Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Каждое из уравненяй будет, вообще говоря, содержать все функции д, и их производные по 1 первого и второго порядка. В случае двух степеней свободы система будет иметь вид арр)', + Ь~у,'+ сир+ ау.', + Ьр тр+ срир = О, р(у,'+ е, у, +1р П+ гтрк", + ерш, -'г'-Дур — — О, ! (1б2) где 9„Ч,", р,', и, — произвольные от д, н др по г. Обовйачаия, как и выше, символическим множителем 0 операцию диффереяцирования по т, можем переписать систему (152) так: (ар0~+ Ь,0+ ср) тр+(ар0 + Ьр0+ ср)та= 0„1 (ррр0Р+ер0+Ур) рур+(р(р0Р+ер0+Л) да=о.
/ (163) Йсли н ели на снстему действуют внешние силы, то в правов части уран- -мрйрий будут не нули, а известные функции и 118 ГЛ. П. ЛИНЕННЫЕ ДИФФЕРЮШИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ал Начальные условии имеют внд ау! ) -о= 4аа. ауа!а -л = (ааь аут |г о = ауьь ауй)г о = ау~э где ау!э ау,ь дта, ау,а — заданные числа, н общий интеграл системы (!53) должен содержать четыре произвольные постоянные.
Покажем, каким образом интегрирование системы (153) приводится к интегрированию одного линейного уравнения четвертого порядка с одной неиэвестной функцией (ср. 2Ц. Для этого введем вспомогательную функцию У от г, полагая (21] ау! = — (атВч+ Ь,В+от) У, аут=(ааВа+ Ь,В+ с!) К (154) Подставляя этн выражения ау! и аут в уравнения (153), увидим, что первое уравнение будет удовлетворено прн любом выборе К н остается выбрать функцию Утек„чтобы было удовлетворено н второе нэ уравеннй (153).
Подставляя выражения (154) в это второе уравненпе, получим для У уравнение четвертого порядка ') )(а,Вт+ Ь,В+с,)(а(тРт+етВ+Я— — (атВа+ ЬтВ+ ст) (г(аРД+ еаВ+гд) У= О. (155) Найдя К получнм ау! н аут нэ (154) простым дифференцированием. Пусть г„гт, г„г,— не кратные корни характернстнческого уран. пения (а,гт+ Ь,г+ с,) (аттгт+ етГ+Ут)— — (а,г'+ Ь,г+ ст) (г(ага+ е,Г +У!) =О, (156) так что )г' — С,егаг+ С егаг+ С,егы+ Слога!, (157) Подставляя вто выражение в формулы (154) н прнннмая во винманне„что Вен=ге" н 0'е"=г'е", получим общее выражение для ау! н дт.
Оно будет представлять собою также линейную комбинацию четырех решений, каждое нэ которых будет содержать пронавольный настоянный множитель. Так, например, решение У=С,е'а' даст ауа = — С! (атг,'+ Ьтг, + ст) е'а', дт — — С, (а!тат+ Ь,гт+ с!) е аг, (1о3) Если уравнение (156) имеет комплексные корни, что обычно н встречается в приложениях, то решение уравненнй (155) полеэно писать в тригонометрнческой форме, так что ларе сопряженных корней г=а +-Ь1 будут соответствовать решения для К! С,е" соэ Ь( и С,еае э!и Ьу. ') Мы предполагаем, что ааааа — ааааа ~0; этот случай имеет всегда место врн рассмотрении движения материальной сйстсмы.
аз а з. овщая твоэия и хвавнвння с постоянными коээвииисптлми! ! 9 Точно так же, если уравнение (156) имеет двукратный корень т,=г то решения будут С,еок и С»1ео 0 Отметим теперь тот случай, когда предыдущие вычисления не дадут для 9» и д» общего решения, содержащего четыре произволь„ые постоянные. Положим, что для некоторого корня т, уравнение (156) будет а,г,'+ Ь,г»+ е, = а»г,'+ Ь,г, + е»=0. (159) ц этом случае формулы (1о8) дадут для 9» и д» тождественно нуль, и общее решение системы не будет содержать произвольной постоянной Св Мы можем попытаться восстановить эту потерянную произвольную постоянную тем путем, что для введения вспомогзтельной функции У воспользуемся вместо уравнений (154) уравнениями д,=(г(»Р»+е»Р+т»)У, 9» — — — (4,Р»+ е,Р+Д») У.
