Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ввиду малости й постоянная т) обычно мала, н если д не близко к единице, то л близко к зеличнне †. На рис. 16 представлены графики величины л как функции л ба' при несколькпл заданныл значеннял 7. Деля числитель н знаменатель в выражениях (76) иа й", получим фор. мулы йод 6У буй (а (Л' с З=(1-д')Л, ~ мпь= — 791, (61) Зта постоянная есть величина того сшашического оюилонемня, которое произвела бы постоянная сила.
Введем в рассмотрение отношение М бе которое служит мерою дпяажической восприимчивости системы по отноше. СНЮ К ДЕйетВУЮШЕй ВНЕШНЕЙ СИЛЕ. ПРИНИМаЯ ВО ВНИМаНИЕ фОРНУЛУ (76) н выражение („ получим зз) 4 3. ОБшАЯ теОРиЯ и УРАВнениЯ с пОстОЯнными кОэФФициентАми 10! которые определяют разность фаз внешней снлы и произведенного ею возмущенна.
Величина Л зависит от периода Т внешней силы через посредство величины ф Найдем максимум величины Х как функции от ф л(ля этого достаточно найти минимум 1 ЬТ=(1 Ч ) +7 4 как функции от 4'. Как нетрудно видеть, этот минимум будет достнгатьсв прн да=! — — н будет равен !тт' — — ). Отсюда следует что макснмум ! 7 г 2 4)' 1 будет достигаться прн / „х 2 (82) н будет равен у)ь х = — — ' Г сов (АГ + ТП 2Д которое содержит Г множителем [30).
Вернемся вновь к РассмотРенню того случая, когда имеется сопротивле. ние, т. е. й ф О. Как вндно нз графика, величина А, быстро возрастая нсрсд максимумом, быстро убывает после него. В атом нетрудно убедиться и нз фоРмУлы (80) пРи малом 7. ПодставлЯЯ в фоРмУлы (81) Хмю н выРаженис д из формулы (82), получим у"! Ь 7 сш ~/ ! —— 4 откуда видно, что прн наибольшем эффекте внешней силы н малом 7 раз. ность фаз Ь близка к ( — — !. 2)' Возвратимся теперь к формуле (77). При сравнительно уже небольших значениях х первое слагаемое, дающее собственные захукающне колебания, будех мало по сравнению со вторым.
Будем теперь менять велнчнну чч т. е. При малом Т величина л, которой соответствует максимум 1, близка к единице, т. е. период внешней силы, произволящей, при данной ее амплитуде, наибольший аффект, близок к периоду свободного колебания. Разница между этими периодами, зависящими от величины 7, обусловливается наличием сопротивления. Если сопротивление отсутствует, то 7=0, н максимум А достигаетсв прн л = 1 н равен бесконечности. В этом случае, характеризуемом условием й = 0 н м =й, уравнение (73) будет х" + д'х = гт' йп (дг + Т ), (83) н его решение уже нельзя нскать в виде (74). Предоставляем читателю проверить, что урзвненне (83) будех иметь решение 102 гл.
и. линппиып дие випкнтгыдльньги ипдвнпнии 1аа период Т воэмущагошей сизы. В сиау вышесказанного нрн агом буде~ иметь место сведующее явление: при прнбанжснни Т к некоторочу опредеаеннону значению вынужденные коаебання будут быстро возрастать, достигнут максимума н затем прн дааьнейшем изменении Т будут быстро падать. Это яззепне называется резонансом. Оно встречаетса при самых разнообразных явлениях, где мы имеем дело с коаебаниями: прн колебании механических систем, прн эаектрическнх колебаниях, в явлениях звука и т. д. Положим теперь, что правая часть уравнения содержит сумму нескоаь.
