Главная » Просмотр файлов » Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974)

Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 23

Файл №1095474 Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974)) 23 страницаСмирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474) страница 232018-10-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Каждое из уравненяй будет, вообще говоря, содержать все функции д, и их производные по 1 первого и второго порядка. В случае двух степеней свободы система будет иметь вид арр)', + Ь~у,'+ сир+ ау.', + Ьр тр+ срир = О, р(у,'+ е, у, +1р П+ гтрк", + ерш, -'г'-Дур — — О, ! (1б2) где 9„Ч,", р,', и, — произвольные от д, н др по г. Обовйачаия, как и выше, символическим множителем 0 операцию диффереяцирования по т, можем переписать систему (152) так: (ар0~+ Ь,0+ ср) тр+(ар0 + Ьр0+ ср)та= 0„1 (ррр0Р+ер0+Ур) рур+(р(р0Р+ер0+Л) да=о.

/ (163) Йсли н ели на снстему действуют внешние силы, то в правов части уран- -мрйрий будут не нули, а известные функции и 118 ГЛ. П. ЛИНЕННЫЕ ДИФФЕРЮШИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ал Начальные условии имеют внд ау! ) -о= 4аа. ауа!а -л = (ааь аут |г о = ауьь ауй)г о = ау~э где ау!э ау,ь дта, ау,а — заданные числа, н общий интеграл системы (!53) должен содержать четыре произвольные постоянные.

Покажем, каким образом интегрирование системы (153) приводится к интегрированию одного линейного уравнения четвертого порядка с одной неиэвестной функцией (ср. 2Ц. Для этого введем вспомогательную функцию У от г, полагая (21] ау! = — (атВч+ Ь,В+от) У, аут=(ааВа+ Ь,В+ с!) К (154) Подставляя этн выражения ау! и аут в уравнения (153), увидим, что первое уравнение будет удовлетворено прн любом выборе К н остается выбрать функцию Утек„чтобы было удовлетворено н второе нэ уравеннй (153).

Подставляя выражения (154) в это второе уравненпе, получим для У уравнение четвертого порядка ') )(а,Вт+ Ь,В+с,)(а(тРт+етВ+Я— — (атВа+ ЬтВ+ ст) (г(аРД+ еаВ+гд) У= О. (155) Найдя К получнм ау! н аут нэ (154) простым дифференцированием. Пусть г„гт, г„г,— не кратные корни характернстнческого уран. пения (а,гт+ Ь,г+ с,) (аттгт+ етГ+Ут)— — (а,г'+ Ь,г+ ст) (г(ага+ е,Г +У!) =О, (156) так что )г' — С,егаг+ С егаг+ С,егы+ Слога!, (157) Подставляя вто выражение в формулы (154) н прнннмая во винманне„что Вен=ге" н 0'е"=г'е", получим общее выражение для ау! н дт.

Оно будет представлять собою также линейную комбинацию четырех решений, каждое нэ которых будет содержать пронавольный настоянный множитель. Так, например, решение У=С,е'а' даст ауа = — С! (атг,'+ Ьтг, + ст) е'а', дт — — С, (а!тат+ Ь,гт+ с!) е аг, (1о3) Если уравнение (156) имеет комплексные корни, что обычно н встречается в приложениях, то решение уравненнй (155) полеэно писать в тригонометрнческой форме, так что ларе сопряженных корней г=а +-Ь1 будут соответствовать решения для К! С,е" соэ Ь( и С,еае э!и Ьу. ') Мы предполагаем, что ааааа — ааааа ~0; этот случай имеет всегда место врн рассмотрении движения материальной сйстсмы.

