Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Отсюда вытекает, между прочим, что если интегрировать непосредственно уравнение (5) при помощи степенного ряда, то полученный ряд 6Удет навеРно сходЯЩимсЯ «Ри 1х~ С К где гг — модУль на„,«еньшего по лгодулю корня уравнения Рз(х) = О. Заметим, что если доказать сходимость рава (3) внутри промежутка )7, +)7), то отсюда будет непосредственно вытекать, что сумма этого ряда дает решение уравнения. Действительно, прежде всего можно вычислять у' и у" простым почленным дифференцированием ряда (3) 11, 1ЗО). )!здее, подставляя выражения у, у' н у" в левую часть уравнения (2), мы можем почленио перемножать ряды у' и у иа ряды р(х) н»7(х) ввиду того, ато стеэтевные ряаы сходятся абсожотио (1, 137, 143). Наконец, в силу выбора коэффициентов з„из равенств (4), мы имеем сокращение всех членов в девой чзств (2).
128 ГЛ. П. ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1аа Для построения второго решения положим «,=О и а,=1. Нетрулно, как н выше, показать, что зто второе решение будет 2 5 ° 3...(ЗА — 1) У*=к+ 4',я (ЗА+ П1 л-1 Построенные степенные ряды будут сходящпмисв при всяком знзчении х. Проверим вто для ряда у, по признаку Даламбера [1, 12Ц.
В нем отношение послецующего члена к предыдущему будет 1 4 ° 7...(31+1) лтт 1 ° 4 ° 7...(ЗА — 2) та 1 (ЗА+ 3)1 (ЗФ)! (ЗА+2)(ЗА+ 3) и при лшбом значении х абсолютное значение етого отношения стремится к нулю при беспредельном возрастании Ф, откуда н вытекает абсолютная скодимость ряда. 2. Рассмотрим уравнение (1 — к') у" — ху' + а'у = О. Подставляя ряд (3), получим, приравнивая козффициент при хя нулю, слеДУюшее соотношение межДУ козффициентами аср (л + 2) (л + 1) а, +т — л (л — 1) а„— ла„+ алая *- -О или (л+ 2) (л+ 1) а„+, — — (л' — а') а„.
Полагая а, = 1 и а, = О, получим решение а', а' (а* — 4), а' (ат — 4) (а' — 16) 2! 41 6! Совершенно так же, подставляя а,=О и а, = 1, получим у, =к — — х'+ а' — 1 (а' — 1) (а' — 9) (а' — ! ) (а' — 9) (а' — 25) 31 5! х'— 71 х'+... В рассматриваемом уравнении козффициент Р,(х) = 1 — хт при у" имеет корни х ж1, а абсолютное значение обоих из втих корней равно едннице. Отсюда вытекает, что ряды у, и у, должны сходиться прн — ! (х(+1, т.
е. Ери [х[(1. Нетрудно проверить вто по признаку Даламбера. Беря отношение последующего члена к предыдущему, например, для ряда уо получим с точностью ао знака а'(аа — 4) ... [а' — Дл)т[ ля+а а'(а' — 4) ... [а' — (2л — 2)' (2л + 2)! (2л)! ат — (2л)а (2л+ 1)(2л+ 2) Дела числитель и знаменатель на л', можем переписать абсолютное значение етого отношении в виде 6 2 4+л+л [к [' ат) в о. интеГРиРОВАние с пОЫОптыО степенных РялОВ 129 При беспредельном возрастании и зто отношение стремится к [х[', н, очевидно, [х['(1 прн [х[(1, т.
ео согласно признаку Далаибера, ряд у, абсолютно сходится при [х [(1. Очевидно также, что он расходится прог [х[п 1, если только а ме равно целому четному числу, В последнем случае ряд у, обрывается и превращается в многочлен. Аналогичные заключения получаются и для ряда уг Можно проверить, что решения у, н у, выражаются через елелоентарные функции сов (а агссоа х), яп (а агс ссн х). 4о. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Значительное число уравнений, встречающихся в приложениях, имеет вид х'у" + р (х) ° ху'+ д (х) у = О, где р(х) и д(х), как и в уравнении (2),— ряды, расположенные по цслып положительным степеням л., нлн просто многочлены, Ввиду наличия лпоожнтеля хо прн второй производной написанное уравнение нс подходогт пох тнп (2). Говорят, что написанное уравнение имеет в точке х=О регуляр.