(160) Прн этом второе из' уравнений (153) будет удовлетворено пря всяком выборе У, и, подставляя выражения (160) в первое из уравнений (153), получим для У то же уравнение (155), что и выше. При атом корень г, характеристического уравнения (156) даст для д» и у» вместо (158) выравсения 9» =- С» (4г1+ е,г, +у») е»г, »у» — — — С, ф,г, '+ е,г, +я ео( Если хоть один из множителей (г!»г',+е»г»+у») и (а»г»+е»г»+Л) будет отличен от нуля, то мы восстановим, таким образом, решение, соответствующее корню г=г» уравнения (156). Остается еще рассмотреть тот случай, когда, кроме соотношений (159), имеют место соотношения »1»г»» + е,г, +г, = 4г', + е»г, + т» = О. (161) При этом пам не удается указанным путем восстановить решение, соответствующее корню г=г, уравнения (156), Но раз выполнены соотношения (1о9) и (161), то каждый из квадратных трехчленов, стоящих в левой части уравнения (156), будет иметь корень г =г„ т.
к будет содержать множитель (г — г»). Следовательно, при выполненин соотношений (159) и (161) корень г=т, должен быть кратным корнем уравнения (156). Ограничимся рассмотрением того случая, когда г=г, будет двукратным корнем, и укажем два решекия системы, соответствующие атому двукратному корню. Эти два решения будут а,=Се'', а»=0 (162) С»е пи (163) 120 гл. ш линяпныв диааиввнцилльныи квлвниния 14а Действительно, подставляя, например, выражения (162) в левую часть уравнений (153), получим, в силу соотношении (И9) и (161), тождества. Указанные два решения будут различны, так как в первом ая есть тождественно нУль, а во втоРом ря отлично от нУлЯ, Заметим, что если в случае кратного корня г, = гя не выполняется, например, одно из соотношений (159), то, подставляя в формулы (154): У= С,ае е и У= Сасее,е мы получим рещение (158) и решение, содержащее Ф множителеьп а, = — Ся (аяг, '+ Ь,г, + с,) 1е'П + Сер,е'~е> д, = С, (а,г,'+ Ь,г, + се) сеем + Сарае'~е, где р, и ра — опредЕлеииые постоянные.
Общий интеграл неоднородной системы (ае0 + Ье0 + с1) й + (ая0 + Ьь0+ ся) 9а = Уг (1), (10а [ О+у +((0я+ + . у (164) как и в случае одного уравнения, представляет собою сумму общего интеграла соответствующей однородной системы (153) и какого-либо частного решения иеоднородноп системы. Если свободные члены е;(1) н Ля(е) имеют вид Аае"е соа 31+ В е е а1п ~1 — 0еы а1п (гяе „[ то и частные решения можно искать в виде а,= А,е"' соз ре+В,с" гяп 31, у,=А,е"' спарт+ В,е з1п рс, если только (я г р1) не является корнем уравнения (И6).
Подставляя эти выражения в левые части уравнения (164) и приравнивая коэффициенты при е"~ соя 31 и е'а1п 31, получим уравнения для определения Аь Вь А,, Ви Частные решения системы (164) можно получить прн любых у,(1) и ~' (1) так же„как иы это делали в случае одного уравнения [40). Решая систему (164) относительно ег, и дь получить например, для а,0'+ ее0+Уеу а„0'+ Ье0+ е,у а(о) ' а(0) где через б(0) мы обозначили для краткости символический полипом, стоящий в левой части уравнения (155).