ких сннусопдаяьных величин х ~ Фааш(игг+чг+зг). 1 г Покажем теперь, каким образом, наблюдая вынужденное коэебзние, можно определить ампантуды и периоды слагаемых а правой части уравнения (84), если они неизвестны. Поаожим, что мы можем изменять величину И', т. е. перипд т свобод. пых колебаний. При этом будет иметь место следующее явление. 'прн приближении ч к кепоторой величине т, амплитУдз вынужденных колебаний будет быстро возрастать, достигнет максимума и прн дальнейшем изменении т быстро упадет я будет оставаться мазай, пока период т не прибзиэится в величине тп которой бу- Я) И' И) й и дет соответствовать второй максим)м амплитуды вышеописанного характера и т. д. Рис.
17. Эти максимумы обзясняются явлением резонанса с одной иэ внешних сиз, стоящих в правой части уравнения (84), и величины тп т„... дают прнбзнженное значение периодов атнх внешних сив. Огкаадмвая по оси абспнсс периоды свободных колебаний, з по осн ординат амплитуды вынужденных коаебанпй, поаучнм кривую с несколькими максимумами (рис. 17). 2л' При я=ту ~иаи И~йу= — ~ в сумме (85) будет велик по сравнению ч/ с другим один член, а именно тат, у которого пу близко к Иь Набаюдая из опыта максимааьную величину амплитуды вынужденного колебания, мы можем считать ее прнбвиэнтезьно равной гту и иэ формулы М Н )Г (Иу — пу)а+ 4И'и*у ' ПРИННМаа ВО ВППМаНИЕ, ЧтО Иг баНЭКО К Ии СМОЖЕМ пэйан ПРИбанжЕННОЕ значение напряжения силы Нг.
аы 2ИИ Фь 187) (86) х" + 2Их' .(- И'х = ~ Нг мп (ьгт + рг). (84) г 1 Каждому слагаемому правой части уравнения соответствует некоторое свое вынужденное колебание вада Фг пп ( ~гг+ рг+ зг) (1= 1, 2, ..., пг), причем Лг в Ьг опредеяяются по формулам (75) н (76), если правая часть уравнения известна.
Сумме всех внешнкх сия будет соответствовать сумма указанных выше вынужденных коаебаний, т. е. частное решение уравнений (84) будет (30) „д з овщяя теоиия н киявнвння с постояннымн козфанцнснтлми103 Предельнгяе ввдвчи. Мы рассматривали выше задачу интегря рирования дифференциального уравнения при заданных начальных овнах. В дальнейшем вы часто будем встречаться с задачами, которых заданы не начальные условия, а условна на обоих концах промежутка, в котором рассматривается задача интегрирования равпения. Такого типа условия называются обычно граничными или редельными услоаиими. Их число должно равняться порядку уравняв. ВыЯсним некотоРые основные факты длв задач с пРедельными ливнями для случая линейных дифференциальных уравнений.
Предварительно напомним некоторые сведения о системах линейных алгебраических уравнений. Пусть имеется два уравнения с двумя неиззестнымн а,х+дгу=си а,х+Ьу=с, (88) нля а,х+ д,у = О, а„х+ дау = О. (89) Система (89) называется обычно однородной. При решении написанных систем имеют место следующие два случая: 1) если агдя— аяд, ф О, то система (88) имеет решение и притом единственное при любых свободных членах с, и сь а однородная система (89) имеет только нулевое решение х=у=О; 2) если а,д,— аяд,=О, то однородная система (89) ямеет ненулевые решения, а системз (88) имеет решение не при всяких свободных членах, и если она имеет решения, то число решений бесконечно.
Скажем подробнее о втором случае Пусть х= хь у =у, — ненулевое решение системы (89). Нетрудно видеть, что х = сх,, у = суи где с — произвольная постоянная, также является решением системы (89). Если свободные члены в системе (88) таковы, что зта система имеет решения х=хг, у =уь тп формулы х=х,+схм у=у,+ су, при любом с дают также решение системы (88).
