Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том 2 (21-е изд., 1974) (1095474), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В первои случае из формул (57,) и (57х) следует, что О, у 0 и — — — при г — со. Если же рс(р!(О, то пу л!с ссх л, мы получим тот же результат прн г +со, т. е. все интегральные "инин (57,) стремятся к точке (О, 0), н если мы добавим к ним эту точку, то получим линии, имеющие в этой точке общую касзтель- иУ"! (бба) Исключение в отношении последнего утвержления относительно касателыюй составляет ннтегрзльная прямая (56!). Особая т~~ка описанного типа называется узлом.
В дальнейшем мы дадим полное определение узла, Отметим, что из (54,) и (64,) следует 160 гл. н. линенные диФФБРенциАльные УРАвнения [$Ф га равенство и=С ! гл х+л у~а, т. е. уравнение(45) в рассматриваемом случае имеет обший интеграл вида га т,х+ау=С~ лг,х+лу1гб где С вЂ” произвольная постоянная. В качестве примера рассмотрим уравнение Лх ЛР х 2у' которое имеет вид (45) (р,=1, р,=2). Вго интегральные линии— семейство парабол у=Сх' (у=О при С=О) и ось х=О (рис. 20).
2. Корни р, и р, вешественны, различны и разных знаков. В этом случае формула (58) дает '~щх-(-лу ~ (л + «у)=С (Р= — -4)0), (50) Отсюда видно, что, кроме прямых (56,) и (56,), ни одна интегральная линия (С ф 0) не приближается беспредельно к началу, т. е. невозможно, чтобы вдоль интегральной линии х 0 и у О. Упомянутые интегральные прямые проходят через начало (С= О). Каждая из них разбивается началом (особая точка) на две полупряиые.
Особая точка такого типа называется седлолг. Обратимся к формулам (571),кото- рые имеют место и в рассматриваемом Рис. 20. Рис. 21. случае. Положим, что р,)0 н Р1(0. Указанные прямые получаются, как нетрудно видеть, при с,=О и при с,=О. На полупрямьш, соответствующих первой прямой, х — О, у — 0 при 1 +со(ря(0), а для другой прямой — при г — со (Р,)0).
На рис. 21 стрелкой отмечено направление, соответствуюшее стремлению 1 к +со. Отметим, что при Р=! и С жО семейство (59) есть семейство двух гипербол, для которых прямые (56,) и (56я) суть асимптоты. зй $ а. ДОПОЛНИТ, СВеДеНИЯ ПО ДИФФВРЕНЦИАлЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 16! 3. Корни р, и ря — мнимые сопряженные: р,=а+61 я ря=я — р), причем а и р отличны от нуля. Подстзвляя а коэффипиенты системы (49,) р=к+66 получим для (гль л,) отличное от нуля решение, состоящее из комплексных чисел. Подставляя В коэффициенты системы (49г) р=а — РК можем утверждать в виду Вещественности а;А, что отличное от нулевого решение системы будет (лгн л,), причем через а мы обозначаем комплексное число, сопряженное с а.
Из формул (47) мы видны, что, в силу вещественности х н у, велнчины Е и т1 суть комплексные сопряженные. Таким обрззом, левая и правая части равенства (63) должны быть комплексными сопряженными (или вещественными), и из самого факта их равенства следует, что эти величины должны быть вещественнымн.
Обозначая их общую величину через Ж, приходим к уравнениям (64,) и (64я), интегрирование которых с учетом того, что Е и т1 — комплексные сопряягенные, дает Е = Се" (соз 61+1 з!п Рг), т1 = Се"'(соз 61 — 1 з1п р(), (60) где С= с, + ся) — комплексная постоянная. При С= 0 получаем Е=Т1=0, т.е.особую точку х=у=О. При С~=О имеем )Е~=)е(= ='1С1е" фО, и эта величина 0 при г — — со, если а)0, и при 1 +ОС при а(0.
