Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Нетрудно доказать обратное предложение. Теорема 2. Если о(хь х„..., х„+,) есть какое-нибудь решение уравнения (76), то о(хь х„..., х,+,)=С есть интеграл системы (74). действительно, подставим в функцию <р(хь хя, ..., хвы) какое- нибудь решение системы (74) и возьмем полный дифференциал бу(хь х„..., х„+,)= — Кх,+ — Ыхя+...+ — бх„+е дэ дэ дв 1 ~й и+г Поскольку мы подставили решение системы, мы можем, в силу (74), заменить Их, пропорциональными величинами Х„т.
е. с(х,=1Х„ ~де а — некоторый коэффициент пропорциональности. Отсюда ар(хь хь ..., х„ы)=1(Х1 — +Хад — +...+Х„+, — 1. ~3 Но поскольку у, по условию теоремы, удовлетворяет уравнению (76) тождественно относительно хь х„..., х„+ь мы имеем аг(хь хь"., хвы)=0. Выражение дифференциала первого порядка не ззвисит от того, являются ли переменные независимыми или нет Н, 1631.В нашем случае, при подстановке решения системы, р будет фУнкцией одной независимой пеРелгенной, напРимеР хь и оказалось, что дифференциал этой функции р равен нулю, т.
е, производная по х~(после подстановки) тождественно равна нулю, инзче говоря, после подстановки о не зависит от хо т. е. является постоянной. Это н показывает, что э(хь х„ ..., х ,) есть интеграл системы, что и требовалось доказать. Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятия интеграла системы (74) и решения уравнения в частных производ- 3' 68 тл. г. овыкновенные диФФеРенциАльные уРАВнения ных (76), Если у,=сй ~,=С, ..., ~„=С„ суть я интегралов системы, то, как мы видели, произвольная функция Р(уь Фь ..., ~ь) дает также интеграл системы, и мы можем, следовательно, сказать, что произвольная функция каких-либо решений уравнения (76) есть также решение этого уравнения. Если сР,(хэ хм ..., хв.1)=Св ..., ~Р„(хв хв ..., х 1)=С„(77) есть я независимых интегралов системы (74), то проиавольная функция Р(ФР срь ..., Ф„) есть решение уравнения (76).
Это можно и непосредственно проверить, если подставить т=Р(ть 7я, ..., у„) в уравнение (76) и принять во внимание, что функции уь Фь ..., ~Р„ удовлетворяют этому уравнению. Можно покавать, на чем мы не останавливаемся, что при выполнении некоторых условий этой формулой выражается любое решение уравнения (76). Отсюда получается следующее правило интегрирования этого уравнения: чтобы найти общее решение уравнения с частными производными (76), надо составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (74) и найти я независимых интегралов (77) этой системы.
Общее решение уравнения (78) будет р=Р(р Ь " Ь) где Р— лроизвольная функция своих и аргументов. Линейное относительно частных производных уравнение (76) обладает двумя особенностями: его коэффициенты Х, не содержат искомой функции Ф и его свободный член равен нулю. В обшем случае линейного уравнения будем иметь уравнение вида где Уо 'гь ..., )'„ь, содеРжат хи х„ ..., х„ и 7. БУдем искать семейство решений уравнения (78) в виде неявной функции м(хь х„..., х„, 7)=С, (79,) где С вЂ” произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявной функции дн ду дхю дх дм' дт подставляя в (78), получим для и уравнение дн дч дч дч )'~д — +~'Яд — +" + чд +~в+1 д = э (79,) ы1 1».
диээвввнцилльныа эвавивния высших поэяпков 69 обладающее указанными выше двумя особенностями. Заметим, что ввиду произвольности С в (79,) переменные хь хэ .,, х э могут иметь любые значения, и, как и выше, отсюда вытекает, что уравнение (79») должно выполняться тождественно относительно хь хэ..., х у, Его решение приводится к интегрировзнию соответствующей ему системы обыкновенных уравнений.
Если и нзйдено, то (79,) определит нам у. Можно показать, что при некоторых общих предположениях относительно У» таким путем можно получать все решения уравнения (78). Обратим внимание на то, что общее решение уравнения с частными производными содержит произвольную функцию, тогда кзк з общее решение обыкновенных дифференцизльных уравнений входят лишь произвольные постоянные. В томе 1Ч мы более подробно изучим линейные уравнения с частными производными н установим соответствующую теорему сушест. воаания и единственности. 23. Геометрическая интерпретация. Ладим геометрическую интерпретацию изложенной в [22[ теории для случая трех леременных. Положим, что мы имеем в трехмерном пространстве поле направлений, т.
е. в каждой точке прострзнства задано определенное направление, Введем какие-нибудь прямолинейные прямоугольные координатные оси. При этом всякое направление будет определяться тремя числами, пропорциональными направляющим косинусам етого направления, т. е. косинусам углов, образованных этим направлением с осюпг координат. Мы имеем в разных точках, вообще говоря, различные направления, и все лоле направлений будет определяться тремя функциями и(х, у, «), п(х, у, «), яа(х, у, «), (80) так что направляющие косинусы направления, заданного в точке (х, у, «), пропорциональны величинам (80).
Как и для уравнения первого порядка, поставим себе вадачу найти в пространстве такие кривые, в каждой точке которых касательная имеет то самое направление, которое в этой точке задано данныи полем направлений. Но, как известно [1, 160[, направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам г(х, Ыу, Ы«, а при совпадении двух направлений величины, пропорциональные их направляющим косинусам, должны быть пропорциональны между собою, т.