Совершенно аналогичные обстоятельства имеют место я для п линейных уравнений с и неизвестными; или однородная система (со свободными членами, равныын нулю) имеет только нулевое Решение и прн атом неоднородная система имеет решение и притом елинственное при любых свободных членах, или однородная 'система имеет решения, отличные от нулевого, и прн втоы неодноРо(гиля система имеет решения не при любых свободных членах, и если имеет решения, то число решений бесконечно.
В дальнейшем мь' будем часто встречаться с альтернативой такого рода. Полное мсслдкование систем линейных алгебраических уравнений будет изложено в первой части третьего тома рассмотрим общую схеиу решения предельной задачи для лннейс оно мого однородного дифференциального уравнениа второго порядка вида однороднымн предельными условиями.
Пусть имеется уравнение (9О) у'+(>,г'(х)+ а(х)1у=О, 104 гл. и. лннвпныв дис ввввнцилльныи твдвниння 1аа гле о(х) и г(х) — функции, непрерывные а конечном промежутке а ~х .=-Ь, н Л вЂ” численный параметр, который может принимать раз. личные значения. Положим, что на конках указанного промежутка авданы однородные предельные условия у(а)=0, у(Ь)=О (91) плп более общие аУ (а)+ рУ'(а) = О, тУ (Ь)+ ЬУ'(Ь) = О, (92) где з, р, т, 3 — численные коэффициенты, Введем в рассмотрение какие-либо линейно независимые решения уравнения (90).
Они зависят, очевидно, не только от независимой переменной х, но и от того, какое значение имеет параметр Л, и мы обозначим их через у,(х, Л) и уз(х, Л). Общее решение уравнения(90) имеет вид у (х Л) С3у1 (х Л) + Сяуа (х Ч (93) и предельные условия (91) приводят иас к однородной системе для С, и Са.' С,у,(а, Л)+Сяуа(а, Л)=0, С,у,(Ь, Л)+Саут(Ь, Л)=1Л (94) Эта система имеет, очевидно, нулевое решение С,=Са=О, которому соответствует нулевое решение у(х, Л)ьнО задачи (90Л (91). Если Л выбрано так, что система (94) имеет только нулевое решение, то и предельная задача (90), (91) имеет только нулевое решение. Если же Л удовлетворяет уравнению у,(а, Л)уя(Ь, Л) — у,(Ь, Л)у,(а, Л)=0, (9б) то система (94) имеет решение, отличное от нулевого, и, подставляя значение С„ Сз в формулу (93), получим в этом случае ненулевое решение у(х, Л) задачи (90), (91).
При таких Л функцня у(х, Л) будет удовлетворять уравнению (90) и условиям (91) Это решение можно умножать на произвольную постоянную, т. е. Су(х, Л) также будет решением задачи (90Л (91). )Лругик решений при выбранном Л задача не будет яметь, ибо все решения, имеющие корень х=а, линейно зависимы. Таким образом, если Л не есть корень уравнения (95), то задача (90), (91) не имеет решений, отличных от нулевого.
если же л— корень уравнения (95), то эта задача имеет решение у(х, Л) — отличное от нулевого, и это решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя. Корни уравнения (95), т. а те значения Л, прп которых задача (90), (91) имеет решение у(х, ЛЛ отличное от нулево~ о, называются обычно собстаамлылпг значениями втой задачи, а реше. ния у(х, Л), собст всннымп фунхдипмп задачи, соответстзующеп указанному собственному значению. Совершенно аналогично можно рассмотреть и случай предельных условий вида (92). Э к Оеш»Я теОРКЯ и УР»енении с постОЯнныыи коэФФициент»ми!Об пели же рассмотрим неоднородное урзинсние а" + [Лг(х)+ д(х)[ и =У(х) (96) пргг и неоднородных предельных условиях з(а)=с, «(гг)=~у, (97) обозначая по-прежнему через у, (х, А) и у„(х, А) линейно независимые '„[ения уравнения (90), мы придем к неоднородной системе для С, и дввыв части которой совпадают с лепыии частями уравнений(94).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
