Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 27
Текст из файла (страница 27)
д. Общая формула, дающая (л+!)-е приближение, будет уя(х)=уз+ $ [р (1)у. (1)+6 (1) .. (1)161 к «л (х) «а + $ [Ря (1) улл (1) + 6т (!) «ел (1)! '76 хо (6) Заменяя под интегралом все величины абсолютными значениями н большими величинами, в силу (6) и (7) получим [1, 95] к ]У!(х) Уа[ ~ (Л1лг+Л1юя)гй Хо то есть (8) ]У, (х) — уя [ ~ тл2Л1(х — х,), В промежутке 1 коэффиниенты уравнений (1) суть, по условшо, непрерышнле функнин, а потому и этом промежутке оин <утуг по збсо. лютной величине не больше некоторого определенного положнтешного числа Л1[1, 36]; ]Р (х) ] -. Л1, ]л (х)] Л1, ]да(х)] "М, [лт(х)] .Л1 (х в !).
(6) Обозначим, кроме того, буквой ла наиболшнее из двух положительных чисел ]уз[ и ]«а[, т. е. ]уз[(и, ]«а[(ш. (7) В дальнейшем ыы будем рассматривать лишь часть промежутка 6 лежангука справа от х„, т. е. будем счнгать х — х,)0. рассмотрение левой части может быть сделано так же. Опеним разности лиежду соседними пос.чедовзтелшаыми приближениями. 1!ерзая из формул (4) дает у (х) — уя — $ [Р Яуа+6 (1) «а]'7' дополнит.
свглпсия по диеесвнгиилльпым з лвпгпиям 139 и совершенно тзк же ~ кс(х) «о ~ - ш2Л! (х «) (яс) Первое из уравнении (5) при и 2 б Уа(") =Уз+ г)(Р (с)У (т)+)с(() тд)) си пли ~уа(х)-у, (х) ~ о- 2асссЛ(а ~ (( — хо) сй = гп2аЛ(а ~~— "") 1 ! с — «в откупа окончательно !Уа(х) — У,(х)~=ъ.ш (2Лс (к-ко)(а 2С Совершенно тзк же (9) (2ЛГ (к-к ))а (9с) Далее, берем первые иэ уравпеиий (5) при и=2 и я= 3. Почлеисю вычитая, получим « Уа(х)-Уа(х)= $(Рс(т)(Уа(0 — Ус(()3+Чс(с)(за(с)-кс(т)И (Е Пользуясь (6), (9) и (9с), как и выше, будем ссметь 2Л«а сб ~Уа(х) -Уа(х) ', === — ' — 1 (с — хо) иь «« откуда ~у«(х) -Уа (х) ! =.-: ги =.„ $ га(х) — зз(х))-=- пс ( ' 31 вычитая иэ пего почлеиио первое из уравпеиив (4), получим 1Уа( к) — Ус (е)~ = $ (Рс (О!Ус (с) — Уо) + 9с (с) (зс (с) — хо)) с(г. «» Заменяя опять под игпегрзлзми все величины абсолютными значениями и пользуясь (6), (Х) и (йс), получим )Уа(х) — У,(х)~~ $(сИ с2Л((г —.«„)+Мсл2Л((( — хднф, «а 140 гл, п.
линейные днооияшсциальные миавнснни !Ю Продолжая так и дальше, можем нзписать общие оценки разности двух соседняя приближений [у„(х) — у„ т(х)[ и1: эт [2М (х — х,)[м ]хо(х) — х„т (х) [ч= пт [2М(х — х )[и (! 0) ПОльзуясь втими оценками, нетрудно показать, что функции у„(х) и х„(х) равномерно стремятся к некоторым пределькын функциям у(х) и х(х)') при беспредельном увеличении значка л. Докажем это для последовательности функций у„(х).
Эту последозательность мы можем заменить бесконечным рядом у которого сумма первых (и+1) членов равна у„(х), и мы должны, таким образом, доказать равномерную сходимость ряда (11) [1, 144]. Если т' есть длина промежутка У, в котором меняется х, то первая иэ формул (1О) показывает, что члены ряда (11) по абсолютной величине не превосходят положительнык чисел ш (2ы0 (» ! 2 п! а ряд, составленный яз этик чисел, сходится по признаку Даламберз, 2М! так как отношение последующего члена к предыдущему, разное —, л стремится к нулю при беспредельном возрастании и То же следует и иэ разложения е" [1, 129]. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса [1, 147], ряд (! !) равнонерно сходится в промежутке!, т.
е. в этом промежутке у,(х) равномерно стремятся к нЕкоторой функции у(х). Совершенно так же можно доказать, что и последоиательность х„(х) равномерно стремится в I к некоторой предельной функции х(х), т. е. в ! имеет место равномерное по отношению х стремление к пределу: (12) Нш у„(х)=у(х), ![ш х„(х)=а(х). Функ!тии у„(х) и «„(х) непрерывны в I п, следовательно, то же можно утверждать и относительно предельных функций у(х) н х(х) [1, 146[ Отметим, что для части промежутка 1, лежащей Слева от ха, глс х — ха~0, иы должны в правых частях неравенств (8) и (8,) заме. '! Лая аааьмсйшсго сущсстзсппо вспомнить параграфы о ря,таа с псрсмсмнммп часками и равномерной саоаимости иэ тома !. .уа+ [у (х) — уа]+ [рт(х) — у (х)1+ + [уа(х) — у,(х)]+...