Принимая во внимание линейную зависимость между переменными (Е, т1) и (х, у), можем утверждать, что все интегральные кривые уравнения (45) стре- г мятся одним своим концом к особой точке (О, О). Пользуясь формулами (60) и указанной зависиыостью между переменными, нетрудно показать, что при приближении к точке (О, О) все интегральные кривые спиралеобрззно закручиваются вокруг этой точки в одном и том же направлении (рис. 22).
Особая точка такого типа называется фокугодь Если ыы положим Е=сс+о1 и т1=и — Ы, где и и э вещественны, то эти переменные выражаются через х и у по формулам вида п=р,х+д,у, о=рек+ляу, (61) где р„и г7 — вещес~венны и р,г7,— Рис. 22. Рягуг эе О. Эти формулы дают возможность выразить х, у через и, о н убедиться на основании (60) В Указанном выше поведении интегральных кривых на плоскости ХО)' вблиаи точки (О, 0) )тля рассмотренных выше трех случаев мы имеем следующий ха- рактерный факт: при произвольном, но достаточно малом изменении 162 гл.
п. линкпныв днввввянцнлльнын хвлвнения 1В коэффициентов а,а мы остаемся при прежнем предположении о кср. нях р„ р„ а следовательно, не меняется и характер расположения интегральных кривых в окрестности особой точки. Иное мы будем иметь з следующем случае. 4, Корни Р, и Р, — ч и с т о мним ы е: р, = Р1, р, = — Р1 (3 ~ О). Л1ы имеем формулы (60) при а = О, из которых следует, что )1)з=(т1~"=)С~', т. е. из+па=~С)з, откуда, принимая во внимание (61), получаем семейство интегральных кривых уравнения (45) (р,х+ д,у)'+(р,х+ азу)Я= ! С1Я, (62) т. е.
интегральные кривые — подобные зллипсы или окружности, Нн одна интегральная кривая не проходит через особую точку, и эта последняя окружена замкнутыми интегральными линиями (рис. 23). Такая особая точка называется йенлгром. В этом случае при сколь угодно малом изменении коэффициентов а~а у чисто мнимых коРней Р, а= + Р( может по— ч явиться вещественная часть и центр превратится в фокус. 5.
Уравнение (50) имеет кратный корень р,=рз, отличный от нуля. При подстановке в коэффиРвс. 23. циенты системы (49,) или (49з) р=р, могут встретиться дза случая: или зсе коэффициенты при этом обратятся в нуль, или среди коэффициентов будет по крайней мере один, отличный от нуля.
Рассмотрим сначала первый случай ам= ам — О, 'гы = пяа = Рь (63) при этом сястема (45) будет иметь вид йх лу Пх яу — — или г,х р„у х у и ее общий внтегрзл у=Сх будет семейством прямых, проходящих через начало, т. е. начало координат будет узлом. Среди коэффициентов ам, ам, аы — рп аы — р, есть по крайней мере один, отличный от нуля. Нетрудно видеть, что при этом пы и а, не могут оба быть рзвны нулю. Действительно, если аы — а,=О, то, принимая во внимание кратность корня р, уравнения (50), получим аы ††а,з= р~.
'при сделанном предположении уравнение (50) превращается в уравнение ра — (ам+ам)р+апам=О, и условие кратности корня етого уравнения дает ап — — агь и общая величина ан и а„и есть кратный корень уравнения. Итак, если предположить и„=ам= О, то выполнены условия (63), что противоречит сделан- вй а а дополнит. ЕВеДЕНИя по ДНФФВРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 163 ному нами предположению. Поэтому хотя бы один из коэффипнентоз а нли а„отличен от нуля. Положим, например, что а„зз О.
Кратный корень уравнения (50) будет, очевидно, а„+ а„ 2 и система (49,) при подстановке р=р, должнз привестись, как мы выше упоминали, к одному уравнению а„— а„ ла, + амл, = О. а„— а„ Выберем ш,=ам и и,= — ", ", т. е. 2 (= адх — у, а„— а„ 2 (64) у прежней. Днфференпиальное уравне- виде оставляя вторую переменную ние можно будет написать в аз Р14 ая,х+ а, у иля, подставляя вместо х его выражение, определяемое из формулы (64), ау р! $+р у' (65) ау — — — — — =О ас а4итегрируя это линейное уравнение, получаем у= Ся+ —. 416!Р~ Рв ПРВ $0 имеем у 0 и —. +оп.