аз а з. овщая твоэия и хвавнвння с постоянными коээвииисптлми! ! 9 Точно так же, если уравнение (156) имеет двукратный корень т,=г то решения будут С,еок и С»1ео 0 Отметим теперь тот случай, когда предыдущие вычисления не дадут для 9» и д» общего решения, содержащего четыре произволь„ые постоянные. Положим, что для некоторого корня т, уравнение (156) будет а,г,'+ Ь,г»+ е, = а»г,'+ Ь,г, + е»=0. (159) ц этом случае формулы (1о8) дадут для 9» и д» тождественно нуль, и общее решение системы не будет содержать произвольной постоянной Св Мы можем попытаться восстановить эту потерянную произвольную постоянную тем путем, что для введения вспомогзтельной функции У воспользуемся вместо уравнений (154) уравнениями д,=(г(»Р»+е»Р+т»)У, 9» — — — (4,Р»+ е,Р+Д») У.

(160) Прн этом второе из' уравнений (153) будет удовлетворено пря всяком выборе У, и, подставляя выражения (160) в первое из уравнений (153), получим для У то же уравнение (155), что и выше. При атом корень г, характеристического уравнения (156) даст для д» и у» вместо (158) выравсения 9» =- С» (4г1+ е,г, +у») е»г, »у» — — — С, ф,г, '+ е,г, +я ео( Если хоть один из множителей (г!»г',+е»г»+у») и (а»г»+е»г»+Л) будет отличен от нуля, то мы восстановим, таким образом, решение, соответствующее корню г=г» уравнения (156). Остается еще рассмотреть тот случай, когда, кроме соотношений (159), имеют место соотношения »1»г»» + е,г, +г, = 4г', + е»г, + т» = О. (161) При этом пам не удается указанным путем восстановить решение, соответствующее корню г=г, уравнения (156), Но раз выполнены соотношения (1о9) и (161), то каждый из квадратных трехчленов, стоящих в левой части уравнения (156), будет иметь корень г =г„ т.

к будет содержать множитель (г — г»). Следовательно, при выполненин соотношений (159) и (161) корень г=т, должен быть кратным корнем уравнения (156). Ограничимся рассмотрением того случая, когда г=г, будет двукратным корнем, и укажем два решекия системы, соответствующие атому двукратному корню. Эти два решения будут а,=Се'', а»=0 (162) С»е пи (163) 120 гл. ш линяпныв диааиввнцилльныи квлвниния 14а Действительно, подставляя, например, выражения (162) в левую часть уравнений (153), получим, в силу соотношении (И9) и (161), тождества. Указанные два решения будут различны, так как в первом ая есть тождественно нУль, а во втоРом ря отлично от нУлЯ, Заметим, что если в случае кратного корня г, = гя не выполняется, например, одно из соотношений (159), то, подставляя в формулы (154): У= С,ае е и У= Сасее,е мы получим рещение (158) и решение, содержащее Ф множителеьп а, = — Ся (аяг, '+ Ь,г, + с,) 1е'П + Сер,е'~е> д, = С, (а,г,'+ Ь,г, + се) сеем + Сарае'~е, где р, и ра — опредЕлеииые постоянные.

Общий интеграл неоднородной системы (ае0 + Ье0 + с1) й + (ая0 + Ьь0+ ся) 9а = Уг (1), (10а [ О+у +((0я+ + . у (164) как и в случае одного уравнения, представляет собою сумму общего интеграла соответствующей однородной системы (153) и какого-либо частного решения иеоднородноп системы. Если свободные члены е;(1) н Ля(е) имеют вид Аае"е соа 31+ В е е а1п ~1 — 0еы а1п (гяе „[ то и частные решения можно искать в виде а,= А,е"' соз ре+В,с" гяп 31, у,=А,е"' спарт+ В,е з1п рс, если только (я г р1) не является корнем уравнения (И6).

Подставляя эти выражения в левые части уравнения (164) и приравнивая коэффициенты при е"~ соя 31 и е'а1п 31, получим уравнения для определения Аь Вь А,, Ви Частные решения системы (164) можно получить прн любых у,(1) и ~' (1) так же„как иы это делали в случае одного уравнения [40). Решая систему (164) относительно ег, и дь получить например, для а,0'+ ее0+Уеу а„0'+ Ье0+ е,у а(о) ' а(0) где через б(0) мы обозначили для краткости символический полипом, стоящий в левой части уравнения (155).

