Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если А нс есть корень уравнения (22), т. е. т(А)Чхо, то иэ этого уравнения определится а,. Положим, что А есть простой корень уравнения (22), т, с. ч(Л)=О, но Е)(А) фО (7, !86). В данном случае будем искать решение уравнения (36) в виде у = а,лейт. Подставляя в уравнение и сокращая на е"", получим е (А) и,х + т' (А) а, = а, Илв, в силу т (А) =О, р'(А)а,=а, ~уха вярелсляется аи так как р'(А) ~ О. Если, наконец, число А, есть двукратный корень уравнения (22), т. с. р(А)=85(А)=О, то, как и выше, нетрудно показать, что решение уравкенив надо искать в виде у = а,хэей.". Таким аким же методом можно находить решение и в более общем сл) час, когда Вбодпый член имеет вид произведения Р(х)ей, где Р(х) — многочлен от слн А ие есть корень уравнения (22), то и решение надо искать в виде у = Р, (х) ейэ (38) тде Р я Рэ(с) — многочлен той же степени, что и Р(х), пРичем нскомымн ° вй ит»я коэффициенты Р,(х).
Подставляя (38) в уравнение, сокращая на "и "Рнравниваа коэффициенты пРи одинаковых стспсалх х, полУчнм немил дел определения коэффициентов Р, (х). 88 гл. и. линвнныя диеввуйнцнлльные урдвнцння (Вг Если же Ь есть корень уравнения (22Ь то в правой части (33) надо ввести множитель х нли х', смотря по таму, будет ан Ь простым ялп двукратным корнем уравненйя (22), Перейдем теперь к тем случаям, когда свободный член содержит триго.
номегрические функции. Рассмотрим сначала уравнение у' + ру' + «уу = ел» (л сот 1х+ Ь «ш 1х). (39) Пользуясь формулами (1, 177) е!»1 ( е-«»« соа гх = епп е-гш мп !х= можем представить правую часть уравнения (39) в виде . Аеш+«и»+ Ве'ь-л«» где А и  — некоторме постоянные. Если сопряженные числа (Ь -«-В) не суть корни уравнения (22), то, согласно предыдущему, надо искать решение уравнения в виде у = А е«ьтн«»+ В е" "'", 1 1 нлн, возвращаась от показательнык функций к тригонометрическим е- »«=со«1х-«-1нпгх, видны„что если (Ь -«- В) не суть корни уравнения тл2), то решение уравнения (39) надо искать в вяде у = ег» (е, соа !х + Ь, мп !х), где а, н Ь,— искомые постоянные. Совершенно так же можно показать, что в правой части формулы (40) надо ввести множитель х, если (й -+.
Л) суть корни уравнения (22).. Постоянные и, н Ь, определяются подстановкой выраже- ния (40) в уравнение (39). Заметим, что если а правой части (39) участвуют, например, только соа1х, то в решении (40) кадо брать все же оба члена, содержащих как сов 1х, так н нп 1х. Приведем, не останавливаясь на доказательстве, более общий результат. Если правая часть имеет внд еь» (Р (х) соз 1» + О (х) а«п 1х), где Р(х) и (г(х) — многочлены от х, то решение надо нскзть в том же зиле еа» (Р, (х) соа !х + О«(х) нп 1х), где Р,(х) и 4)«(х) — многочлены от х, степени которых надо принять рав- ными наибольшей из степеней многочленов Р (х) н ()(х).
Если я .«. В суть корни уравнения (22), то надо приписать еще множитель х. 31. Корни решений и колеблющиеся решения. Мы рассмотрим в ятом номере вопрос о корнях решений урзвненнй (1), т. е. о корпят уравнения у(х)=О, где у(х) — некоторое решение уравнения (1) Мы, естественно, будем предполагать, что решение у(х) отлично от нулевого решения у(х)шО. Все наши рассуждения будут, как и выше, относпться к проме.
жутку изменения х, в котором коэффициенты р(х) и «у(х) — непрерывны. Если х есть корень некоторого решения у(х), отличного от нУлевого, и. е, У(хь)=О, то облзаглвльно У'(хь)РЬО, ибо ай З к овшля твоэия и кгьвнвния с постоянными коэсвицивнтьми 89 начальным данным у(хь) =у'(ха) =0 соответствует нулевое решение. Если хь есть коРень лвУх Решений У,(х) и У,(х), то из (4) следует, что Ь(уь ул)=0 при х=хь, т.
е. решенияу, иу, линейно зависимы. Таким образом, линейно независимые решения не имеют обпшх корней. Если решения линейно зависимы, т. е. отличаются лишь постоянным множителем, то они имеют, очевидно, одни и яе же корни. Пусть хь — корень решения у (х), отличного от нулевого. Покажем, ято существует окрестность этой точки х,— В - хк ль+В, моторок не содержит других корней у(х).
Если бы при любом еколь угодно малом положительном В в указанной окрестности были йы корни, отличные от хл, то мы моглп бы составить бесконечную последовательность корней хь х„..., отличных от хь, которая бы стремилась к хь (х, -+ хь). Составим отношение у (х„) — у (хл) х„— х, г)пскольку у (х„) =у (хл) = О, это отношение равно нулю при всяком л. С другой стороны, при х„-ьхь зто отношение имеет рув)тел у'(х,), и следовательно, у'(хь)=0, Но, по условию, у(х,)=0, (л.
