Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Ив двух последних теорем следует, что сходимость в себе в Ц является необходимым и достаточным условием того, что последовательность сходится в Еа нненоторой функции. Теорема 8. Если Ув и 8„~ Еа и У„ж)4 и =)й то 11ю ') у„й„йх=~уйих. и сел и (67) Вводя для любых двух функции 4 и ф из еа обозначение (У, ф)=~ Уф4(х, можем записать неравенство (60) в виде (Т Ф)'~ФЮНФ Ф).
Положим У.— У=у. 8'.— К=Ф' (68) По условию, (р,„о„)-ьО и (ф,„ф„)-а-О при и-ьсо. Составим разность К К) — Ю. 8.)=Ю 8) — Ч+Ч. й+Ф.)= = — (У Ф.) — (Т. 8) — (т. Ф.) откуда, применяя (68), получим !(г' 8) — Ч, й,)1~1К Ф.)!+!й. 8)1+1й. Ф.И~У(У У))'(Ф„Ф.)+РТА 4") У( 8) +У(г. ~.) УИ., Ф.). 168. Ортонормированные системы в 1.4. Теория ортонормированных систем в 7а получает законченную форму. Первоначальные понятия и формулы те же, что и в [160). Все функции считаются При и -ь со правая часть стремится к нулю, откуда ! (Г, й) — (Г„, и„) ~ -ь О, т. е. (у„, 8„)-ь([, в), что совпадает с (67).
466 гл. ч!. виды отиье вещественными. Пусть имеется ортонормированная система функций из Е;. ф,(х), ф»(х), ..., ф„(х), ..., (69) т. е. ( 1' при Й=Б (76) для любой функции т из Е, можем образовать ее коэффициенты Фурье относительно системы (69) с» — ~ г"ф» а!х (71) и ляд Фурье СО ~ с фь(х), »-! (72) о сходимости которого мы утверждать ничего не можем. Имеем формулу » л л ~ (у — ')~~ а»ф»)»бх=[') гаях — ~Ч~~ с»!)+ р', (аь — с»)'. (73) в»=! ь »=! »-! Наименьшее значение зто выражение имеет при а»=с», причем а л ~ (у — ~ч~~ с,ф»)» а!х= ~уь Ых — 'у', с», и »-! л ь=! (73!) откуда следует неравенство Бесселя СО ~ч~ сь( ~ г'!(х.
»-! е (74) называется уравнением замкнутости для функции у относительно ортонормированной системы. Это уравнение равносильно тому, что отрезок ряда Фурье функции л '5; с„ф„(х) »=! стремится в Аа к 7 при л-+со. Закажем теперь основную в теория ортонормированных систем теорему. Т е о р е м а 9 (Р и с с а — Ф и ш е р а). Если ໠— любая заданная последовательность вещественных чисел, квадрата которых Если имеет место знак равенства, то соответствующая формула ~ г"»а!х= 'У', с~ (75) Е »=! 467 % и.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (77) и из сходимости ряда (76) следует, что правая часть стремится к нулю при р-ьоо, т. е. последовзтельность (77) сходится в себе в Аэ В силу теоремы 7 эта последовательность сходится в 7., к некоторой функции 7(х): т. е. 11ш ')(У" — ~', аьфь)чйх=О. (78) и сьл ь Иш ~д — г„)'йх=О, п сов Пусть с„— коэффициенты фурье Д(х). Вернемся к формуле (73). Левая часть стремится к нулю при н-ьоо, и разность, стоящая в квадратной скобке в правой чзсти, неотрнцательна в силу неравенства Бесселя, откуда следует, что сь = а„ (й = 1, 2, ...), т. е. аь суть коэффициенты Фурье функции 7"(х), а из (78) следует, что для этой функции имеет место уравнение замкнутости. Остается доказать, что функция у (х) с указанными выше свойствами единственна.
Пусть, кроме 7 (х), имеется еше функция и(х) с указанными свойствами. При этом (77) суть отрезки ряда фурье как для 7"(х), так и для я(х), и последовательность Ю„(х) стремится в 7., как к У (х), так и к й(х) и, в силу теоремы б, 7(х) и е(х) эквивалентны. Теорема полностью доказана. Определение. Ортонормированная сислгема(69) называется замкнутой, если для любой функции у(х) из 7., имеет лгесто уравнение замкнутости. При доказательстве теоремы 9 мы не предполагали, что система замкнута. Если это имеет место, то в теореме не надо оговаривать, что для 7'(х) имеет место уравнение замкнутости, т.