ную особую мочку. Выписав явно степенные ряды р(х) п оу(х) х у'+ (а, + ах+ ах*+ ...) ху'+ (Ь, + Ь х+ Ьх'+ ...) у =О, (8) будем искать решение уравнения уже не в виде простого степеяного ряда (3), а в виде произведении некоторой степени х на такой ряд: у = хо ~Ч~ ~«,хо, (9) о- о н первый коэффициент «, мы можем, конечно, считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя степени р у множителя хо, стоящего перед знаком суммы.
Подставим в левую часть уравнения (8) выражения у, у' и у"г у= ~ ««хе+о, у'= ~ (р+з)«охроо о, о о о о ° о у" = ~ч~~ (р + з) (р + з — 1),хр * ' о=.а Собрав подобные члены и приравняв нулю козффициснты лри рззлич- ных степенях х, потучич ряд уравнений [Р (Р— 1) + аор +' Ьо) "о = Оо хг ' Нр + 1) р + а, (р + 1) + Ь,], + а,р«, + Ь,, = О, лто* [(р+2)(р+1)+ а (р+2)+Ь,! а,+а, (р+1)«,+а,р«, +Ь,«, + + Ь.«. = О, (1„ [(Р + з)(Р + а — 1) + ао(Р + а) + Ьо! «о + + () («„ „ «о. .., «, ,) = О Ч ЕРез ()о(«о, «и «„..., «,,) мы обозначили одноРодный многочаен пеРвой степени от аргументов «о, «о «оо Ванду того, что, по условию, «о~О, леРзое из написанных УРавненнй "ает квадратное уравнение для определенна показателя р: Г (р) = р(р — !) + аор+Ьо =О (1 1) Е И.С 1ЗО ГЛ.
1Г. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФ ВЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ат Уравнение это называется определяющим уравнением. Пусть р, п р,— его корни. Полагая з уравнениях (10) р=р, нли р=р„будем иметь рад уравнений, из которых каждое последующее будет содержать одним коэффициентом а, больше предыдущего, н таким образом постепенно можно будет опредеаить а„а„... Коэффициент а, останетсз произвольным н будет играть роль произвольного множителя. Можно положить, например, а,=1. После подстановки р = р, илп р = р, первое нз уравненнй (10) обратится в тожлество, второе даст а„ третье а, и т. д, н вообще (з + 1)-с даст а„ если уже извеспчы ап ао ..., а,, Прй этом надо только, чтобы коэффициент при а, в этом уравнении был отличен от нуля. Непосредственно видно, что зтот коэффициент может быть получен нз левой части уравнения (!1) заменою р нз (р,+е) или (р, +з), т.
е. он равен Р(р, + з) нли Р(р,+з). Положим, что при построения решения (9) мы походили из корйя травнення (11) р=р,. Если Р(р,+з)~0 при любом целом положительном з, то указанный выше прием вычисления коэффициентов а, будет выполним н даст определенные значения для этих коэффициентов.
Условие же Р(р,+з)~0 равносильно, очевидно, тому условию, что второй корень р, уравнсння (11) не есть число вила (р, +з), где з — целое положительное число, т. е., иначе говоря, разность корней (р, — р,) не должна быть целым положительным числам. Из сказзнного нетрудно вывести следующие заключения. 1.
Если разность корней р, н р, уравнении (11) не равна целому числу нлп нулю, то можно использовать оба корнн уравненнн (11) н построить выше)казанным способом два решения вила у, =хе' ~~~ аахе, у,=хе' ~ 5 хе (аь и рьФО). (12) ь с=о 2. Если разность (р,— р,) есть целое положительное число, то можно построить укаэанным выше способом, вообще говори, лншь один ряд: у,=хр' ~ а,хе. е о 3.
Если уравнение (11) имеет кратный корень р, =рм то также можно пост опть лишь один ряд (13). о поводу сходнмости построенных рядов нмеет место предложсяне, аналогнчное предложепню, прпведенноиу нами в [45]: если Ряды ~ и ле н ц~~~ вехе с о сходятся при [х [( ср, ти при этих значениях х построенные выше ряды я~анже будут сходящимися и будут давать решения уравнения (8). Н разобранному приводится уравнение х'Р, (х) у" + хР, (х) у' + Р, (х) у = О, (14) где Р,(х), Р,(х) п Р,(х) — многочлены нлн ряды, расположенные по це. лым положительным степеням х, причем Рь(0)~0. Здесь, как н в [45[, можно непосредственно подставлять ряд (9) в левую часть уравнения (14), не производя деление на Р,(х). Кроме того, как н в [45], можно рассматривать ряды, расположенные по целым положительным степеням ие х, а разности (х — и).