Разлагая рациональные дроби и пользуясь указанным в [33] значением символического множителя (Π— «) ь, мы и получим искомое решение системы (164). Заметим еше, что, пользуясь рассуждениями на [21[, иы можем легко приводить интегрирование системы линейных уравнении с постоянными коэффициентзми к интегрированию одного линейного ураа- м(э з.

оэщая тсоэия и эидвиниия с постоянными коэооицинитдми 121 44. Примеры. 1. Рассмотрям систему а(ау сааа —,=а+х, —,т=у+2х, где у н а — искомые фуикцин от х. Определяа из первого уравнения ж а=; — х ~а (165) ах' и подставляя во второе уравнение, получим уравнение четвертого порядка длл ун — — у=2х а(ау общий интеграл которого определяется по обычным правилам: у С,е" +С,а а+С, созх+С,зшх — 2х. Подставляя зто выражение в формулу (165), получим выражение дла ш л = С,ел+ С,е а — С, соа х — С, Мп .е — х. 2. Рассмотрим систему трех уравнений первого порядка ай ' гй ' ай — =у+а — =а+х — =х+у а(у (166) где х, у н а-искомые функции от г.

Решая первое уравнение относительно уз у= — — а атх ай (167) в подставная это выражение в остальные два уравнения, получим ачх ага ааа атх — — — =а+х, — =х+ — — *. ай* ай ' ай лат (168) ал Подставляя выражение — нз второго уравнение в .первое получим уравагг а ление второго порядка, содержащее олно только х (исключительный сау чай): лаах атх — — — — 2х=О, атса аг обшнй ннтеграл которого будет х — С,лаа+Сае а (169,) уйтдставаля зто во второе из уравнений (168), получаем уравнение первого порядка дая ж аул и аут — +а 8Се, оййИШ нитеграа которого будет а С,а '+С,аы. (169а) пения с постояннымн коэффициентами. В томе 11! мы дадим общий прием интегрирования систем уравнений с настоянными коэффициен- тами.

122 Ел. я. линейные диопепеИИ!ГлльНЫЕ Кпденекин !44 (1 73) вз уравнения (!70), получим > А! >Гга + — '1,— — — а=0. (!74) 6>! Наконец дифференцируя это уравпсннс еще рзз и заменяя опять М вЂ” ' > гг" выражением (173), придем к линейному уравнению четвертого порядка для ьр 3 1 + !1 — '+ — *~ — '+ — 1 =0. (Пб) 77а! Лг> Подставляя выражения (169>) и (169,) в формуяу (!67), получим вырзжспие дла у у=Се'г — (С,+С ) г г. (169.) Здесь получился тот исключительный случай, о котором мы уже упомп- налв з !2!!. Вместо одного днффсренциального уравнения третьего поряака мы пол)чили одно уравнение второго порядка н еще одно уравнение пер- ви о порвдка.

3. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами встре- чаются не только прп рассмотрении малых колебаний мехапнческик систем около положения равновесия, как мы уже упоыинали выше, но и прн иссле- довании этсктрпчсскнх колебаний. Положим, что имеются две цепи, находя- щиеся в магнитной связи, т, е. ток одной нз цепей создает магнитное поле, пнзуктирующсс электродвнжущую силу другой цспи. Волн!> и г — силы токов в аепвх, то для первой цепи индуктированнзя злектродвижущая сила будет Л! — „ а для второй М вЂ , где М вЂ” постоянный коэффициент взаимной гЛа аН> лг " >гг ' индукции. Если мы предположим, что нв в одной из испей нет источника тока, то уравнения б!дуг Л'1, 61> ! а>'>.а (170) > М вЂ” '+Š— а+ А'а — ~+ — !а =О> ЛЧ> ЛЧ, 67, 1 Г 'ЛГ* ' ЯГ Саа (171) где йп )7„ С, — коэффициент самоиндукции, сопротивление и емкость пер- вой цепи, а (.а, )7„ С, — те же величтгйы для второй цепи.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
21,43 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее