Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Положим теперь, что р =п есть целое положительное число. Решение (17) сохранит свою силу, а решение (18) потеряет силу, тая кав,начинаа с некоторого чисаа, один иэ множителей а знаменателе членов раэаожения (13) будет равен нулю. При целом положительном р = и бесселева функция гл(х) определяется из формулы (17) добавлением постоянного множи- 1 теля —; 2лп' хл Г х' ха 2лп! ! 2(2п+2)+2 4 ° (2п+2) (2п+4) х +, "1 (19) 2 ° 4 ° 6(2п+ ) ( и + 4) ( и+ 6) " ' ) ' Общий члец в этом раааожении будет ха+та ( 1!а 2л.
п1 2.4 ° 6 ° ... 2з ° (2п+ ) 2п+ 4) (2п+ 6) ... (2п+ 2з) ' В знаменателе каждый из 2з множителей, стоящих после 2л ° п1, содержит множитель 2, Относя этот множитеаь к 2", можем переписать общий чаем в ваде а 4. ИнТеГРИРОВАЯИЕ С пОЬ!ОЩью СТЕПеКкых РЯЛОП В силу сказанного в (47), уравнение (1б) при целом положительное р и бУдем нметь наРЯдУ с Решением (20) втоРае Решение вида Кл(х) =рул(х)!их+ А-л ~ р х'. (92) а Это пешение, очезидяо, обращзется в бесконечность прп х = 0 с»бщий интеграл уравнения (!6) прн р = и будет У = Сеул ( с) + СеКл (х). (2З) Если мы хотим получить решенпе, конечное в точке «=0, го мы должны взять постоянн)ю С, равной нулю, т. е. должны ограничиться рсшсннем (20). Приведем более подробно вид рсшения (22) при р=0.
В этом случае уравнение будет у" + — у'+у=0, ! (24» н адно из его решений лается Формулой (21). Второе решение можно искат в виде Ргл(х)10«+Ят +)~«+реха+ Взяв линейную комбинацию этого решения с уже найденным, можем свободный член Рл привести к нулю, так что окончательное решение ыожна искать в виде рул(х)!ах+ 0,А'+Р х'+ ... Подставляя это выражение в левую часть уравнения (24) и применяя способ неопределенных коэффициентов, последовательно определим коэффициенты рл.
Не приводя всех вычислений, мы только укажем окончательное вмраженне второго решения. При этом коэффициент Р, который оказывается не равным нулю, мы полагаем равным единице х' х' г 1т Кл (х) — /л (х) 1е х + —, — —,, 1 + — + —, (1+ — + — ) — „, (25) хл 1 1 Эта функция называется бесселевой, или цилиндрической, фуляцпей нулевого порядка ешорого родо. 2п+ 1 Положим нзконец, что р = - — есть половина целого нечетного чя. 2 ела. Хотя в этом случае разность корней опрелеляюшего уравнения н равна целому числу ("п -1- !), но оба решения (17) н (18» сохраняют силу п будут между собою линейно независимыми, тзк как у одного множитель перст зл ! тл+ ~ степенным радам будет х 3, а т крутого х 3, н следаяатсл о, от жение зтнх двук решений не мая(ег быть постоянной величиной.
! !Тодставляя, например, в решение (!7) р= —,, пол»чвм рлд 2' 1 1 Р тт «л хт 1 мах ргхь 3! 51 7! '''~ ) 'т ' 134 ГЛ. П, ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНИИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Из .Гг УмножаЯ зто Решение на постоннный множитель ауг —, полУчим бесселеву функцию 21 (х): з у, (х) = 1РГ зш х. Г б кХ Тошш так же формула (18) даст з 1(х) = ~, соах, l 2 и общий интеграл уравнения (16) при р= — будет 1 2 у=С,У1(к)+С,У 1(х). (26) (27) Укажем, пе орнводя доказательства, на то, что вообще бесселева фтпкция со значком, равным половине нечетного числа, выражается через элснентарные функции, а именно имеет вид узн.(.