е. имеет место Теорема 9'. Если система (69) залгкнута и аь — любая заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд (76) сходится, то существует единственная функция из 7.„ для которой число аь суть ее коэффициенлгы Фурье. образуют сходящийся ряд ~Ч ~ аь С' + СО, (76) Ь-1 то существует единственная функция из ри для которой наела аь суть коэффициенты Фурье относительно системы (69) и для которой имеет место уравнение замкнутости. Образуем функции из 7я1 8„(х) = ч~„аьфь (х). ь 1 В силу ортонормированности системы (69), ямеем ~ (Яв — ор)я йх = ар+ 1+ ар + з +...
+ а' (7) р), л 468 гл. п. энды эльз [в»а Мы знаем, что, наоборот, для любой функции из у(х) ее коэф. фициенты Фурье образуют числовую последовательность а», для которой ряд (76) сходится. Таким образом, если система (69) замкнута, то сушествует биоднозначное соответствие между функциями ~(х) иэ Е, н числовыми последовательностями а», для которых ряд (76) сходится, причем аь суть коэффициенты Фурье у(х) относительно системы (69). Введем еше одно Определение. Система (69) называется лолной, если в Еа не существует функции, отличной от нуля (т.
е. не эквивалентной нулю) сс ортогональной ко вселс функциялг системьс (69). Мы докажем, что понятия замкнутости и полноты равносильны, т. е. из замкнутости вытекает полнота и из полноты — замкнутость. Положим, что система замкнута, и пусть функция и (х) нз Еь ортогональна ко всем функциям системы (69): ~ мфьах=О, (79) т. е. все коэффициенты Фурье ы(х) равны нулю. Из уравнения замкнутости (76) получаем )ыьйх=О, и откуда следует, что функция и (х) эквивалентна нулю, т.
е. система полная. Положим теперь, что система (69) полная, и будем доказывать ее замкнутость от обратного. Пусть имеется функция й(х) из Еь с коэффициентами Фурье аь такая, что для нее уравнение замкнутости не имеет места, т.
е. ~йаах) Я ай, и » ! откуда следует, что ~йьйх) ~Рйх. и и (80) Но у разности г (х) — д(х) все коэффипиенты Фурье равны нулю, т. е. эта разность ортогональна ко всем фь(х), и из полноты следует, С другой стороны, согласно теореме 9, сушествует такая функция нз 7'(х)~ Еь с теми же коэффициентами Фурье, для которой имеет место уравнение замкнутости СО ~очах= Я а», Е ь-1 1В»! $ !Б. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФРРЬЕ 469 что у(х) — л(х) эквивалентна нулю, т.
е. у(х) эквивалентна л(х), а потому и уч(х) эквивалентна ел(х), т. е. интегралы, входящие в (80), должны быть равны. Это противоречие и доказывает замкнутость системы (69). 5 !б. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬŠ— '+ лг' (и» соз !ах+ 6» з!и лх), » ! где а»= — ~ г(1) созе(й, 6» — — — ~ г(1) Б!пай, 1 1 и переменная интегрирования обозначена нами буквою 6 чтобы не путать ее при дальнейших вычислениях с переменной х формулы (1). 11одставляя выражения а„ и 6» в формулу (1), найдем сумму первых (2л+ 1) членов ряда Фурье функции 1(х), которую мы обозначим через о„(г): 8„(г)= — '+ ~ (а» сов Ах+6» з!п Ах)= »-! +л л — г(1)~ — + ~~ (созНсозйх+з!и гг1а!пйх))й= -л »=1 Но имеет место формула (1, 174) ! + Соа Р+ соз 2Р+... + соз (л — 1) Р = !1, в Б!и (л — — ) т+ Б!и -'- 2) 2 2 ип— т 2 164, Разложение в ряд Фурье.
Настоящий параграф мы посвятим более глубокому и строгому изложению теории рядов Фурье и начнем с изложения доказательства теоремы разложения г(х) в ряд Фурье. Пря этом мы будем налагать на у(х) условия, отличные от условий Дирихле (166), что приведет к упрощению доказательства. В дальнейшем мы дадим доказательство и теоремы Дирихле. Обратимся к ряду Фурье функции г'(х): 470 ГЛ. Ч1.