+ [у„(х) — у„, (х)]+..., (! !) Н В К донодннт. сзеланмя по дпяваванпнлльным галзнанням 141 дить (х — ха) на (жв — х). В дальнейших оценках надо будет (С вЂ” х,) заменять (ла — С) н т. л. Неравенства (1О) останутся справедливыми для всего промежутка ! при условии замены (х — ха) абсолютпын значением этой разности. докажем теперь, что предельные функпни удовлетворяют уравне пням (3), т.
е. уравнениям (1) н предельным условиям (2). Это испо средственно вытекает нз формул (б), если в обеих частях этих уравнений перейти к пределу прн и — оо. Тогда у„(х) н у„,(С) будут стремяться к у(х) н у(С), а ав(х) и а„,(С) — к г(х) я л(С), и в пределе для у(х) н л(х) получим уравнения (3). Проведем строго эгот предельный перекоп. Из (12) следует И (Р, (С) у„ , (С) + д, (С) а„ , (С)! = р, (С) у (С) » ц, (С), (С), (12,) 11ш(ря(С)ул-г(С)+Рт(С)гп г(С)$=Рт(С)У(С)+Р,(С)а(С). Докажем, что втк предельные переходы имеют место равномерно по отношенню к С в промежутке /. Ограничимся первой формулой. Ойеннм разности между пределон н переменной: !(Рт(С)у(С)+ рг(С) а(С)! — !Рг(Оу.
(С)+р~(С) ая и(С)!! ~ а! в (С)!!у(С) — у г(С)!+!Ч~(С)!! а(С) — а (С)'. В силу равномерного стремления у„,(С) и г„,(С) к у(С) н а(С) при любон заданном а)0 существует число Ф, одно к то же для всех С нв С такое, что !у(С) — у„,(С)!( —, /г(С) — г,,(С)! ч' — т прк л)М. Отсгода, в силу (6), следует, что при любых С из С имеет место прз н)Ф неравенство !(Рг (С) У (С) + бг (С) а (С)! — (Рг (С) У,-г (С) + Ь (С) а,-г (С)!! ( ° что и доказывает равномерное стремление к пределу в формулах (12г) во всем промежутке ! н в любой его части (хм л). Обращаемая к формулам (5) н пользуемся возможностью перехода к пределу ппй знаком интеграла для равночерно сходящихся последовательностей (1э 146!. Переходя к пределу, получаем нз этих формул уравнен (3) дл.
Р(>) .,(~) ревюмнруя, можем сказать, что метод последовательных прнближенвй дал нам решение системы (1) при начальных условиях (2), т. е. маа докааали существование решения. Покажем теперь, что нскомое л .в рвнюнне единственно. Пусть уравнения (3) имеют два решения: у(х), ( ) н у(л), Е(л). Подставляв в уравненке (3) сначала одно, а потом гл. и. лииейиыа диввш сицилчьиые кслвивиик 1ы другое рс)испив и нычитая почленно, будем иметь у(х) — Г(х)= ) «р,(1) «у(!) — Г(!)«+ г!) (!) [а(!) — 7(!)«[ г!1, ~ (13) (х) — 7(- )= 1 ««ря(!)«у(!) — Г(!)«+Ч)(!)[3(!) — 7(!)«) г(!.
! ла Возьмем справа от х, промежуток 1, такой длины !н чтобы произведение 2М1) =6 б)лло мепьшс саяпины. Цокзжем, что в этом промежутке укол)янутыс два рс)ненни совпадают. Если бы это было не так, то збсолютные зизчеиия разностей «у (х) — 1'(х) (, ! г (х) — 2(х) « имели бы в 1, положительный мзксиь)ум, который м)л обозначим числом ь, Пусть он доспи.астся, например, первой разностью в точке «у(1) — Г(1)«=я (14) и |у(х) — Г(х))(й н «а(х) — 7(х)!и Ь (х в !). (14,) 1'зссмотрим первое нз уравнений (13) при х=-Е Оненивая иигс- грзл, как эго мы делали )илшс, получим, в силу (!4,), ! у ('.) — Г (1) ) ( 2.! 14 (! — х„), откулз, пользуясь (! 4), а также тем, что $, принадлежит проис- к)Рку 1ь ь(2М1Д то есть 3(йз, в последнее неравенство ислспо, ибо, по условя)о, 0())(1. И)зк, нами доказано, чго решения у, е н Г, / должша совпадать из промежу)ке хь к: х.=--х„+ 1ь где 2М1, (1.
Выбирзя значения у, а ири х=х„+1, и кзчестяе нзыльных условий, повторяем доказательство единственности для промежутка ха+!)а х - х,+!)-,'.1ь глс 2М1„(!. Покрывая, таким образом, часть промежутка 1, лежа)него справа от х„, нссколькимн промежутками длины 1, или менял сп !последний нз покрываю)них промежутков), можем утвсржлать совпадение рс)пений иа всей части 1, лсжашсй справа от х,. Аналогично поступаем и для чзс)и, лсжтнсй слева от ха. Формулируем теперь ьжоича)сльный результат: система (1) лрн начальных угловннх (2) нмсет одно анре<)еленное ртиенне, лоторое сун)егн)вуен) в промежутке 1, в которо.ч ковффпйненты гнггнел)ы (1) непрерывные функ)рою, н зто рен)ение л)озкет бын)ь получено ю)о ме)поду погленовал)ельник пр)г)уложений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