Разлагая рациональные дроби и пользуясь указанным в [33] значением символического множителя (Π— «) ь, мы и получим искомое решение системы (164). Заметим еше, что, пользуясь рассуждениями на [21[, иы можем легко приводить интегрирование системы линейных уравнении с постоянными коэффициентзми к интегрированию одного линейного ураа- м(э з.
оэщая тсоэия и эидвиниия с постоянными коэооицинитдми 121 44. Примеры. 1. Рассмотрям систему а(ау сааа —,=а+х, —,т=у+2х, где у н а — искомые фуикцин от х. Определяа из первого уравнения ж а=; — х ~а (165) ах' и подставляя во второе уравнение, получим уравнение четвертого порядка длл ун — — у=2х а(ау общий интеграл которого определяется по обычным правилам: у С,е" +С,а а+С, созх+С,зшх — 2х. Подставляя зто выражение в формулу (165), получим выражение дла ш л = С,ел+ С,е а — С, соа х — С, Мп .е — х. 2. Рассмотрим систему трех уравнений первого порядка ай ' гй ' ай — =у+а — =а+х — =х+у а(у (166) где х, у н а-искомые функции от г.
Решая первое уравнение относительно уз у= — — а атх ай (167) в подставная это выражение в остальные два уравнения, получим ачх ага ааа атх — — — =а+х, — =х+ — — *. ай* ай ' ай лат (168) ал Подставляя выражение — нз второго уравнение в .первое получим уравагг а ление второго порядка, содержащее олно только х (исключительный сау чай): лаах атх — — — — 2х=О, атса аг обшнй ннтеграл которого будет х — С,лаа+Сае а (169,) уйтдставаля зто во второе из уравнений (168), получаем уравнение первого порядка дая ж аул и аут — +а 8Се, оййИШ нитеграа которого будет а С,а '+С,аы. (169а) пения с постояннымн коэффициентами. В томе 11! мы дадим общий прием интегрирования систем уравнений с настоянными коэффициен- тами.
122 Ел. я. линейные диопепеИИ!ГлльНЫЕ Кпденекин !44 (1 73) вз уравнения (!70), получим > А! >Гга + — '1,— — — а=0. (!74) 6>! Наконец дифференцируя это уравпсннс еще рзз и заменяя опять М вЂ” ' > гг" выражением (173), придем к линейному уравнению четвертого порядка для ьр 3 1 + !1 — '+ — *~ — '+ — 1 =0. (Пб) 77а! Лг> Подставляя выражения (169>) и (169,) в формуяу (!67), получим вырзжспие дла у у=Се'г — (С,+С ) г г. (169.) Здесь получился тот исключительный случай, о котором мы уже упомп- налв з !2!!. Вместо одного днффсренциального уравнения третьего поряака мы пол)чили одно уравнение второго порядка н еще одно уравнение пер- ви о порвдка.
3. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами встре- чаются не только прп рассмотрении малых колебаний мехапнческик систем около положения равновесия, как мы уже упоыинали выше, но и прн иссле- довании этсктрпчсскнх колебаний. Положим, что имеются две цепи, находя- щиеся в магнитной связи, т, е. ток одной нз цепей создает магнитное поле, пнзуктирующсс электродвнжущую силу другой цспи. Волн!> и г — силы токов в аепвх, то для первой цепи индуктированнзя злектродвижущая сила будет Л! — „ а для второй М вЂ , где М вЂ” постоянный коэффициент взаимной гЛа аН> лг " >гг ' индукции. Если мы предположим, что нв в одной из испей нет источника тока, то уравнения б!дуг Л'1, 61> ! а>'>.а (170) > М вЂ” '+Š— а+ А'а — ~+ — !а =О> ЛЧ> ЛЧ, 67, 1 Г 'ЛГ* ' ЯГ Саа (171) где йп )7„ С, — коэффициент самоиндукции, сопротивление и емкость пер- вой цепи, а (.а, )7„ С, — те же величтгйы для второй цепи.