1(х) = ф77 — ~Р„~ — ) а)п х+ ()„( — ) соз х~, где Ря 1 — ) и ()а 1 — ) — многочлепы от 1/х. В частности, ~гг 2 гз1пх уа (х) = "эг 11 — — аж х), яхт х з ! уз (х) = 17 — ~~ —, — 1) з)п х — — ае х~, г" 2 8, 3 .вГ 2 Г . созх1 и з(х) = зт7 — 1 — ипх — ), ' '")=~ — ~--"+~--1) со "1. КХ Х '(кэ Кроме того, для аюбого целого поаожительного и имеет место формула тя+ 1 /~„+, (х) = ( — 1) ауг — х я и (кэ)н '1 к мих В этой формуле надо четную функцию — диффереяцировать я раз по ха, х (28) 48. Уравнения, приводящнеся к уравнению Бессели, Укажем некоторые уравнения, которые приводятся к уравнению Бесселя (16) заменой переменныз.
Рассмотрим уравнение зила х"у" -)- ку' + (й'х' — р') у = О, а 4. ИнткГРИРОВАНИВ С ПОЬЕОЩЬЮ СтЕПГННЫХ РЯДОВ щ) так что УРавнсние (28) пер „„ + йх —. + (йаха а" У «у «аа илн Р)»=о «'У «У «1» а зто есть уравнение Бесселя (16) с независимой переменной Б Такив обрзвом, в силу 8= ах, общий интеграл уравнения (28) будет У вЂ” Стул (ях) + Сау р (йх), (29) мли, если р =и есть полое положительное число плн пуль, У = Са»л (йх) + СВКл (йх). (29,) Приведем еще обпшрный класс уравнений, прпводящнхся к уравнению Бесселя. Для етого введем в уравнение (16) новую нсзавпсимтю переменную Е и новую функцию и по формулам У=Е"л н Х=ТЕ, ГДЕ а, У И т — ПОСГОЯННЫС, ПРЦЧСМ У И 1 Отпн и Ы ОГ НУЛИ.
ЛиффЕРЕНЦПРУЯ, инеем очевидные равенства «Е 1, «У 1 с л» --= — Е' З, — =.— Есй —, «х 61 ' «х )т «е' «а» 1, 1' 1, «т» ! — Р «»1 . Еа-З1 Н-З, + Е-) '1 )т 1)т н, кроме того, «у «и — =Еа — +аг" 'и, «Е «Е — + * (з — 1) Е'*и. «у а«п «Еа = «Еа Подставляя выражения У, — н — в уравнение (16] и эачспяя — и «» «ау «У «У ' «х «ха «Е «Еа «и «ти нз последними выравзсниямн через и — и —, получим, после злемсн- ' «Е «Еа' таРных преобразований, уравнение длн и: «", Ра ) «Е~~ ~ (,а Ра»+уау газ)и=й. «Еа «Е Уравнение (16) имело общий интеграл у — С,,/л (х) + Са) «(х), н следовательно, в силу (86), уравнение (31) будет иметь общий интеграл иаьг "»=С~~ а)я(1ЕЗ)+Сат ~! Р(ттт) (921 причем пичем если Р = и — целое положительное число нли нУль, то » л(ге') на,со ваменить на Е(я(1Е ).
(81) й — некоторая постоянная, отличная от нуля. Введем вместо х повею нева ни авнсимую переменную 1= ах. Прп этом надо будет в уравнении (28) заменить «У «у «а — «»'), «-'» «х «2«х= «1 «х 1 !Зб ГЛ. и. ЛИИГНккЫЕ ЛНФФГРРННИАЛЫ!ЫС НРАВНЕЮкй !ал Уравнение (31) сеть )равнение ан !. . яки л'и Г к — + ас — . + (б + гт'") и = О, агк аг нрн ксм (33) 2а + 1 = а а' — ргрк = а, р'!а = г, 23 — лк, (34) Можно, наоборот, для любо!о заданного уравнения аида (33), нри к'сли- вин, что настоянные г и а! отличны от нули, найти по фар!кулак! (34! а, '1, т и р н аыраанть общий интеграл уравнения (ж!), согласно формуле (321, кнрсз фуикцкщ Ьссссля. Если с илн л! рамю нудак, то уравнение (331 есть )равнение Эйлера (42! и нрнаодится, слсдоаатсльйо, просто к )ракитин!о с йостоянныии коаффн- циснтами. Рассмотрим частный случай уращ!синя (33) Г- — + а --+си =О.
