Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ю 1щ Л не есть собственное значение задзчл (90), (91), т. е. Однород;ля система имеет только нулевое решение, то неоднородная задача ~р~ (97) имеет прп любых у(х), с и гу решение л(х„Л) и притом аинственное. ддя линейных дифференциальных уравнении четного порядка 2гл Естественно ставить пг предельных условий при х=а и столько же «ри х= Р. При этом вместо системы (94) мы получим снстеыу 2АЯ уравнений для 2лг неизвестных Сь См ..., С„„.
67. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение УУ + Лу = О (981 вв промежутке 0<х<я и прелельные условия у(О)=О, у(,) О. При Л< О уравнение не нчсег колеблющихся решений [ЗЦ и, следовательно, п)ва Л<О нет решений, имеющих корни .с=О к л=ж Итак, задача пожег имать только положительные собственные значения. Прн этом общий интеграл уравнения (98) имеет знл у = С, ам )" Л л + С, эщ )'Л л; Еде )г Л можно считать положительным, ибо изменение знака не влпяег на величину сев )' Лл и менчег эпак мп ) Х х, причем зго изменение знака мвжат быть включено в произвол ную постоянную Се. Предетьппе условие У(0)яму (в) =- О дают С, сщО+С,, эшО=О, С, сов )'Л с+Сами )г Ля=О. Из')гарного уравнения следгет С, = О, и прц эгон второе уравнение дает ~~з[В~Л я=О.
Постоянная С, не может разняться нулго, щк клк прн г~'От=О мм получаем нулевое решение уья О и, следовательно, для Л по-дчаем уравнение мп у' 1,с =О, откуда )"Л г. = -~- »я (» = 1, 2, ...), т, с. со '.» н Л=»*. Таким образом, мы когОчаеи бесчисленное инолгесгзо веггиых значения и соотвегсгзуюицил гоосгэенных функций: Л» — — »-', ув «)~-С» эвах (» = 1, 2,,), где С» — пропзвольныс посгояшгые.
При ~вливании л число корней собсгэснныг функций па промсжупщ 0 (х- в увеагчнвэегся. ~и Л вЂ” ие есть квадрат целого числа, го лгобая неоднородная задача улет иметь еликственное решение. В качестве примера рзссмогрни заггачу У" — Л"у =л, у(О) =О, у(я) = и (» ) О). (100) ОвшАя теоРия и уРАВнения с постоянными козФФициентАми 10? В ли р(0) есть полипом от 0 с постояннымв козффициентаии ге(0) = оа0" + а,0" '+...+ а„,0+ ам Операция Р'(0)х определяется так: р(0) х = аз 0"х + а, О" 'х +... -~- а„~ Ох+ а„х = дех «з-!х ил = а, — „„+ а1 „, +... + а„, „— + а„.к. Вели у,(0) и ра(0) — лва полиноиа и у(0) — ик произведение, жь нринимая во внимание формулу (104) и очевидное равенство Оч(0юх)=0ю+тх, будем иметь р, (О) ! р, (О) х) = Ф (О) х, причем множители у(0) и р,(О) можно переставлять.
Точно так же имеем, очевидно, '1т (0)+МО)А1х=МО)х+у (0)х, и полученный результат не зависит от порядка слагаемых р, (О) и р,(0). Таким образом, обычные правила сложениц вычитания и умножения распространяются и на введенные нами символические полиномы В силу (104) постоянный множитель можно выносить аа знзк символического полннома, т. е. наряду с формулой (104) мы имеем Р'(ОН )= Р(0) . ио этого нельзя делать, конечно, с множителем, зависяшии от й г(окажем теперь следующую формулу: Р(0)(е 'х)=е™Р(0+т)х, (105) где т — постоянная.
Формула показывает, что множитель аида е ' можно выносить за знак символического нолинома, заменял и ото» последнем букву 0 суммой (О+т). Выражение гч(0)(ее«х) состоит из слагаемых вида а„,0'(е 'х), " достаточно доказать формулу (105) для каждого такого слагаемого, г. е. достаточно доказать формулу 0*(е 'х)=е"'(О+ т)'х (106) римская формулу Лейбница дифференцирования произведения, можем написать (1, БЗ) Оа(оеих) (ее«)сх+(е «)<е Их + С)(е ) х + +Оь( я«)Ы «)х1а>+ +е хЫ1.