В первом случае два построенных решення (12) будут линейно незавп снмымн, т. е. Их отношение пе будет величиной постоянной, что вытекает !31 з к интеГРИРОВЛНИЕ С ПОыОЩЬЮ СтЕПВННЫХ РЯДОВ посредственно нз того факта, что выражения у, и у, содержат перед зна. непо р ~уммы различные степени х и х -'. Во втором и третьем случзях мы Гг Рэ дя троизи только одно решение (!3). Форыуяа (9) иэ (25) дает воэможность построить второе решение при помощи квадратуры, Пользуясь ею, нетрудно указать форму второго решения. Формулируем лишь результат.
Если раэ. Р,— Р, есть цеаое положительное число изи нуль, то, кроне (13), будет решение виРа у =Еуг 1дх+«Ш ~Ч', 8 «э (Р,~з), (15) т е. ио сравнению с (12) появляется лобавочное слагаемое Еуз1пх. Число р ,ожет оказаться и равным нулю, н тогда лля у, получим формулу (121. Пусть Э,— р,=з, тле з — целое положительное число, т.
е. У(7,+з)=* р(Р,)=0. Если при этом соответствующее (у, в формуле (10) оказывается отличимы от нуля, то 3 Р:-О. Если же (г =О, то 6 =0, и второе ре !ивине не содержит логарифма Все высказанные вйше утверждения будут изми доказаны в томе Е1. 46 Уравнение Бесселя. Это уравнение имеет вид х'у" + ху' + (х' — р') у = О, (16) где р — заданная постоянная, Применения его встречаются в различных вопросзл.астрономии, физики и техники.
Сравнивая вто уравнение с уравнением (8), видам, что а, 1 н 34 = — р', так что определяющее уравнение в данном случае будет р (р — 1) + р — р' = О, м ли р' — р' = О, Р4=р уэ= р Ищем решение в вике у = хР (а + л,х+ аэхз + ...).
Ипдставляя в левую часть уравнения (16) и приравнивая коэффициенты при равличыыл степенял х нулю, получим хР+' ((р+!)4 — рэ! а =О, ((Р + 2)» — рэ) аэ + ла = 0 хРШ хл+ ((р + з)' — р'1 л, +,, = О. Поасшвляя а, = 1 и вычисляя последовательно коэффициенты, призон 'к решению д, хна ХЭ Х4 [ 2 (2)э + 2) 2.4. (2р+ 2) (2р + 4) хв 4 6 (2о + 2) Дэ + 4) (2Р + 6) ' 4 . Используя второй корень р,= — р, чожем построить второе Решение лг вменяя (46), Оно может быть получено, очевидно, нэ решения (17~ про. в меной р на ( — р), так как уравнение (!6) содержит только р и не 132 гл. и.
линвиные диевпвйнциальные нндвнвнид хл+тт "+т'и! ° 1 ° ° 3 ... з ° (а+1) (и+2)(и+3) ... (и+а) ( 1!а < — ! ~к~а+а тая что формула (19) может быть написаяа в виде ул(х)~~ ~) — )! (2) в 0 (20) причем, яая всегда, считается, что 61=*1. В частности, при пллО получим Х <з!)' 8) ! <!!) ® ~<2!)*® <3!) ® +" а меняется при замене р нз ( — Р): х' х' л-"Ф ц=2;-т~~ ~ т (-ч~.~н-л~-ч 4 6.( — 2р+ )( — 2р+4)( — 2р+6) + „,1. (!8) Разность корней определяющего уравнения равна 2р, а следовательно. оба написанных решения будут годиться, если р не равно целому числу нлн половине целого нечетного числа.
Решение (17) с точностью до неяоторого постоянного множителя дает бесеелеау ф'упкцию р-го порядка, котоРую обозначают обычно через Ур(х) н называют также цилиндрической Функцией пераого рода. Таким образом, если р не есть целое чнсло илн поаовнна цеаого нечетного числа, то общее решение уравнения (16) будет Сгур (х) + Са г р (х) Степенной ряд, входящий в решение (17), сходится при любом значении х, в чем нетрудно убеднться по обычному признаку Даламбера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