потому у (х) есть нулевое решение, что противоречит нашему 9радположеиию. Иа доказанного следует, что ка всяком конечном кВМкнутом промежутке а ( х =. Ь может существовать игольно ((Маячное число корней любого решения у(х). Если бы это было нй-так, то сушествовала бы, как нетрудно показать, последовательйдьть различных корней х„(в= 1, 2,...), принадлежащих промежутку ЛВЛВ~ХВ:...Ь, ИМЕЮЩаЯ ПРЕДЕЛ, КОТОРЫМ МЫ ОбаэиаЧИМ ЧЕРЕЗ Хь.
В СИЛУ нейрврывности у(х) и х„-ьх иву(х„)=0 следует, что ну(х,)=0, в()вчем любой окрестности х, принадлежит бесчисленное множество койвмй х„решения у(х), чего не может быть, как мы показали выла(Е. .:"'„.*,Пусть хь и лл — последовательные корни некоторого решения Уьрев)л т. е. Ул(хл)=Ул(х>)=0 и Ул(х)~0 пРи хл(х~хь а Улг(к) — решение, линейно независимое с у,(х).
Покажем, что ул(х) вмеэт по крайней мере один корень на промежутке х, ~х(хл. у~лам вести доказательство от обратного. Пусть таких корней нет. хдяэьх ,-..:,линейной неззвисимости следует, что у,(х) не равно нулю при ~".ьхь н х=хв т.е. У,(х) УЛ Она замкнУтом пРомежУтке х,~х(хь аав . "овательно, частное — есть непрерывная на этом промежутке ул ул ; дая, равная нулю на его концах. Но из формулы (7) следует, чпг это частное — монотонная на этом промежутке функция — возраайавмдая, если число Ьь >О, или убываюшая, если Ь„к. О. Полу- в лв противоречие и доказывает, что у,(х) имеет по крайнем мере ГЛ.
П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ один корень на промеьк)~ке х,(х(хн Если бы эта функция имела дзз корпя х, н х, па эчом промеькутке (х,(х,'(х, (х,), то, применяя предыдущие рассузгдення, лпя получи:ш бы, что у,(х) имеет по крайней мере один корень между х, и х,, а это противоречит тому, что х, и х, — последовательные корни уя(х). Л1Ы приходим, таким образом, к следуюгцей теореме: Теорема 1 (Штурма).
Еслп х, п х,— два последовательных корня некоторого решения у(х) уравнения (1), то всякое даугое линейно незаепсплгое с у(х) решение того зюе ураенення п.яеет е глочностп один л'оРснь лгеждУ х п хп Иначе эту теорему можно сформулировать так: корни двух линейно нсзавпснлгых реисений уравнения (!) взаимно разделяют друг друга. Из сказанного следует, что если некоторое решение уравнения (1) имеет т корней на конечном замкнутом проыегку~ке а -х —.
Ь, ~о число й корней всякого друго~о решения(отличного от нулевого) уравнения (1) при а х: х -. Ь подчиняется неравенству: гн — 1(й(т+1. Введем новые понятия. Если решение у(х) имеет в некотором промежутке / не более одного корня, то оно называется неколеблютплгся в эгом промежутке. Если же число корпев в / не меньп:е двух, то сно называется колеблюгппмся в /. Рассмотрим простейшее уравнение у' — йчу=О, где /с" — полоигительная постоянная. Решения еьл и е "" па всем бесконечном промежутке — со(х(+ со пе имеют корней.
Общее решение С,еь."+Сае "' тзкже пе имеет коРней, если постоанные С, и Ся С,1 имеют одинаковый знзк, н имеют олин корень —,— 1а( — — ), если 2Ь '1 С,)' эти постоянные разных знаков. Таким образом, всякое решение укаванного уравнения будет неколеблющнмся на любом промежу1ке. Уравнение у" +/азу=О имеет решения соз/сх и а1пйх, которые на 2в любом замкнутом промежупге, длина которого не меньше —, имею~ л пе меньше двух корпел, т. е.
будут колеблющимися на таком проьсжутке. Как ле~ко видетгч то же можно утверждать и о любом регненни указанного уравнения. Рззница в поведении решения рассьютренных уравнений обусловлена тем, что в первом нз них коэффициент при у отрицателен ( — йа), а во втором полон<птелен (+да), доман<ем теперь теорему о неколеблющнхся решениях для уравнения с переменным коэффициентом Теорема 2. Если г(х) — непрерывная фунядпл на ноас пгслс за.пкнутолс пролгезкугпке а = х ( Ь и г(х) ( О на зтам лрс,.чеаьулггсе, гла есе решснпл ураененпл у" + г (х) у = Π— негсолеблюгадгеся на этом нра,незмулпе. ВЦ $ 3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВССЕНССЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФРШИЕНТАМИ 91 Будем доказывать от обрзтного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
