты Фурье производной й-го порядка У'~!(х), а через а!"', ..., Ь!»' — ее скачки в точкат х(а1, х!"1, ...,,к! ! =к: '» Ь!»! г!»1(х!»!+9) уч»!(х!»! 9).. Ь1»! р!»!( + 9),!»!(„ Применим формулы (42) и (43) к коэффициентам а'„, Ь'„, лля чего нужно только заменить у(х) на У" (х), Ьси на Ьс"', х)в на х,'", т на тн мы получим пп и' ! ! т Ь' = — ьуы Ь" ' соз пх" ' +— пи мы! ! и' ! ! где а„' в Ь„' — коэффициенты Фурье зт(х). ттз1 Ь в. дополнительные сведения нз теовнн видов океье 493 получим 494 ГЛ. ЧЬ РИДЫ ФУРЬИ 1170 Точно так же, продолжая эти рассуждения, а" = — — у Ьс'а(п пх,' л= ал7 3 и ' т=! а„'" а'= — эя аносов пхп'+— Гл луя ' и ' а=1 Положив для краткости "а Яа = — л ь а!п пх( ~т -(а~ (а1 г ю= 1 мы из предыдущих формул А, а л— и Ва — — 7 а.
~сов пи. 1 1 кч ,а <а т г 1 будем иметь: В, Аа Ва — — + — + — —" + —, и' и' и' "' ил ' (О=О, 1, 2, .„), (44) 6= ††† А, В, А, уа и и' и' пт "' и где р„', р' имеют различные выражения в зависимости от вида числа й; выра- жения эти приведены в следующей табличке: !ай л анц л о'а1 л эа Здесь а'„ы и Ь~~~ — коэффициенты Фурье функции уча'(к). Из выражений Ал и Ва вилно, что эти величины зависят от и, яо величина и входит лишь пвд знак тригонометрической функции, а потому н1,н беспредельном возрастании и величины А, и В, прн фиксированном а остаютсн ограниченными.
Коэффициентами при тригономстрических функциях н выраткспнях А, и Вл стоят скачки производной у'м (к). Если этих скачков тот, то Ал = Вл = О. С ЛРУтой стоРоны, сели иРонзводнаЯ У'л'(к) есть фУнкпня, удовлетворяющая условиям Дирнхлс, то множители ра' и р', которые с точностью до знака совпадают с одним тгз коэффициентов Фурье функшш 1 г'л' (х), б>дут порядка не ниже — при большом и, так как в (165] мы видели, и что коэффициенты Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирнхле, 1 порядка не ниже —. Мы получаем таким образом следующую теорему: Если периодическая непрерывная бгункция у(х) илгсет непрерывные проитаодлыс до (Д вЂ” 1)-го порядка включительно, а производная й-го порядка есть функция, удовлсглаоряющая условиям Дирихле, то коэ((чри- ттц % Вь дополнительные сВедения из теОРии РядОВ ФРРьв 495 циенты Фуры а„, Вя гуункции у(х) буду!и порядка не и!!же — Ет— ,, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