тле внач ху в скобках указывают ~оряцо" 4 н 0 есть число сочетаний из з элементов по л. Приникая во 108 гл. и. лнненные днееевенцнлльные явлвнения !И внимание, что (е ')ш'=тяехя и хш1=0сх, можем написать, вынося е ' эа скобку: 0'(емх)=е '(сл'х+С,'т' 'рх+С[т™рах-)-...-[- + С" т' 0"х +... + 0'х) = =а~'(т'+С,'сл~'О+Сстс-ар'+„.[ Сатг-ар» ! ! О.) Но правая часть совпадает с правой частью формулы (106).
Таким образом, эта формула и формула (100) доказаны. Определим теперь отрицательные степени 0 как операции, обрат. ные дифференцированию, т. е 0 'с (С) определим как решение уравнения 0'х =ДС)„ (107 ! причем„для того чтобы придать символу 0 *г (г) определенный смысл, >словнмся брать то решение написанного уравнения, которое удовлетворяет нулевым начальным условиям х!с с,= !с с,=...=х [с с,=0. — ы-! ! (!08) Иначе говоря, будем считать [17]: с 0-сУ(С) =, ',, ~ (1 л)с-г У(н),(сс са (109) Общее решеяие уравнения (107) будет тогда [17): с х=0-'Я(С)+ Р,, (С) =,—,! —, 1 (С вЂ” )'-'Ци) с( + Р,,(С), (Ио) се где Р,, (С) — многочлен (а — 1)-й степени коэффициентами.
Более общую операцию (Р— а) 'с (С) уравнения от 1 с произвольныип определим, как решение (Р— а) х=г'(С), (1 ! !) удовлетворяющее условиям (108). Чтобы найти это решение, введем вместо х новую неизвестную функцию л, полагая х = е"'л. (112) Подставляя в уравнение (111) и пользуясь правилом, выраженеын формулой (105), получим для л уравнение е"'(О-[- а — а)'и=У'(1) или рсл=в "сс'(г). (113) Решение етого уравнения, удовлетворяющее условиям «[с-с,=а' [с-с,=."=л" ')[с с, =О> (114) „овщая твоэия и яялвнвния с постоянными коэооицизнтлми 109 ет быть определено по формуле (109), если только в нен заме„„ть у(т) на в ыг (г): '=( — 1) ) " ")' " '"Г(п)'( 1 Но ив формулы т)ГХ=ОГЕчя=Е'(О+а)Г» Ц=О, 1, 2, ..., г — 1) вытекает, что если х удовлетворяет условиям (114), то х, определяемое по формуле (112), удовлетворяет условняи (108).
Подставляя найденное выражение я в формулу (112), получим искомое решение уравнения (111) с (() — «) 'г(г)=(, ',, ~ (т — и)' 'е ™г" (и) йи. Общее решение этого уравнения получим, если умножим общее решение уравнения (113) на е"', т.
е. это общее решение будет х=Я вЂ” а) 1(т)+еаР,,(г)= с =(, "„, ~( — )'-"-'"Ип) ( +'", (Г), (118) ы где Р,,(г) — многочлен от 1 степени (г — 1) с произвольными коэффициентами. В частности, полагая г(т)=0, получим общее решение уравнения (П вЂ” я)'х = 0 (117) в виде х = е™Р,, (1). (118) 39. Линейные однородные уравнения высших порядков в постоянными коэффициентами. Линенное однородное уравнение и-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид х'ю+а,хш П+...+а,,х'+а„х=0. (119) Обозначая символическим множителем 0 операцию дифференцирования по 1 н вводя полипом 9 (гт) = Оч -~- а, (У' ' +, „+ а„~гт + а можем написать уравнение в виде э(В)х=0, (120) г"оставим характеристическое уравнение, соответствующее уравщ г" + а,г' '+...+ а,г+ а„= О, 112! ) !!О гл.