Освобождаясь от знаменатела ДР а', в уравнении (65), видим, что имеется еше решение 2=0, т. е. апх — у = О. ап аяа 2 (66) Все интегральные линии стремятся одним своим концом к точке(0, О) и касаются в этой точке прямой (66), т. е. мы имеем узел, но только с Мной касательной в особой точке (рис. 24). Случай, когда уравшшие (50) имеет коРень Р=О, т. е. анам — аман — О, не пРедстав"Яет интереса.
Считая естественно, что ни один из знаменателей уравнении (45) не равен тождественно нулю, мы видим, что зти знаме"атели в Рассматриваемом . случае отличаются лишь постоянным мномтггелем, отличным от нуля, так что уравнение приводится к виду В~ 164 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ао лу л'л — = л, где и — некоторая постоянная, отличная от нуля. Семейство интегральных линий есть семейство пзраллельных прямых.
Если мы в знаменателях уравнения (45) заменим х и у на (х — хо) и (у — уо), то получим, очевидно, те же картины расположения интегральных кривых, что и выше, но вместо (О, 0) особой будет точка (ло уо). Положим, что в уравнении (41) Р(х, у) и ()(х, у) — многочлены, равные нулоо в точке (О, 0), и выделим из них члены с первыми степенями Р(х,У)=анх+аооУ+Р(х,У), ьГ(Л,У)=аоох+аоУ+о)(х, У),(67) где р(х, у) и д(л, у) равны нул1о в точке (О, О) и их частные производные по х и у также раины нулю в этой точке.
При атом в случаях: 1), 2) и 3) картина интегральных линий в окрестности точки (О, 0) будет того же характера, что и для уравнения (4о), т. е. в случае 1) точка (О, 0) будет узлом; в случае 2) — седлом и в случае 3) — фокусом. Сформулируем результат более точно. В случае 1) все интегральные кривые, начинающиеся достаточно близко к точке (О, 0), стремятся одним своим концом к этой точке и при добавлении этой точки имеют в ней определенную касательную, 1'ис. 24. причем две интегральные кривые имеют в точке (О, 0) общую касательную, т. е.
составляют при добавлении этой точки одну кривую с непрерывно меняющейся касательной, а все остальные интегральные кривые имеют в точке (О, 0) другую общую касательную. В случае 2) в окрестности(0, 0) существуют две пары интегральных кривых, стремяшихся к точке (О, 0), причем кривые каждой пары вместе с точкой (О, 0) образуют одну кривую с непрерывно меняющейся касательной. Остальные интегральные кривые в окрестности (О, 0) не стремятся к втой точке и расположены примерно так, как и для уравнения (45). В случае 3) все интегральные кривые в окрестности (О, 0), как и для уравнения (45), беспредельно приближаются к этой точке, спиралеобразно закручиваясь в одном и том же направлении.
В случае 4) особая точка может быть или фокусом или центром. В последнем случае все интегральные кривые, начинающиеся достаточно близко к особой точке, суть замкнутые кривые, содержащие особую точку внутри. Указанные выше результаты сохраняются и для того, более общего случая, когда р(х, у) и д(л, у) определены только в окрестности (О, 0), олннт, сведения по днээевенцнлльным геавненпям 1бо ам а а дополни . имеют в это ой окрестности (включая точку (О, 0)) непрерывные частные проязводн водные до третьего порядка и частные производные первого порядка равны нулю в точке (О, 0). (69) 66.
Автономные системы. Вернемся к урзвнению (41) и введеч другие о озн обозначения а именно запишем его в следующем зиле; а«, а«, (63) У~ («~ «а) Га («~ «а) Вводя вспомогательную переменную М, как это мы делали в [54[, получим систему двух урзвнений первого порядка а«, а«, — '=у,(хь х,), — „' =уа(хи ха).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