е. лля определения искомых линий в пространстве мы имеем систему дифференциальных уравнений Фх Фя л« (8! ) и(х, у, «) э(х, у, «) гв(х, у, я)' Интегрирование этой системы сводится к нахождению ее двух независимых интегрзлов р, (х, у, «) = Сь <ря (х, у, «) = Сэ (82) 70 гл.!.овыкноввнныг. диффвввнцилльныв тплвнвния гм т. е. таких, что уравнения (82) разрешимы относительно кзких-либо двух переменных. Эти два уравнения определяют некоторую линию пространства [1, 160]; придавая С, и С, различные численные значения, получим семейство интегральных линий системы (81).
Начальные условия сводятся к требованию, чтобы искомая линия проходила через заданкую точку (х„ у„ г»). По этим начальным условиям определяются произвольные постоянные С~ и См Перейдем теперь к геометрической интерпретации уравнения с частными производными. Считаем опять, что функции (80), как и выше, определяют некоторое поле направлаши. Требуется найти такие поверхности, чтобы в каждоп точке поверхности направление, определяемое в этоп точке полем направлений, лежало в касательной плоскости к поверхности в этой точке. Пусть уравнение некоторого семепства искомых поверхностей будет у (л, у а) = С. Направляющие косинусы нормали к этой поверхности, как известно ]1, 160], пропорциональны — —, — и направление нормали должно дч дт да дх' ду' дг' быть перпендикулярно к напрзвлению, определяемому величинами (80), так как последнее должно находиться в касательпои плоскости.
Используя обычное условие перпендикулярности двух направлений ]1, 160], получаем для определения ~! лннеиное уравнение с частнымн произеодньы!и у' а)д +п(х у а)д +»в(л у а)л. — — О. (83) Соответствующая этому уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений есть система (8!), так что общее решение уравнения (83) имеет вид ~=РИ у») а общее уравнение искомых поверхностей будет Р(~н у,)=0, (84) где г' — произвольная функция своих двух аргументов. Произвольную постоянную С можно не писать ввиду произвольности Р, а в, и у» дают два независимых интеграла (82) системы (8!). Бели выберем определенным образом функцию Р, то поверхность (84) будет, очевидно, геометрическим местом тех интегральных лпний системы (8!), у которых значения постоянных в равенствах (82) связаны соотношением Р(Сь С)=0 (85) Решение уравнения (83) становится, вообще говоря, определенным, если пот! ебовать, чтобы искомая поверхность проходила через за- 241 $2.
диФФеРенциАльные ЕРАвнения Высших повядков 1! Исключая из четырех уравнений (82) и (86) перемеглные х, у, з, получим соотношение между С, и С„которое, в силу (85), и определит вид функции тч, которую надо взять, чтобы уравнение (84) давало искомую поверхность, проходящую через линию (86). 24.
Примеры. 1. Рассмотрим уравнение с частныии производными хз — + уа — — (хл + у') — = О. дт др . , дг дк ду дг Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнснвй буаст (88) ха уа — (кл+ул) ' Выше (Щ мы нашли ее два независимых интеграла — =Сн х'+у'+за=С,. у х (89) Нервов из уравнений дает ссл<сйство плоскостся, проходящих через ось ОЕ, а второе — сферы с центром в начале координат. Интсгральиыми лннинмн системы (88) будет семейство окружностей, лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат.
Об.цсс решение уравнения (87) булат Е = у'(У, Хл+ ул + ал), (90) лх' гас г" — произвольная ф)чилллня своих двух аргументов. Вайлем ввл функ- ции г' так, чтобы повсрхность р(у, ха+у'+а') =0 лк' (91) проходила через прямую (9 л) х=1, У=а дзнную в пространстве кривую (7.).
Это требование является начальным условием для уравнения с частными производными (83). Искомзя поверхность будет, очевидно, образована теми интегральными линиями системы (81), которые выходят из точек кривой (7.), т. е. для которых координаты точек кривой (7.) определяют начальные условия. В силу теоремы существования и единственности, для системы (81) мы получаем таким образом определенную поверхность. Исключительным представляется тот случай, когда сама данная кривая (7.) является интегральной кривой системы (81).
В этом случае предыдущее построение даст нам не поверхность, а саму кривую (1.). Можно показать, что в этом случае через линию (7.) проходит, вообще говоря, бесчисленное множество поверхностей 7 = О, где р удовлетворяет уравнению (83). Подробно мла будем это излагать в четвертом томе. Положим, что уравнение линии (7.) задано в виде совокуппссгп двух уравнений фл (х, у, х) = О, фл(х, у, г) = О. (86) 72 гн. т, овыкноввнньщ диввнпйнцидльнын нрдвпгния ма Исключаеы .г, у и г нз уравнений (89) и (92).
Первое из уравнештй (89) н уравнения (92) дают У=С„г=С,; подставляя во второе из уравнений (89), получаем соотношение между С,иС,: 1+2С,' — С,=О, т. е. Р(Сн Са)=1+2С1 — С,. При тзком виде функции Р уравнение (9!) дзет уравнение искомой поверхности 1 ( 2У' (ха+уз+за)=О или х'+2У' — х'(х'+У'+ ) = 2. Положим, что поле направлений, определяемое системой дифференциальных уравнений, таково, что во всех точках пространства направлсняе одно и то же. Пусть (а, Ь, с) — числа, пропорциональные направляющим косинусам этого фиксированного направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