РЯДЫ ФУРЬЕ пм (2п+ 1) т ! а1п 2 + соа р+ соз 2~Р+... + соз п~Р = — -- — --, 2 а!и— ч 2 откуда (2п+ !)(г — х) 1 у а1п 2 2 лы -+ У созй(! — х)= т — х а-1 2мп— 2 (2) и предыдущее выражение для 8„ф можно переписать в виде +п (2п+ 1) (т — х) ! 8„Д) = — т" (!) Ш. 2мп— 2 Функцию 7(х), заданную в промежутке ( — я, я), мы периодически продолжаем с периодом 2я, так что мы можем считать ее определенной при всех вещественных х и с периодом 2г. Дробь, стоящая под знзком интеграла, в силу (2), также имеет относительно 8 период 2я.
Принимая во внимание замечание из (164], мы можем в предыдущем интеграле заменить промежуток интегрирования ( — ш я) любым промежутком длины 2я. Берем какое-нибудь аначение х независимого переменного и принимаем за промежуток интегрирования (х — к, х+в): х+и (2п+!) (à — х) мп Г„„ 2 ап —, 2 Отметим еше раз, что во всем дальнейшем мы под Г(х) разумеем функцию, продолженную указзнным выше образом из промежутка ( — к, и) на все вещественные значения х. х х+и Разбиваем весь интеграл на два: один ~ и другой ~ .
В пери — и х вом вводим вместо ! новую переменную интегрирования г по формуле 1=х — 2г, а во втором — по формуле с=х+2г. Совершая замену переменных под знаком интеграла и вычисляя новые пределы Заменяя в втой формуле л на (и+1) и вычитая из обеих частей половину, получим ии! а м. дополнительные сведения нз тзовнн яядов отвьз 471 интегрирования, получим з 1 ~ у яп(2п+1)е + 1 [ + мп(2п+ !)г ! Мпв и д япг (з) 2 [' а!п(2п+ !)а я Ь! ива (п=!, 2, 3...). (4) Прежде чем переходить к доказательству основного предложения о разложении функции в ряд Фурье, докажем лемму: Л е м м а.
Если (а, Ь) есть промежуток ( — и, и) или его часть и ф(г) — функция, непрерывная в (а, Ь) или илгеюи!ая в етом промежутке конечное число разрывов первого рода, то интегралы — ~ ф(г) соз пгаг и ~ ф(г) а!п пгаг 1 Г 1 я стремится к нулю при беспредельнолг возрастании целого числа и. Если (а, Ь) есть промежуток ( — и, и), то эта лемма буквально совпадает с теоремой иа [169[. Положим теперь, что (а, Ь) есть часть ( — и, и). Продолжим ф (г) из (а, Ь) во весь промежуток ( — и, я), полагая ее равной нулю в частях промежутка ( — и, я), лежащих вне (а, Ь), т. в определим новую функцию ф,(г) так, что ф,(г)=ф(г) при а(г(Ь и ф,(г)=0, если г принадлежит промежутку ( — и, я), но находится вне (а, Ь).
При этом мы можель например, написать ь + ь 1 1 — ф(г) соз пагьг = — ~ фь(г) соа пг((ав и этот интегрзл стремится к нулю в силу упомянутой выше теоремы из [159]. Заметим, что ф,(г) также или непрерывна в промежутке ( — и, я), или имеет конечное число разрывов первого рода. Нетрудно показать, что лемма остается справедливой, если (а, Ь)— любой конечный промежуток. Если мы положим, что г(х) во всем промежутке ( — в, и) равна единице, то очевидно, что свободный член — ' ее ряда Фурье будет 2 равен единице, а остальные члены — нулю, т. е. 8ьЯ при всяком и будет равна единице, и мы имеем следующее равенство 472 гл.
ш. Ряды Фупьи йы Обращаемся теперь к докззательству основной теоремы разлонгения г(х) в ряд Фурье. Мы, как всегда, считаем, что г(х) непрерывна или имеет конечное число рызрывов первого рода в промежутке — к <х -к. Умножая обе части равенства (4) на г'(х), вводя этот множитель под анак интеграла н вычитая полученное равенство из (3), будем иметь .с„я — у(х) = -- [у(х — 2а) — у(х)) Я1п(2л+ 1) г г( + — ~ [г(х+ 2г) — г'(х)] ( , ) с(а, ч что можно переписать еше в виде 2 8„(7) — Г(х) = — ~ 2 —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