и. линвиныв днсввивнциальные ьвлвнвння рв я пусть это уравнение имеет корни гп г„.. „г„кратности ли й„„„5 ° й~ + /гя+... + ли = л. (122) разлагая полипом р(О) на множители, ашжем представить урав. иение (120) в виде (Π— г,) (Π— г,)" ...(О г„)' х О, (123) Уравнение (Π— г )"их=О, (12 ) аогласно формуле (118) ]38], имеет общее решение х=а'т Р»,(Г), (125) где Р» 1(Г) — многочлен степени (Ʉ— 1) с произвольными коэффи.
хиентами. Функция (125) будет, очевидно, решением и уравнения (123). Дев ствительно, подставляя в это уравнение выражение (125), в результате оперзции (Π— г„) получим нуль, и операция (О г\)» (О г»)» (О г )» произведенпзя над нулем, даст очевидно также нуль. Переставляя множители, мы могли бы поставить ближайшим к х не »1ножитель (Π— г )~и, а какой-либо другой множитель (Π— г») . Таким образом мы убеждаемся в существовании ряда частных решений: х,=е' Р» 1(Г) (а=1,2,..., т), где Р» 1(1) — многочлен степени (А,— 1) с произвольными коэффициентами. Т!рицазая в формуле (126) з зсе значения от 1 до и» и складывая все полученные таким образом решения, будем иметь решение уравнения (123) [27]; х = ' ' Р , (1) + е' ' Р , (1) + ...-]- е' РР» , (Г).
(1 2 7) Всякий многочлеп Р» 1(Г) степени (7»,— 1) с произвольныин коэффициентами содержит всего л, произвольных постоянных, и следовательно, в салу соотношения (122), решение (127) содержит всего п произвольных постоянных, Ввиду этого обстоятельства можно думать„что формула (127) дает общее решение уравнении (119), т, е. что всякое решение этого уравнения заключается в формуле (127). При т=! это было нами доказано выше формулой (113) из (38] и, таким образом, остается показать, что если наше утверждение справедливо лля случая (л» вЂ” 1) сомножителей вида (Π— г,)», то оно будет справедливо и для и сомножителей.
Докажем это. Ур»з" т а Овшаа теОРНЯ и УРАВнениЯ с постОЯнными ковФФициентлми 111 в (123) можно пеРеписать в виде (Р— г,)"~(1г — г,)' ... (11 — г„,)" у=О, где у=(0-г )" х. й(ы считаем доказанным наше утверждение для (щ — 1) сомнотелей, а потому для у имеем общее'решение (р — г„)" х=егРЯю,— Я+егн()а,-1(1)+...+ +агм-а ()» ~(Г) е ()а 1(т) — произвольные многочлены степени (л,— 1). Полагая х=е'и'г, (12б) вынося е'Фа за знак символического полинома и деля обе части раг венстаа на е Ф, получиы В~ил=ем~-'-н~а,-~(1)+ем -'а~~~„,(1)+...+ +аом 1 — г И Я (Т) й(ы получим общее выражение для е, если проинтегрируем правую часть л раз по 8 и добавим многочлен степени (й„— 1) 117). Но, как известно [1, 201), интеграл от произведенля показательной функпии е" на многочлен л-й степени от 1 имеет тот же впд, т.
е. л должно иметь вид в=лез 'ФНР», гЯ+е"' ' НРа„~(1)+,„+ .+ Е~~е-ь ~м~ Ра ~ (Г) 1 Ра ~ (Г) 11 сину (126) получаем, что х должен обязательно иметь вил, даваемый формулой (127), что и требовалось доказзть. Н частности, если все корни характеристического уравнения простые, то все многочлены Ра 1(1) будут нулевой степени (й,= 1), т е булут просто произвольные постоянные С„ и общее решении уравнения будет иметь внд С агк+ Саегм +...+ С„ел Среди корней уравнения (121), коэффициенты которого мы счя таем вещественными, могут быть е комплексные, Соответствующие им слагаемые в решении (12Т) нетрудно привести к вещественному жим виду~ преобразуя показательные функции в тригонометрические.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