«ки а'и йгк лкг (3Ч) Умножая уравнение на Г, видим, что в данном случае а произвольно, б =-О, с = 1 и ж = 2. Уравнения (34) будут 2а + 1 = а, ак — Ргрк = О, Ртуа = 1, 2Р = 2, откуда можно считать а — 1 2 я=( т=)' н, сок ласно (32), общий интеграл (33) булат !- а ! -а и=С,г у„, (г)+С„г а л! ((Ь а 1 — а нуичсм, сслн, иаирнккср, значок —, окажется целым отрицательным нлн 2 ц)лсм, то надо заменить л~ на К,. 11ри а=! ураансние (33) соаиаласг л а — 1 и 2 с )равнением (24), Вообще уравнение (33) ласт обширный клагс линейных уравнений,чж ! к астрсчающихся а нрнложснилх, общий интеграл которых выражается, как ны видим, чсрсз функции Бссссля. й б ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 60. Метод последовательных приближений для линейных уравнений.
Мы уже несколько раз упоминалн о теореме сушестнощннщ и единственности для дифференциальных уравнений. Приведем доказательство втой теоремы сначала для случая линейных дифференциальных уравнений. Для доказательства мы применим так называекккай метод последовательных нриближений, которым мы уже нольэоналнсь лля нриближенного вычисления корней уравнений 11, 199). Лля определенности рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений " =р,(х)у + д,(х)л, , †" а Ла(х)у + Ча(х) л ». к<=«ь (2) у 1» - а~ = у< Будем считать, что коэ<рфицнепт«, функции х в некоторои конечном замкнутом промежутке!(а =х ~:<<) содержащЕм начальное значение хь н в далыюпнши изложешп< мы считаем, что х принадлежит <'. решения у н» системы (1) должны быть, конечно, иепрсрывны<ш функциямн, имеющими производную, и из самих уравнений видно, что н производные — и —" будут непрерывнымн функциями [11.
Интегрн<су <сг <с» <с» руя уравнения (1) почлешш от х, до х н принимая во вш<машю (2), получим у(х) =у, -1- ~ [р, «)у(с)-+ р,(с)» (с)1,(с, к< «(х) =«я + $ [Р»(с)У«)+ чя(с)»(с)1«с к< (3) Здесь мы для отчетливости выписаш< аргументы у функций у и г; а переменную интегрирования обозначили через С, чтобы не путать ее с верхним пределом интегрирования х. Итак, уравнения (1) с нзчзльныин условиями (2) приводят нзс к уравнениям (3). Покажем теперь, наоборот, что если непрерывные функции у(х) и «(х) удовлетворяют уравнениям (3), то они удовлетворяю< уравнениям (1) и начальным условиям (2).
Йействнтел<по, полагая в уравнениях (3) х =х, и принимая во внимание, что интеграл с одинаковыми пределами равен нулю, получим начальные условна (2), а дифференцируя уравнения (3) по х, получим уравнения (!) [1, 961. Из скаванцого следует, что уравнения (3) в указанн(1м смысле равносильны уравнениям (1) с начальными условиями (2), и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь уравнения (3).
Отметим, что в этих уравнениях искомые функции у(х) и «(х) входят как в левую часть, тзк н под знак интеграла в пранук< часть. Зыясннм идею метода последователы<ых приближений. Г истая начальные значения уа и »„ первыми приближениями к искомым функ"иви У и «, ааменаем в пРавых чзстах УРавнений (3) У и г па Уа и «а Таким образом, получим функшш у<(х) и «<(х): к у,(х)=у,+ $ [р<(с)уз+%(с)«а! <(с »к »< (х) =»з+ $ [Рз(С)уа+ <уя«) «а[в( кр (4) з1 а а дополнит.
свяпгиия по пиеигпгпиилл<,ныл< твявнсниям 137 и начальные условия 188 гл. и. лннгпныс дневевеншглльные тялвнгння 1ю являющиеся вторым приближением к у и «. Эта функнии у, (х) и «,(х), очевидно, непрерывны в вышеупомянутом промежутке 7[1,96]. Заменяя теперь в правых чзстях уравнении (3) у и «нз у,(х) нз «,(х), получим третье приближение у,(х) и я(х): уз (х) = у, + ~ [р, (1 ) у, (() + о, (!) «, (1)! М, «т(х) =«+ $ [Ра(1)У~(Г) [ 6т(1) «~ (1)] <!1 «а причем у,(х) и «,(х) опять непрерывны в промеакутке 7 н т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
